利用qP波慢度和偏振矢量計算弱各向異性介質(zhì)參數(shù)

劉憲彬 鄭需要

（中國北京100081中國地震局地球物理研究所）

引言

本文提出了一個模型試驗來驗證Zheng和P?enˇcík（2002）給出的反演公式.與Gaiser（1990）和Horne等（1998）使用的方法相比，本試驗更具有普遍意義.在實驗中，使用多震源垂向地震剖面（vertical seismic profile，簡寫為VSP）數(shù)據(jù)反演介質(zhì)的局部各向異性參數(shù)，三分量地震記錄數(shù)據(jù)不受自由界面的影響.所研究的介質(zhì)是一種垂向非均勻弱各向異性介質(zhì)，具有任意的對稱性.對于這樣的各向異性介質(zhì)，我們尋找一種參考各向同性介質(zhì)，各向異性介質(zhì)與參考各向同性介質(zhì)略有不同.偏振矢量可以很直接地從三分量地震圖中得到，然而，慢度矢量的確定卻比較復雜.在此，我們使用Gaiser（1990）提出的方法，鉆孔中慢度矢量的垂直分量由在鉆孔中記錄到的走時確定，因為假設介質(zhì)是橫向均勻的，所以能夠利用走時的互易性確定鉆孔中慢度矢量的水平分量.應該指出，Gaiser（1990）僅僅考慮具有垂直對稱軸的橫向各向同性介質(zhì)（transversely isotropic media with vertical axis of symmetry，簡寫為VTI），慢度矢量總是被限制在有震源和鉆孔所決定的垂直平面內(nèi)，而在我們的模型中介質(zhì)可以具有任意對稱性，慢度矢量可以背離垂直平面.如果qP波的慢度矢量和偏振矢量是已知的，那么，慢度公式和偏振公式形成一套線性代數(shù)方程組，使用這套方程組可以確定鉆孔中檢波器周圍介質(zhì)的各向異性參數(shù).我們進一步把垂向非均勻各向異性介質(zhì)擴展到橫向非均勻情況，從慢度公式和偏振公式中消掉慢度矢量的水平分量，得到了適用于僅有一個慢度分量時的反演公式，并用一條實際的VSP觀測資料進行驗證.

1 基本方法

使用一個右手笛卡爾坐標系，x軸和y軸在水平面內(nèi)，z軸垂直向下為正方向.在弱各向異性（weakly anisotropic，簡寫為WA）介質(zhì)中，可以把P波的慢度c－1和偏振矢量gi表示為（Zheng，P?enˇcík，2002；Zheng，2004；鄭需要等，2010）

式（1）和式（2）中，pk是WA介質(zhì)中的慢度矢量；pkpk＝c－2；矢量e（1）i，e（2）i，ni＝e（3）i分別為定義在接收點的各向同性介質(zhì)中沿P波射線的3個相互垂直的單位矢量；α和β分別為各向同性介質(zhì)中的P波和S波的速度；矢量ni是射線的切線方向；單位矢量e（1）i和e（2）i可以在垂直于ni的平面內(nèi)任意選取.但下面的選擇為公式的推導和計算帶來很大的方便（P?enˇcík，Gajewski，1998；Zheng，P?enˇcík，2002）

式中，D＝（n21＋n22）1／2，n21＋n22＋n23＝1.

在波的傳播方向，n＝（cosφsinθ，sinφsinθ，cosθ），其中，φ是方位角，而θ是波的傳播方向與z軸的夾角（0≤φ≤2π，0≤θ≤π）.所以，D＝sinθ，而且e（1），e（2）可寫為

為了避免D＝0或者非常接近于零的時候式（3）中的分母為零的問題，我們選擇使用式（4）.

式（1）和式（2）中的B13，B23和B33被稱為弱各向異性矩陣元素，它們是15個 WA參數(shù)的函數(shù).這15個WA參數(shù)可以完全描述弱各向異性介質(zhì)中qP波的性質(zhì)（P?enˇcík，Gajewski，1998；Zheng，P?enˇcík，2002）.重寫式（1）和式（2），使包含 WA參數(shù)弱各向異性矩陣元素B13，B23和B33出現(xiàn)在方程的左邊，它們是待求解線性方程組中的未知參數(shù)

式（5）和式（6）代表由15個WA參數(shù)作為未知參數(shù)的線性方程組.方程組等號右端的偏振矢量gk和慢度矢量pk可以從觀測中得到.為方便起見，將式（5）稱作慢度公式，式（6）稱作偏振公式.

