包振明，趙德有 ，林哲，馬駿

(大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院，大連 116023)

0 引言

在目前所涉及的損傷指標(biāo)中，基于應(yīng)變模態(tài)的損傷指標(biāo)靈敏度較高。但應(yīng)變類損傷指標(biāo)大多數(shù)只能定位損傷，同時(shí)需要損傷前后的模態(tài)數(shù)據(jù)。在工程實(shí)際中，突發(fā)事件及地質(zhì)災(zāi)害等情況下，損傷前的精確狀態(tài)難以獲得，因而難以運(yùn)用。顧培英[1,2]提出了無健康標(biāo)準(zhǔn)下基于應(yīng)變模態(tài)差分（Strain Mode Shape Difference）原理的ISMSD直接定位損傷指標(biāo)法，解決了此問題。該指標(biāo)綜合考慮了相鄰量兩有效極值點(diǎn)間有效距離比、有效極值之差絕對(duì)值、有效極值絕對(duì)最大值等三個(gè)元素，適用于未安裝健康監(jiān)測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)損傷診斷。本文應(yīng)用該指標(biāo)法計(jì)算了非貫穿損傷梁損傷位置直接指標(biāo)，判定出損傷位置。.

1 應(yīng)變模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)

連續(xù)彈性體結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析是利用一系列離散測點(diǎn)的位移值來描述其各階振型函數(shù)，求取的各階模態(tài)是這些離散點(diǎn)歸一化的位移值之比。應(yīng)變分布可由變形位移經(jīng)微分運(yùn)算求得。

直歐拉梁橫向自由振動(dòng)的微分方程為：

梁各階位移模態(tài)?r(x) (r=1,2,…)表示為:

通過對(duì)位移模態(tài)的差分運(yùn)算求取曲率模態(tài)，結(jié)構(gòu)的離散曲率模態(tài)振型可以通過中心差分格式[3]近似求出：

其中?rk為第r階位移振型幅值；k為計(jì)算點(diǎn)；h為相鄰計(jì)算點(diǎn)的距離。設(shè)z(x)是彎曲變形中面到某一點(diǎn)的距離，則該點(diǎn)在x方向的應(yīng)變[4]為：

應(yīng)變模態(tài)和曲率模態(tài)的關(guān)系可由此導(dǎo)出。應(yīng)變模態(tài)振型比位移型指標(biāo)對(duì)損傷具有更好的識(shí)別能力。

2 損傷梁應(yīng)變模態(tài)差分模型

本文主要針對(duì)簡支梁結(jié)構(gòu)這種常見的結(jié)構(gòu)形式，尤其是應(yīng)變模態(tài)曲線在損傷處存在極值并發(fā)生突變，求導(dǎo)需經(jīng)三次樣條插值光滑處理。中心差分法是求導(dǎo)最常用的數(shù)值方法之一，其對(duì)稱性、一定的精度、使用方便是該方法的優(yōu)點(diǎn)，在非邊界結(jié)點(diǎn)采用中心差分格式，邊界結(jié)點(diǎn)采用偏心差分格式。

若將一維梁式結(jié)構(gòu)劃分成等間距為h的n-1個(gè)單元，即n個(gè)結(jié)點(diǎn)。 為r階應(yīng)變模態(tài)函數(shù)，等間距基本差分格式：

邊界結(jié)點(diǎn)1的差分公式：

邊界結(jié)點(diǎn)n的差分格式：

差分曲線擬合時(shí)，需要應(yīng)用兩端點(diǎn)處差階差分值，可導(dǎo)出：

損傷應(yīng)變模態(tài)曲線的極值點(diǎn)位于損傷突變區(qū)及模態(tài)振型峰值處。存在曲線突變的位置就是結(jié)構(gòu)損傷處。對(duì)于實(shí)際工程，由于試驗(yàn)測點(diǎn)布置或仿真計(jì)算單元?jiǎng)澐治幢卣锰幱趽p傷處、試驗(yàn)或計(jì)算精度問題及差分計(jì)算精度問題，理想的曲線極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)未必正好為零。

為解決應(yīng)變模態(tài)差分曲線的問題，本文采用插值法。結(jié)點(diǎn)處計(jì)算值與假定函數(shù)相等。需計(jì)算多個(gè)插值點(diǎn)的函數(shù)值，并繪出函數(shù)曲線。采用應(yīng)用最為廣泛的三次樣條函數(shù)插值來平滑數(shù)據(jù)。

