數(shù)的解析式問(wèn)題對(duì)稱軸都是經(jīng)過(guò)函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的直線,把對(duì)稱軸方程代入到函數(shù)解析式中,此時(shí)函數(shù)取得最大值或最小值。本題的易錯(cuò)點(diǎn)是:令,從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。變式練習(xí)1:函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A>0,x∈R)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,它的周期是π,則( )。二、三角函數(shù)的參數(shù)問(wèn)題例2 如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線對(duì) 稱,則a的 值為_(kāi)____。分析:本題解法多種,可以代入驗(yàn)證,也可以根據(jù)對(duì)稱軸的方程求解,還

，用“對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離”等定量刻畫的方法來(lái)進(jìn)一步分析圖形的特點(diǎn)。在磨課的過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生有以下兩處疑難和困惑點(diǎn)。疑難點(diǎn)1：學(xué)生很難判斷平行四邊形是不是軸對(duì)稱圖形。（這節(jié)課所討論的平行四邊形指的是一般的平行四邊形，不考慮特殊的平行四邊形）我們對(duì)全校8 個(gè)班級(jí)近400名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。從數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)接近的學(xué)生認(rèn)為“平行四邊形是軸對(duì)稱圖形”，在和學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)學(xué)生是把平分線和對(duì)稱軸混淆了，誤認(rèn)為平分線就是對(duì)稱軸。疑難點(diǎn)2：學(xué)生很難體驗(yàn)到軸對(duì)稱也是圖形的一

關(guān)系1.兩點(diǎn)在對(duì)稱軸的同側(cè)時(shí)當(dāng)兩點(diǎn)在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí)，我們只需根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷函數(shù)值的大小。例1已知拋物線y=-（x+2）2上的兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜-2，那么下列結(jié)論一定成立的是（ ）。A.0＜y2＜y1B.y1＜y2＜0C.0＜y1＜y2D.y2＜y1＜0【解析】拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在x＜-2時(shí)，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2，而y=-（x+2）2≤0，∴y1＜y2＜0。故選B。2.

艷梅與三角函數(shù)對(duì)稱軸有關(guān)的問(wèn)題常出現(xiàn)在各類試題中，側(cè)重于考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).因此，要順利解答與三角函數(shù)對(duì)稱軸有關(guān)的問(wèn)題，同學(xué)們不僅要熟練掌握三角函數(shù)中的基本公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)輔助解題.本文以一道題為例，談一談如何從不同角度解答三角函數(shù)求值問(wèn)題.本題主要考查了三角函數(shù)的解析式、圖象、對(duì)稱軸.要求 a 的值，我們需根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸來(lái)確定函數(shù)的圖象、性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象來(lái)解題.角度一：利用函數(shù)的對(duì)稱

抓住關(guān)鍵詞——對(duì)稱軸，從而聯(lián)想到要分橫軸、縱軸兩種情形分類考慮；第二步，從特殊到一般，進(jìn)行合情推理.通過(guò)直觀想象、數(shù)據(jù)分析等，合理利用圖式化，圖式化就是形式內(nèi)容的內(nèi)化過(guò)程，其結(jié)果是一種心理意義，即心理結(jié)構(gòu)，如圖：得出對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5.第三步，歸納、猜想，數(shù)學(xué)建模.【備考建議】(1)注重課標(biāo)，科學(xué)制定復(fù)習(xí)計(jì)劃教師應(yīng)淡化自認(rèn)為的“經(jīng)驗(yàn)”，不唯經(jīng)驗(yàn)論，應(yīng)圍繞唯一的命題依據(jù)——《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》制定復(fù)習(xí)計(jì)劃

系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)（即ab > 0）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)a與b異號(hào)（即ab < 0）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè). 簡(jiǎn)稱：左同右異. （3）常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)，拋物線與y軸交于（0，c），當(dāng)c > 0時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸;當(dāng)c < 0時(shí)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸.通過(guò)以上例題我們可以看出，解決此類問(wèn)題的一般思路為：（1）首先根據(jù)拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與y軸交點(diǎn)的位置確定a，b，c的符號(hào);（2）然后結(jié)合當(dāng)x = ±1，±2