2 合成數(shù)據(jù)實驗

考慮一個合成的多方位、多震源VSP實驗.使用右手笛卡爾坐標系，x軸和y軸在水平面內(nèi)，z軸正方向朝下.對于鉆孔中的每一個接收點，如果知道了偏振矢量和慢度矢量，便可得到3 Ns×Np個方程.其中，Ns為沿一條剖面的震源數(shù)目，Np為具有不同方位的剖面數(shù)目.要想由qP波唯一地確定15個各向異性參數(shù)，至少需要5條剖面（P?enˇcík，Gajevski，1998）.模型位于立方體中，其尺度參數(shù)為－1.0≤x≤1.0，－1.0≤y≤1.0，－1.0≤z≤1.0（單位：km）.介質(zhì)為VTI介質(zhì)，由下面的兩個密度歸一化的彈性矩陣說明.在地表z＝0km處，彈性參數(shù)（單位：km2／s2）為

在z＝1km處，彈性參數(shù)為VTI介質(zhì)的對稱軸先繞y軸（離開垂直軸）轉(zhuǎn)動80°，然后再繞x軸轉(zhuǎn)動25°，最后得到的兩個矩陣的所有元素都不為零，可以把它們看作是一般的彈性矩陣.

鉆孔坐落在坐標系的原點，在鉆孔里等間隔地布設13個三分量地震儀，間距為0.05km，深度為0.1—0.7km，忽略自由地表效應.在地表跨過鉆井口布設6條剖面，方位（從x軸開始逆時針方向）依次為0°，30°，60°，90°，120°和150°.在鉆孔一邊每一條剖面上有9個震源，最近的震源距鉆孔0.1km，相鄰震源的距離為0.1 km（圖1）.在這一觀測系統(tǒng)中，每一個接收點有108條射線.使用各向異性介質(zhì)中的射線追蹤方程，可以計算出震源到接收點之間的射線.在模型的上部，射線覆蓋相當好，最淺的接收點不僅被近水平的射線照亮，也被近垂直的射線照亮.最深的接收點的射線覆蓋不如淺部的接收點覆蓋得那么好.它們主要是被近垂直的射線照亮，沒有近水平的射線照在這些接收點上.因此，我們不能期望在深的接收點處得到好的反演結(jié)果.“觀測的”三分量合成地震圖是由修改版的 Anray軟件包計算得到的（Gajewski，P?enˇcík，1990）.

從“觀測的”合成地震圖上可以獲得qP波的到時和偏振矢量.在每一個接收點，使用到時決定P波的參考速度α，S波的速度為β＝.利用相鄰接收點的到時決定慢度矢量的垂直分量，慢度矢量的徑向分量根據(jù)走時的互易性決定，切向分量很小而被忽略.根據(jù)每一接收點的參考速度，可以建立背景各向同性模型，它是一個一維垂向非均勻速度模型.在這個模型里進行射線追蹤，可以得到每個接收點處的，和ni；也可以用接收點處的偏振矢量近似地確定這些矢量.后者與上覆介質(zhì)無關(guān)，可以避免復雜的射線追蹤.由此便可得到式（5）和式（6）左邊所有的系數(shù)和右邊的觀測值.因為式（5）和式（6）是線性方程組，可以使用奇異值分解的方法進行求解反演.

基于6條剖面的數(shù)據(jù)，得到了圖2所示的反演結(jié)果.圖2a，b，c各選擇了3個深度的接收點的反演結(jié)果，其深度值依次為0.25，0.45和0.65km.在每一個接收點，左邊三列給出了精確的對稱軸的投影（實線）和反演得到的結(jié)果（虛線）；最右邊一列給出了包含對稱軸的相速度曲線，水平坐標表示波的傳播方向與對稱軸的夾角，從0°（對稱軸方向）到90°（各向同性面），垂直坐標表示相速度.可以看出，反演結(jié)果與精確解非常接近，慢度公式與偏振公式的聯(lián)合反演結(jié)果好于使用單一公式的反演結(jié)果.正如所期望的那樣，最深的接收點的反演結(jié)果不如最淺的接收點的反演結(jié)果好，因為最深的接收點沒有很好地被射線照亮.

