泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用

屈明雙

【摘 要】本文給出了泰勒公式在近似計算中的幾個應(yīng)用，如果函數(shù)的形式過于復(fù)雜，就可以考慮利用泰勒公式將函數(shù)用簡單的多項式函數(shù)近似代替，然后依據(jù)具體的精度要求進(jìn)行計算，如超越函數(shù)的近似計算，導(dǎo)數(shù)的近似計算以及積分的近似計算。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式；超越函數(shù)；數(shù)值微分；數(shù)值積分

在高等數(shù)學(xué)課程中，泰勒公式一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn). 很多學(xué)生不理解為什么要引入泰勒公式，泰勒公式又由何而來. 實際上，如果教師在授課過程中，讓學(xué)生多了解一些泰勒公式的應(yīng)用，那么學(xué)生對該部分內(nèi)容的掌握必然會比較深入. 本文將對泰勒公式在近似計算這一方面的幾個應(yīng)用做簡單的介紹. 下面我們先回顧一下泰勒中值定理。

如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對任意，有

其中 ，這里是介于與之間的某個值。

1.超越函數(shù)的近似計算

許多超越函數(shù)如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等都無法算出其精確值，但在理論研究和實際應(yīng)用中，卻需要求出來，學(xué)習(xí)了泰勒公式后，就可以將復(fù)雜的函數(shù)用簡單的多項式函數(shù)近似表達(dá)，從而求出符合精度要求的近似值. 這部分的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)課本中介紹較多，在這里僅通過一個例題來體現(xiàn)，不再贅述.

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3.積分的近似計算

眾所周知，可以利用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分，可是當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難時，或的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示時，很多積分的計算就變得相當(dāng)困難，如，等，有了泰勒公式這一工具，可以考慮將被積函數(shù)用簡單的函數(shù)表示出來，再進(jìn)行積分計算求得數(shù)值解。

從幾何意義上來說，就是用矩形面積近似代替了曲邊梯形面積，上述兩式稱為矩形求積公式。

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