】軸對(duì)稱圖形 對(duì)稱軸 對(duì)稱美本節(jié)課初步教學(xué)對(duì)稱現(xiàn)象和軸對(duì)稱圖形。新版教材一共分五步呈現(xiàn)：（1）仔細(xì)觀察，感知對(duì)稱。（2）啟發(fā)思考，找出特征。（3）抽象圖形，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)。（4）嘗試探索，描述特征。（5）動(dòng)手操作，豐富體驗(yàn)。教材的編寫緊扣學(xué)生生活實(shí)際，精心挑選了學(xué)生熟悉且感興趣的材料，例1讓學(xué)生觀察體會(huì)圖形中的對(duì)稱現(xiàn)象，學(xué)生對(duì)于對(duì)稱現(xiàn)象已經(jīng)不陌生，甚至很多人在幼兒園時(shí)期就已經(jīng)會(huì)對(duì)折之后剪出對(duì)稱的圖形。因此，學(xué)生能夠初步感知生活中這些物體都是對(duì)稱的。接著通過(guò)“對(duì)折

個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，畫圖形的對(duì)稱軸基本定位是已知線段的垂直平分線，并體驗(yàn)其現(xiàn)實(shí)價(jià)值。教學(xué)思路分析：對(duì)稱是美學(xué)、數(shù)學(xué)的概念，也是生活中的一種現(xiàn)象，對(duì)稱軸是用來(lái)研究這種現(xiàn)象的重要工具。本篇設(shè)計(jì)的基本出發(fā)點(diǎn)是以學(xué)生為中心，在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)探索、發(fā)現(xiàn)對(duì)稱軸與對(duì)稱點(diǎn)之間的關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)方法。學(xué)會(huì)與同學(xué)交流合作，做到傾聽(tīng)、欣賞別人，體驗(yàn)自身和別人的價(jià)值，建立自信，學(xué)會(huì)謙遜。本篇設(shè)計(jì)利用現(xiàn)

則該點(diǎn)關(guān)于圖像對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）。A.（2，3） B.（1，2）C.（2，2） D.（1，3）【分析】我們要求對(duì)稱點(diǎn)，就要先求出拋物線的對(duì)稱軸，然后利用對(duì)稱性求出另一點(diǎn)的坐標(biāo)。解：對(duì)稱軸為。設(shè)所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，解得m=1。由對(duì)稱性可知縱坐標(biāo)不變，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）。故選B?！军c(diǎn)評(píng)】靈活利用配方法或公式求出對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵。本題還可以利用十字相乘法，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式y(tǒng)=k（x-1）（x-3），求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

問(wèn)題。關(guān)鍵詞 對(duì)稱軸 折疊問(wèn)題 中考數(shù)學(xué)中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A折疊問(wèn)題主要是考察中考數(shù)學(xué)中的軸對(duì)稱性質(zhì)，其折線是對(duì)稱軸，折線兩邊對(duì)應(yīng)圖形全等，并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸所垂直平分，對(duì)應(yīng)邊平行或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。折疊問(wèn)題的題型變化多樣，一般地，從考察學(xué)生的空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，到直接運(yùn)用折疊問(wèn)題的相關(guān)性質(zhì)的證明計(jì)算題，發(fā)展到基于折疊問(wèn)題的綜合應(yīng)用題，乃至壓軸題?？疾斓哪康娜諠u明確，主要是想考察學(xué)生的“四基”、“四能”中

OC，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E，連接AC，BC. （1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸; （2）若MN是直線BC上一條動(dòng)線段，且MN = ，點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方，請(qǐng)求出AM + DN的最小值; （3）將線段BC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BC′，以BC′為邊向下作等腰直角三角形BFC′，連接DF，線段DF是否存在最大值，若存在請(qǐng)直接寫出DF的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 答案：1. 2. （1）y = -x2 - 3x + 4，對(duì)

探討了圓錐曲線對(duì)稱軸上任一定點(diǎn)到它的最近點(diǎn)的位置，并且為得到統(tǒng)一的解析式，引入了圓錐曲線頂點(diǎn)的曲率中心知識(shí)，用該中心對(duì)對(duì)稱軸上的定點(diǎn)進(jìn)行分類討論，并以統(tǒng)一的圓錐曲線直角坐標(biāo)方程來(lái)求解，從而求得這個(gè)最近點(diǎn)，得出圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質(zhì)。?【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;對(duì)稱軸;定點(diǎn);統(tǒng)一性質(zhì)【中圖分類號(hào)】G712 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2020）16-0064-02在高中數(shù)學(xué)中，解析幾何占有很重要的地位，其中圓錐曲線部分的知識(shí)也是高考必考的