當使用3條剖面時，反演結(jié)果如圖3所示.3條剖面的方位角分別為0°，60°和120°.如前所述，3條剖面少于完全恢復所有各向異性參數(shù)所需的剖面的數(shù)量（5條）.可以看出，反演結(jié)果與使用6條剖面的結(jié)果相比稍差一些，特別是對稱軸在（x，y）平面內(nèi)的投影和相速度的變化形式，然而相速度與真速度的基本特征仍然得以保留.慢度公式反演結(jié)果比較好，聯(lián)合反演也產(chǎn)生了較好的結(jié)果.

圖1 多方位多離源距的VSP實驗示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi－－azimuthal and multi－－source offset VSP experiment

圖2 使用6條剖面資料反演各向異性參數(shù)的結(jié)果（a）由慢度公式（5）反演得到；（b）由偏振公式（6）反演得到；（c）由慢度公式和偏振公式聯(lián)合反演得到.各子圖的上、中、下3行對應的接收點深度分別為0.25，0.45和0.65km.左邊三列給出精確的對稱軸投影（實線）和反演結(jié)果（虛線）；最右邊一列給出包含對稱軸的相速度曲線，水平坐標表示波的傳播方向與對稱軸的夾角，垂直坐標表示相速度，實線為相速度的準確值，虛線為反演結(jié)果Fig.2 Inversion for WA parameters by using data from 6profiles（a）Obtained with slowness equation（5）；（b）Obtained with polarization equation（6）；（c）Obtained by combining equations（5）and（6）.The receiver depths for the upper，middle and lower rows in each plot are 0.25，0.45and 0.65km，respectively.The first three frames from the left show the exact（solid line）and inverted（dashed line）projections of axis of symmetry；the frame on the right shows phase velocity sections within the symmetry plane，in which the horizontal coordinate represents angles between wave propagation direction and axis of symmetry，vertical coordinate represents phase velocity，solid line denotes the exact value of phase velocity and dashed line denotes inversed result

圖3 使用3條剖面資料反演各向異性參數(shù)的結(jié)果.（a）由慢度公式（5）反演得到；（b）由偏振公式（6）反演得到；（c）由慢度公式和偏振公式聯(lián)合反演得到.圖注說明同圖2Fig.3 Inversion for WA parameters by using data from 3profiles.（a）Obtained with slowness equation（5）；（b）Obtained with polarization equation（6）；（c）Obtained by combining equations（5）and（6）.The illustration is the same as for Fig.2

下面的結(jié)果和圖形顯示了不同水平的噪聲對數(shù)據(jù)及反演結(jié)果的影響.首先在觀測數(shù)據(jù)中加入10%的隨機噪聲.圖4和圖5分別顯示了使用6條剖面和3條剖面的反演結(jié)果.在圖4中反演得到的對稱軸與精確的對稱軸有一點點偏離，其它的與圖2所示結(jié)果沒有明顯差別.圖5顯示噪聲對于對稱軸在（x，y）平面的投影有較強的影響，反演得到的相速度剖面與精確解仍然比較吻合.

圖4 使用6條剖面資料、數(shù)據(jù)中加入10%隨機噪聲后的反演結(jié)果.（a）由慢度公式（5）反演得到；（b）由偏振公式（6）反演得到；（c）由慢度公式和偏振公式聯(lián)合反演得到.圖注說明同圖2Fig.4 Inversion for WA parameters by using data with 10%random noise from 6profiles.（a）Obtained with slowness equation（5）；（b）Obtained with polarization equation（6）；（c）Obtained by combining equations（5）and（6）.The illustration is the same as for Fig.2

圖5 使用3條剖面資料、數(shù)據(jù)中加入10%隨機噪聲后的反演結(jié)果.（a）由慢度公式（5）反演得到；（b）由偏振公式（6）反演得到；（c）由慢度公式和偏振公式聯(lián)合反演得到.圖注說明同圖2Fig.5 Inversion for WA parameters by using data with 10%random noise from 3profiles.（a）Obtained with slowness equation（5）；（b）Obtained with polarization equation（6）；（c）Obtained by combining equations（5）and（6）.The illustration is the same as for Fig.2