3 算例

一含局部邊緣損傷簡支梁（圖1），幾何尺寸長400mm ，寬10mm，高2mm，損傷位置在四分之一跨處，損傷長度為梁寬度的1/5。取彈性模量211GPa、密度7850kg/m3、泊松比0.33。損傷量為有效截面高度的6.25%，12.5%，25%，31.25%。應(yīng)用ANSYS有限元分析軟件的8結(jié)點(diǎn)solid45實(shí)體單元建模，網(wǎng)格劃分為橫向25等分，豎向16等份，損傷寬度為2mm。根據(jù)應(yīng)變模態(tài)數(shù)值仿真[5,6]結(jié)果，應(yīng)用中心差分格式及三次樣條插值算法，求出光滑應(yīng)變模態(tài)差分曲線。

圖1 局部損傷簡支梁有限元模型圖

4 損傷應(yīng)變模態(tài)差分曲線

圖2～圖5是經(jīng)過三次樣條插值后的損傷量為有效截面高度的6.25%、12.5%、25%、31.25%的應(yīng)變模態(tài)差分曲線。

圖2 損傷6.25% 前三階應(yīng)變模態(tài)差分曲線

圖3 損傷12.5% 前三階應(yīng)變模態(tài)差分曲線

圖4 損傷25% 前三階應(yīng)變模態(tài)差分曲線

圖5 損傷31.25% 前三階應(yīng)變模態(tài)差分曲線

除支座外，應(yīng)變模態(tài)差分曲線只在損傷處發(fā)生劇烈變化，損傷量不同，差分曲線突變程度略有不同。隨損傷量的增大，損傷處曲線突變?cè)龃螅湟?guī)律相似。

5 直接定位損傷指標(biāo)數(shù)學(xué)模型

5.1 損傷位置直接定位指標(biāo)

損傷指標(biāo)由突變區(qū)極值點(diǎn)間數(shù)據(jù)變化規(guī)律提出，曲線的變化程度可由其導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)。

5.1.1 有效距離比

相鄰兩有效極值間的距離定義為有效距離，有效距離與跨度之比定義為有效距離比。假定跨度為l,有效極值點(diǎn)x0，x1，x2，…, xp對(duì)應(yīng)的有效極值為y0，y1，y2，…, yp有效距離比定義為：

表1 損傷位置定位指標(biāo)

相鄰兩有效距離比越小，其間發(fā)生損傷可能性越大。

5.1.2 有效極值的絕對(duì)最大值ISMSD

由于不同階之間模態(tài)差分曲線非歸一化，因而將式（11）計(jì)算結(jié)果除以各階有效極值最大值，即可消除不同階的影響。

即：

式（14）即為損傷位置直接定位指標(biāo)。數(shù)值越大，損傷可能性越大。再結(jié)合差分曲線變化規(guī)律，基本能確定損傷位置。

根據(jù)圖1，圖2，圖3，損傷位置判定計(jì)算結(jié)果如表1所示。

6 結(jié)論

對(duì)于梁早期損傷，并未出現(xiàn)宏觀裂縫，損傷處應(yīng)變模態(tài)差分曲線會(huì)發(fā)生突變，數(shù)值可能不為零。由表1可知：前兩階損傷處指標(biāo)明顯最大，并隨損傷量增大而增大。該指標(biāo)能判定損傷位置，尤其是損傷量較小的時(shí)候。

[1]顧培英, 鄧昌, 吳福生.結(jié)構(gòu)模態(tài)分析及其損傷診斷[M].南京: 東南大學(xué)出版社, 2008.

[2]顧培英, 陳厚群, 李同春, 鄧昌.基予應(yīng)變模態(tài)差分原理的直接定位損傷指標(biāo)法[J].振動(dòng)與沖擊, 2006(25):13-17.

[3]張汝清, 殷學(xué)剛, 董明.計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].重慶: 重慶大學(xué)出版社, 1987.

[4]李德葆, 陸秋海, 秦權(quán).承彎結(jié)構(gòu)的曲率模態(tài)分析[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2002 (2):224-227.

[5]金咸定, 趙德有.船體振動(dòng)學(xué)[M].上海: 上海交通大學(xué)出版社, 2000.

[6]徐芝綸.彈性力學(xué)[M].北京: 高等教育出版社, 1985.