呢？預(yù)設(shè)：沿著對(duì)稱軸對(duì)折能夠完全重合；那條折痕所在的直線我們把它稱作對(duì)稱軸；有的軸對(duì)稱圖形有不止一條對(duì)稱軸，可能有許多條。師：今天我們繼續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)《圖形的運(yùn)動(dòng)——軸對(duì)稱》（板書課題）。【設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，引發(fā)學(xué)生對(duì)舊知的回憶，為新知教學(xué)做好鋪墊。】二、探究新知，看圖形的一半畫另一半1.情境教學(xué)，發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)特點(diǎn)。出示練習(xí)紙：（1）學(xué)生獨(dú)立畫圖，教師巡視指導(dǎo)。（2）合作交流，說(shuō)說(shuō)理由。（3）指定學(xué)生，說(shuō)說(shuō)發(fā)現(xiàn)。預(yù)設(shè)：運(yùn)用了軸對(duì)

的這條直線叫作對(duì)稱軸?？纯聪旅娴膱D形是否為軸對(duì)稱圖形？它們分別有幾條對(duì)稱軸？圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七圖八圖一正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸。圖一圖二等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，有1條對(duì)稱軸。圖二圖三圓形是軸對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。圖三圖四等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸。圖四圖五直角三角形不是軸對(duì)稱圖形，無(wú)法對(duì)折后完全重合。圖五圖六等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸。等腰三角形都有1條對(duì)稱軸。圖六圖七長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸。圖七圖八平

新定義;思路;對(duì)稱軸;幾何變換;函數(shù);坐標(biāo)軸新定義考題的思路突破模考題：（2019年北京順義區(qū)期末試題第28題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)x軸對(duì)稱，點(diǎn)P1和點(diǎn)P2關(guān)于直線l對(duì)稱，則稱點(diǎn)P2是點(diǎn)P關(guān)于x軸、直線l的二次對(duì)稱點(diǎn).評(píng)析 該新定義考題是與軸對(duì)稱相關(guān)的幾何變換題，其特殊之處在于涉及了直角坐標(biāo)系，因此需要聯(lián)系軸對(duì)稱特性和直角坐標(biāo)系進(jìn)行問(wèn)題分析. 其中第（1）問(wèn)是考查結(jié)合軸對(duì)稱特性來(lái)推理對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，（2）問(wèn)和（3）問(wèn)是進(jìn)一步融合了

函數(shù);拋物線;對(duì)稱軸【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）22-0170-02在初中數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)使不少初學(xué)二次函數(shù)的初中生感到比較困惑。其實(shí)二次函數(shù)的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系的變化，將數(shù)量變化與圖形相結(jié)合進(jìn)行學(xué)習(xí)，就不會(huì)像一些同學(xué)想象的那么困難。結(jié)合教科書的內(nèi)容安排，按照下面的研究順序，循序漸進(jìn)，逐步深入，會(huì)很容易弄明白二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。1? ?y=x2和y=-x2的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，

步求二次函數(shù)的對(duì)稱軸，第三步判斷二次函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，第四步得出結(jié)果.下面通過(guò)具體實(shí)例對(duì)上述“四步曲”進(jìn)行說(shuō)明.二、例題解析例1 求函數(shù)f(x)=x2-4x在[-1,1]上的最大值和最小值.故歸納解題步驟如下：此類題目我們可以做如下總結(jié)：當(dāng)給出的區(qū)間不為具體數(shù)字時(shí)，怎么處理相對(duì)簡(jiǎn)潔呢，來(lái)看一看下面的例題：例2若函數(shù)f(x)=x2-2x+2，x∈[t,t+1],t∈R上的最小值為g(t)，試寫出g(t)的函數(shù)表達(dá)式.當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間左邊(含端點(diǎn))即1≤

稱圖形，本文就對(duì)稱軸在二次函數(shù)中的應(yīng)用作如下講解。關(guān)鍵詞 對(duì)稱軸;二次函數(shù);作用中圖分類號(hào)：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）11-0198-01二次函數(shù)的圖象是拋物線，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是過(guò)頂點(diǎn)且平行于y軸的一條直