圖6 使用6條剖面資料、數(shù)據(jù)中加入20%隨機噪聲后的反演結(jié)果.（a）由慢度公式（5）反演得到；（b）由偏振公式（6）反演得到；（c）由慢度公式和偏振公式聯(lián)合反演得到.圖注說明同圖2Fig.6 Inversion for WA parameters by using data with 20%random noise from 6profiles.（a）Obtained with slowness equation（5）；（b）Obtained with polarization equation（6）；（c）Obtained by combining equations（5）and（6）.The illustration is the same as for Fig.2

當觀測數(shù)據(jù)中加入了20%的隨機噪聲時，從6條剖面得到的反演結(jié)果仍然很好（圖6）.這種水平的噪聲對使用3條剖面的反演結(jié)果有一些影響（圖7）.如果噪聲水平達到30%，可以看到使用6條剖面的反演結(jié)果（圖8）和使用3條剖面的反演結(jié)果（圖9）都與精確解有較大的偏離.使用慢度公式得到的結(jié)果好于使用偏振公式的結(jié)果，偏振公式對聯(lián)合反演也有較大的影響.使用6條剖面和慢度公式得到的結(jié)果仍然是可以接受的，使用偏振公式和聯(lián)合反演的結(jié)果有非常大的畸變.進一步增大噪聲水平將導致更嚴重的畸變.

圖7 使用3條剖面資料、數(shù)據(jù)中加入20%隨機噪聲后的反演結(jié)果.（a）由慢度公式（5）反演得到；（b）由偏振公式（6）反演得到；（c）由慢度公式和偏振公式聯(lián)合反演得到.圖注說明同圖2Fig.7 Inversion for WA parameters by using data with 20%random noise from 3profiles.（a）Obtained with slowness equation（5）；（b）Obtained with polarization equation（6）；（c）Obtained by combining equations（5）and（6）.The illustration is the same as for Fig.2

圖8 使用6條剖面資料、數(shù)據(jù)中加入30%隨機噪聲后的反演結(jié)果.（a）由慢度公式（5）反演得到；（b）由偏振公式（6）反演得到；（c）由慢度公式和偏振公式聯(lián)合反演得到.圖注說明同圖2Fig.8 Inversion for WA parameters by using data with 30%random noise from 6profiles.（a）Obtained with slowness equation（5）；（b）Obtained with polarization equation（6）；（c）Obtained by combining equations（5）and（6）.The illustration is the same as for Fig.2

圖9 使用3條剖面資料、數(shù)據(jù)中加入30%隨機噪聲后的反演結(jié)果.（a）由慢度公式（5）反演得到；（b）由偏振公式（6）反演得到；（c）由慢度公式和偏振公式聯(lián)合反演得到.圖注說明同圖2Fig.9 Inversion for WA parameters by using data with 30%random noise from 3profiles.（a）Obtained with slowness equation（5）；（b）Obtained with polarization equation（6）；（c）Obtained by combining equations（5）and（6）.The illustration is the same as for Fig.2

3 實際數(shù)據(jù)反演

把上面的反演方法應用到在爪哇海（Java Sea）地區(qū)獲得的一條walkaway VSP剖面中（Horne，Leaney，2000）.剖面上布設了228個震源，分布在鉆孔兩側(cè)－2.5—2.5km的范圍內(nèi)，相鄰震源間隔約為25m.以鉆孔1.63km為中心布設5個三分量檢波器，相鄰檢波器間距為5m.數(shù)據(jù)由下行和上行（反射）qP波和qS波組成，由Esmersoy（1990）和Leaney（1990）提出的參數(shù)反演方法提取.本文僅僅研究qP波問題，并且假定地下介質(zhì)是橫向非均勻、弱各向異性介質(zhì).在這種情況下只能從觀測記錄中得到慢度矢量的垂向分量和偏振矢量.通過在式（5）和式（6）中消去慢度矢量的水平分量，可以得到由慢度矢量的垂向分量和偏振矢量表示的反演公式（Zheng，P?enˇcík，2002）.因為只有一條剖面，所以僅能反演5個 WA參數(shù)，即εx，εz，δx，ε15和ε35（Zheng，P?enˇcík，2002）.這5個 WA參數(shù)完全決定介質(zhì)在（x，z）平面內(nèi)的性質(zhì).