它們各有多少條對(duì)稱軸呢？試著畫一畫?！净锇槌鍪帧烤Ьдf(shuō)：“通過(guò)‘對(duì)折后是否能夠完全重合’，我們就可以判斷這個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形。軸對(duì)稱圖形中的這條折痕所在直線就是這個(gè)圖形的對(duì)稱軸?！庇f(shuō)：“正方形有4條對(duì)稱軸?！睔g歡說(shuō)：“等邊三角形有3條對(duì)稱軸。”妮妮說(shuō)：“圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸?！薄疚绎@身手】1. 正五邊形有（ ）條對(duì)稱軸，在圖上畫一畫。2. 正六邊形有（ ）條對(duì)稱軸，在圖上畫一畫?！遁S對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸》參考答案1. 5；2. 6。

將不同點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對(duì)稱軸的同一側(cè)，再利用二次函數(shù)的增減性比較大??；這兩種方法計(jì)算均略顯麻煩；3、把比較函數(shù)值大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較這些點(diǎn)與對(duì)稱軸的水平距離的大小問(wèn)題。方法1有時(shí)行得通有時(shí)就行不通。方法2比較麻煩，尤其是點(diǎn)在對(duì)稱軸的兩邊，方法3是比較巧妙的，掌握了解決此類題非常方便。方法3的理論也并不深?yuàn)W。只要教師善于引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖象就能總結(jié)出規(guī)律：二次函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），對(duì)稱軸為 X＝m，如何比較函數(shù)值的大小呢？我們總結(jié)的巧辦

面 空間格子 對(duì)稱軸 定向結(jié)晶學(xué)具有的空間性、抽象性、邏輯性等特點(diǎn)，對(duì)其認(rèn)識(shí)的一個(gè)簡(jiǎn)單方法從數(shù)學(xué)知識(shí)入手，甚至可直接運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)支撐對(duì)晶體的認(rèn)識(shí)或研究。數(shù)學(xué)知識(shí)從自然數(shù)開(kāi)始擴(kuò)大到正整數(shù)，每個(gè)數(shù)字的表示可看作“點(diǎn)”的標(biāo)記，1、2、3、4、5……，“加減乘除”四則運(yùn)算實(shí)際上可以看作是對(duì)“點(diǎn)”混合認(rèn)識(shí)。其后，是分?jǐn)?shù)，在之前的基礎(chǔ)上上了一個(gè)臺(tái)階，“點(diǎn)”可以進(jìn)一步切割劃分，甚至可以無(wú)休止地劃分下去，基于僅為運(yùn)算這一單一目的，知識(shí)結(jié)構(gòu)仍停留在“點(diǎn)”的范圍內(nèi)?！包c(diǎn)”是

對(duì)稱；對(duì)稱性；對(duì)稱軸；等效；發(fā)散性思維；靈感我們?cè)谥袑W(xué)物理教學(xué)中經(jīng)常體會(huì)到，學(xué)生在掌握物理知識(shí)時(shí)往往拘泥于基本概念和基本公式，而對(duì)一些由基本概念和基本規(guī)律引申出來(lái)的題目往往無(wú)從下手，許多學(xué)生不習(xí)慣于發(fā)散性思維，對(duì)一些新背景的題目毫無(wú)辦法。把物理知識(shí)、規(guī)律學(xué)死了，不會(huì)對(duì)知識(shí)規(guī)律遷移應(yīng)用，脫離物理學(xué)中的實(shí)際意義，這樣不利于學(xué)生的進(jìn)一步的發(fā)展。其實(shí)在高中物理中經(jīng)常能遇到大量的對(duì)稱性問(wèn)題，或可以用對(duì)稱的手法通過(guò)作圖、等效化簡(jiǎn)等辦法簡(jiǎn)化問(wèn)題，找出對(duì)稱的要素達(dá)到解決問(wèn)

交點(diǎn)式;最值;對(duì)稱軸中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2018）15-0224-01引言函數(shù)在初中數(shù)學(xué)課程體系當(dāng)中一直是重中之重，其知識(shí)體量大，知識(shí)點(diǎn)復(fù)雜，對(duì)于定理和定義的理解需要十分到位且深刻，才能把二次函數(shù)掌握清晰，因此是教學(xué)任務(wù)的主要攻克對(duì)象，教師與學(xué)生均對(duì)其投入了巨大的時(shí)間和精力。在考試中，函數(shù)經(jīng)常作為壓軸題和難點(diǎn)題出現(xiàn)，學(xué)生在解答過(guò)程中往往會(huì)感覺(jué)到力不從心，丟分現(xiàn)象嚴(yán)重。學(xué)生利用常規(guī)方法解答函數(shù)題目，往往通過(guò)大量

的單調(diào)性、平移對(duì)稱軸、平移區(qū)間、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等等.二次函數(shù);最值二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)必修一的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，其中求二次函數(shù)的最值問(wèn)題更是重中之重，是高一第一學(xué)期期中試與期末試中必考內(nèi)容. 如果我們學(xué)生在平時(shí)做練習(xí)的過(guò)程中能夠積累一些類型題及類型方法，那么學(xué)生不僅能夠很好很快地掌握二次函數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而且無(wú)論是在平時(shí)做題還是在考試中更能得心順手地做題.下面我們就介紹高中有關(guān)二次函數(shù)的最值問(wèn)題的幾類型題及其求解方法.一、配方法初中所學(xué)習(xí)的配方法一般用于具體的

的研究，折痕（對(duì)稱軸）的類型有固定、平移、旋轉(zhuǎn)三種類型，本文著重探索折痕旋轉(zhuǎn)類型，這類題目立意新穎，能培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖、想象、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.我們?cè)谘芯窟@類問(wèn)題時(shí)要善于由形思數(shù)、由數(shù)思形、數(shù)形結(jié)合，找出對(duì)稱軸（折痕）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的規(guī)律，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.【關(guān)鍵詞】對(duì)稱軸；折痕；垂直平分；平移；旋轉(zhuǎn)折疊、軸對(duì)稱問(wèn)題的解決，離不開(kāi)對(duì)折痕、對(duì)稱軸的研究，結(jié)合折疊前后的圖形關(guān)于折痕成軸對(duì)稱關(guān)系，即圖形之間的全等，得出對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角相等，

軸對(duì)稱圖形都有對(duì)稱軸，我們可以先預(yù)想一條對(duì)稱軸（如下圖虛線所示），再根據(jù)對(duì)稱軸移動(dòng)硬紙就容易成功了。如果預(yù)想的對(duì)稱軸如圖A，那么移動(dòng)其中一張硬紙，可以得到下面3個(gè)軸對(duì)稱圖形。如果預(yù)想的對(duì)稱軸如圖B，那么移動(dòng)一張硬紙，又可以得到下面3個(gè)不同的軸對(duì)稱圖形。聰明的小朋友，如果預(yù)想的對(duì)稱軸如圖C，你能說(shuō)說(shuō)，怎樣移動(dòng)其中一張硬紙，使原圖變成軸對(duì)稱圖形嗎？你還能預(yù)想出另外的對(duì)稱軸嗎？與同桌交流一下吧！

的這條虛線叫作對(duì)稱軸。小方善于比較，他發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的不同。他說(shuō)，軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形而言的。一向沉默寡言的小黃，一語(yǔ)驚人。他說(shuō)，兩個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)叫作對(duì)稱點(diǎn)。他擔(dān)心大家不理解，還在蝴蝶圖形上標(biāo)出了A、A′，他說(shuō)，A和A′就是對(duì)稱點(diǎn)，而且A和A′到對(duì)稱軸的距離相等。小趙歪著小腦袋，想了想，說(shuō)出了與眾不同的看法。他說(shuō)，蝴蝶、臉譜、紅雙喜等圖形只有一條對(duì)稱軸，長(zhǎng)方形有兩條對(duì)稱軸，正方形有四條對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。說(shuō)完，他分別畫

能正確地找出其對(duì)稱軸；探索軸對(duì)稱圖形的特征和性質(zhì)，并能根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出軸對(duì)稱圖形的另一半。發(fā)展目標(biāo)：通過(guò)各種實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新思維能力；在欣賞圖形變換所創(chuàng)造出的美的過(guò)程，培養(yǎng)審美意識(shí)和創(chuàng)造美的能力?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】掌握軸對(duì)稱圖形的特征和性質(zhì)，學(xué)會(huì)畫軸對(duì)稱圖形。【教學(xué)重點(diǎn)】探索軸對(duì)稱圖形的特征及畫軸對(duì)稱圖形的方法?！窘虒W(xué)設(shè)計(jì)】一、情境導(dǎo)入師：我們周圍很多美麗的圖案也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)信息。下面我們一起來(lái)欣賞一些生活中的圖案。欣賞的同時(shí)想