從walkaway VSP剖面中得到了228個下行qP波和228個上行qP波數(shù)據(jù)（圖10）（Horne，Leaney，2000）.圖10中縱軸表示慢度矢量的垂直分量，橫軸表示偏振角.偏振角在－90°―90°之間的數(shù)據(jù)為下行波，偏振角在±（90°―180°）之間的數(shù)據(jù)為上行波（反射波）.從圖10中可以看出，上行波比下行波有較大的離散性.圖中實線是聯(lián)合使用上行波和下行波反演得到的理論結(jié)果.在反演中假定介質(zhì)是一般各向異性介質(zhì).

圖10 來自爪哇海地區(qū)的一條變井源距觀測剖面Fig.10 A multi-source offset VSP experiment from the Java Sea region

在qP波偏振角0°—75°范圍內(nèi)可用的下行波和上行波數(shù)目分別為133個和170個.偏振角大于75°的數(shù)據(jù)誤差較大，因為在這個范圍內(nèi)，慢度矢量和偏振矢量的垂直分量較小，信噪比較低.可以單獨使用下行波組成133個線性方程組，也可以聯(lián)合使用下行波和上行波組成303個線性方程組.對前面描述的由5個WA參數(shù)組成的方程進行求解，可以獲得相關(guān)的WA參數(shù).使用上面公式得到的參考介質(zhì)的P波速度為α＝2.75km／s.圖11給出了介質(zhì)為一般各向異性介質(zhì)模型時得到的（x，z）平面內(nèi)的相速度曲線.圖中也給出了Horne和Leaney（2000）使用VTI介質(zhì)模型和不同反演方法得到的結(jié)果.當介質(zhì)為各向同性時，相速度為常數(shù)，在圖11中顯示為一條直線.Horne和Leaney（2000）假定介質(zhì)是VTI介質(zhì)，單獨使用慢度數(shù)據(jù)和聯(lián)合使用慢度與偏振數(shù)據(jù)得到了兩個稍有差別的結(jié)果，相速度在水平方向較為一致，但是在垂直方向有較大的區(qū)別.圖11中的細實線和粗實線分別表示使用下行波和聯(lián)合使用下行波和上行波得到的相速度曲線.與Horne和Leaney（2000）結(jié)果的主要區(qū)別在于：他們得到介質(zhì)的各向異性為14%（單獨使用慢度）和19%（聯(lián)合使用慢度和偏振）；而本文通過求解前面描述的反演方程得到的介質(zhì)各向異性為8%.本文得到的相速度的最小值也不在垂直方向，而是偏離垂直方向大約20°，這一方向可能是對稱軸在（x，z）平面內(nèi)的投影.

圖11 用不同方法得到的反演結(jié)果Fig.11 Results from inversion using different methods

4 討論與結(jié)論

合成數(shù)據(jù)實驗表明，本文提出的反演方法能夠確定具有任意對稱性的弱各向異性參數(shù)，盡管在反演時假定慢度矢量的切向分量為零.使用較少的剖面表明聯(lián)合使用慢度公式和偏振公式可以得到較好的結(jié)果.噪聲實驗表明，慢度公式是確定各向異性參數(shù)的較為可靠的工具.

顯然，肯定和證實上述結(jié)論需要進一步的實驗.筆者希望繼續(xù)進行具有不規(guī)則震源剖面分布和減少震源數(shù)目的實驗，探討介質(zhì)橫向非均勻性和低對稱性介質(zhì)對反演的影響.我們計劃研究那些使慢度矢量嚴重偏離傳播面的地震各向異性介質(zhì).

上面的實驗可以很容易地推廣到鉆孔為非垂直的和震源高程不同的情況.本文已經(jīng)將介質(zhì)垂向非均勻性的條件擴展到了介質(zhì)的橫向非均勻性，由于使用了慢度分量和偏振矢量，使得在反演中不用考慮上覆介質(zhì)的影響，避免了復雜的射線追蹤計算.除了介質(zhì)是弱各向異性的假設條件外，本文提出的正演公式和反演公式具有普遍性.

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