數(shù)的對(duì)稱性，將對(duì)稱軸異側(cè)兩點(diǎn)A（2，y1），B（-1，y2）轉(zhuǎn)化到對(duì)稱軸的同一側(cè)兩點(diǎn)A（2，y1），B′（3，y2），再根據(jù)二次函數(shù)的增減性比較大小.【題后反思】從解題中我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)法的本質(zhì)即利用圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征把二次函數(shù)值的比較大小轉(zhuǎn)化為代數(shù)式值的比較大小.而函數(shù)法的本質(zhì)即結(jié)合二次函數(shù)的圖像，利用函數(shù)增減性把二次函數(shù)值的比較大小轉(zhuǎn)化為比較A、B兩點(diǎn)到對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近.代數(shù)法是順其自然的解答，函數(shù)法是數(shù)形結(jié)合的方法，直觀簡(jiǎn)單.這兩種方法時(shí)刻貫穿于我們二次

線（或高線）為對(duì)稱軸構(gòu)造等腰三角形例1如圖1，已知A D⊥B C于點(diǎn)D，且∠B＝2∠C，試說(shuō)明：A B＋B D＝D C.圖1分析：因?yàn)锳 D⊥B C，以A D為對(duì)稱軸進(jìn)行變換，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)E必落在B C上，連接A E，則△A B E為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)使問(wèn)題迎刃而解.解：因?yàn)锳 D⊥B C，以A D為對(duì)稱軸進(jìn)行變換，點(diǎn)E為點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn).連接A E，則△A B E為等腰三角形，所以∠A E B＝∠B＝2∠C，且D B＝D E.因?yàn)椤螦 E B＝

數(shù)的對(duì)稱性，將對(duì)稱軸異側(cè)兩點(diǎn)A（2，y1），B（-1，y2）轉(zhuǎn)化到對(duì)稱軸的同一側(cè)兩點(diǎn)A（2，y1），B′（3，y2），再根據(jù)二次函數(shù)的增減性比較大小.【題后反思】從解題中我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)法的本質(zhì)即利用圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征把二次函數(shù)值的比較大小轉(zhuǎn)化為代數(shù)式值的比較大小.而函數(shù)法的本質(zhì)即結(jié)合二次函數(shù)的圖像，利用函數(shù)增減性把二次函數(shù)值的比較大小轉(zhuǎn)化為比較A、B兩點(diǎn)到對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近.代數(shù)法是順其自然的解答，函數(shù)法是數(shù)形結(jié)合的方法，直觀簡(jiǎn)單.這兩種方法時(shí)刻貫穿于我們二次

把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，那么這兩部分關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱；如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，那么這個(gè)整體就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.“圖形成軸對(duì)稱”和“軸對(duì)稱圖形”是兩個(gè)不同的概念.易錯(cuò)點(diǎn)二：對(duì)稱軸描述有誤例2說(shuō)出線段、角、等腰三角形、正方形、圓的對(duì)稱軸.【錯(cuò)解】線段有一條對(duì)稱軸，是它的垂直平分線；角有一條對(duì)稱軸，是它的角平分線；等腰三角形有一條對(duì)稱軸，是底邊上的高；正方形有兩條對(duì)稱軸，是兩組對(duì)邊中點(diǎn)的連線；圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，是它的直徑.【正解】線段

把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，那么這兩部分關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱；如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，那么這個(gè)整體就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.“圖形成軸對(duì)稱”和“軸對(duì)稱圖形”是兩個(gè)不同的概念.它們之間有著密切的聯(lián)系.易錯(cuò)點(diǎn)二：對(duì)稱軸描述有誤例2 說(shuō)出線段、角、等腰三角形、正方形、圓的對(duì)稱軸.【錯(cuò)解】線段有一條對(duì)稱軸，是它的垂直平分線；角有一條對(duì)稱軸，是它的角平分線；等腰三角形有一條對(duì)稱軸，是底邊的高；正方形有兩條對(duì)稱軸，是兩組對(duì)邊中點(diǎn)的連線；圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，

基本思路：根據(jù)對(duì)稱軸相對(duì)定義域區(qū)間的位置，利用分類討論思想方法。為做到分類時(shí)不重不漏，可畫對(duì)稱軸相對(duì)于定義域區(qū)間的簡(jiǎn)圖分類。①表示對(duì)稱軸在區(qū)間[t，s]的左側(cè)，②表示對(duì)稱軸在區(qū)間[t，s]內(nèi)且靠近區(qū)間的左端點(diǎn)，③表示對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)且靠近區(qū)間的右端點(diǎn)，④表示對(duì)稱軸在區(qū)間[t，s]的右側(cè)。然后根據(jù)口訣“開(kāi)口向上，近則小、遠(yuǎn)則大”；“開(kāi)口向下，近則大、遠(yuǎn)則小”即可快速求出最值。含參數(shù)的二次函數(shù)求最值的問(wèn)題大致分為三種題型，無(wú)論哪種題型都圍繞著對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的

段范圍是分布在對(duì)稱軸的左側(cè)、右側(cè)還是對(duì)稱軸的兩側(cè)，應(yīng)視情況而定：當(dāng)x的這段范圍分布在對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí)，函數(shù)最值就是二次函數(shù)的最值，當(dāng)x的這段范圍分布在對(duì)稱軸的左側(cè)或右側(cè)時(shí)，要根據(jù)對(duì)稱軸兩側(cè)二次函數(shù)的增減性來(lái)確定最值，常常在“端點(diǎn)”處的縱坐標(biāo)值就是此段范圍內(nèi)的函數(shù)的最大值或最小值.

（x）的圖像的對(duì)稱軸方程。（2）設(shè)函數(shù)y=x（x）的定義域?yàn)镽，求函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像的對(duì)稱軸方程。解：（1）令a+x=t，則x=t-a，從而b-x=b+a-t，可得f（t）=f（b+a-t），即f（x）=f（b+a-x），所以y=f（x）的圖像是軸對(duì)稱圖形，且圖像的對(duì)稱軸方程為x=（b+a）/2。（2）令a+x=t，則x=t-a，從而b-x=b+a-t，可知函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像的對(duì)稱軸即為y=f（t）與y=

數(shù)；幾何性質(zhì)；對(duì)稱軸函數(shù)的周期出現(xiàn)在新教材必修（4）第一章三角函數(shù)中，它的定義是：一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x的值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期，對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期。函數(shù)的周期不僅僅是三角函數(shù)的一個(gè)考點(diǎn)，在抽象函數(shù)上也是考查的一個(gè)對(duì)象，在此，我從問(wèn)題的給出形式上

當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增加，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小. 本題欲求“當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí)，自變量x的取值范圍”，這就告訴我們本題與拋物線的對(duì)稱性有關(guān)，我們必須探索拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸.例2 （2013·江蘇泰州）已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+ax（a>0），點(diǎn)A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在這個(gè)二次

旁部分，重合，對(duì)稱軸）點(diǎn)評(píng)通過(guò)蝴蝶折疊的動(dòng)畫演示，引導(dǎo)學(xué)生歸納軸對(duì)稱圖形的概念，體現(xiàn)從具體到一般的學(xué)習(xí)規(guī)律，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的歸納、抽象、概括能力，也有益于學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.跟蹤練習(xí)1（學(xué)案）：1.課本第60頁(yè)練習(xí)題第1題2.在0～9這10個(gè)數(shù)字中，哪些是軸對(duì)稱圖形？3.名稱是否是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸條數(shù)長(zhǎng)方形正方形平行四邊形等腰三角形圓（學(xué)生獨(dú)立做完學(xué)案，教師巡視并及時(shí)給予肯定和表?yè)P(yáng)）點(diǎn)評(píng)這幾道題的練習(xí)做到了知識(shí)性、技能性、思想性和藝術(shù)性融為一體，這樣設(shè)

gh算法的圖像對(duì)稱軸檢測(cè)李曉磊1， 潘晉孝1， 劉 賓1， 陳 平1,2(1. 中北大學(xué) 信息探測(cè)與處理山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051;2. 中國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化研究所， 中國(guó)科學(xué)院分子影像重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100190)為高精度提取對(duì)稱剛體對(duì)象的中軸線， 提出了一種基于Hough變換的圖像對(duì)稱軸檢測(cè)方法。 本文以子彈為研究對(duì)象， 首先采集原始圖像， 因剛體邊緣是對(duì)稱軸檢測(cè)的基礎(chǔ)， 采用相關(guān)的算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)， 獲得所有可能的邊緣點(diǎn)。 然后利用

）2-4.①若對(duì)稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)或左側(cè)，此時(shí)函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最大值和最小值分別在區(qū)間端點(diǎn)處取得，比如本題的（1）（3）小題；②若對(duì)稱軸穿過(guò)區(qū)間，此時(shí)函數(shù)在該區(qū)間上先減后增，最小值在對(duì)稱軸處取得.而最大值在端點(diǎn)處取得.此時(shí)只需計(jì)算哪個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值較大即可，或比較哪個(gè)端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)（端點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大）即可，比如本題的（2）小題；③函數(shù)的最大、最小值只在區(qū)間的端點(diǎn)或對(duì)稱軸處取得.2.軸定區(qū)間變問(wèn)題【例2】 求二次函數(shù)f（x）=x2

間問(wèn)題當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸確定，所給區(qū)間也確定時(shí)，可直接利用單調(diào)性求其最值.【例1】已知函數(shù)f（x）=x2-2x+3，求滿足下列條件的f（x）的最值.（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].解析：f（x）=x2-2x+3的對(duì)稱軸是x=1.（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上單調(diào)遞減；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上單調(diào)遞增；f（x）max=f（3）=6

助于圓錐曲線的對(duì)稱軸，利用點(diǎn)的對(duì)稱性給出了圓錐曲線切線的一種作法.約定圓錐曲線的內(nèi)部是指平面上含焦點(diǎn)的區(qū)域，外部是指平面上不含焦點(diǎn)的區(qū)域.首先討論橢圓的一條有趣性質(zhì).性質(zhì)1如圖1，過(guò)橢圓外部的一點(diǎn)P，分別作對(duì)稱軸的平行線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q，R，連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR 與對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，D，分別作點(diǎn)C，D 關(guān)于中心O 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，則點(diǎn)E，F(xiàn)在P 點(diǎn)關(guān)于橢圓的切點(diǎn)弦上.證明設(shè)橢圓的方程為，P 點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，y0)，則P 點(diǎn)關(guān)于橢圓的

值與它的圖象的對(duì)稱軸密切相關(guān)，這類問(wèn)題的求解，其關(guān)鍵是運(yùn)用二次函數(shù)的圖象，研究函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，在不同的情況下，函數(shù)的單調(diào)性不一，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，本文就二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的“定”和“動(dòng)”，將此類常見(jiàn)的問(wèn)題分為四種類型，并分別舉例加以深度剖析。endprint二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問(wèn)題是高考命題中經(jīng)久不衰的“熱點(diǎn)”，二次函數(shù)的最值與它的圖象的對(duì)稱軸密切相關(guān)，這類問(wèn)題的求解，其關(guān)鍵是運(yùn)用二次

值問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)稱軸和區(qū)間是否含有參數(shù)細(xì)分成四種類型，下面筆者通過(guò)一些例題來(lái)加以說(shuō)明.一、對(duì)稱軸和區(qū)間都不含參數(shù)的類型例1求函數(shù)（fx）=x2－2x+2在區(qū)間［0，1］上的最小值.分析：此函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，結(jié)合圖像可知函數(shù)在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最小值為f（1）=1.二、對(duì)稱軸不含參數(shù)、區(qū)間含參數(shù)的類型例2函數(shù)f（x）=x2－2x+2在區(qū)間［t，t+1］上的最小值為2，求t的值.分析：區(qū)間位置會(huì)隨著t變化，而函數(shù)的對(duì)稱軸位置和函數(shù)圖像開(kāi)口方

到與y軸平行的對(duì)稱軸且過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線很難，但可以適當(dāng)?shù)刂匦逻x擇坐標(biāo)系O'x'y'(將原坐標(biāo)系平移后再旋轉(zhuǎn))，使得點(diǎn)A，B 在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為 A(x1'，y1')，B(x2'，y2')，并滿足 x1'x2'(x1'-x2')≠0.仿照(1)的推導(dǎo)，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線也有無(wú)數(shù)條.因?yàn)槭?2)可以看做a是c的一次函數(shù)，a與c是互定關(guān)系，所以取定a后，b，c也就隨之確定，于是得結(jié)論1.結(jié)論1 經(jīng)過(guò)平面上任意2個(gè)點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y

口向下.(2)對(duì)稱軸 x=-b/2a：當(dāng)-b/2a>0(a、b 異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在 y 軸的右側(cè)；當(dāng)-b/2a=0(b=0)時(shí)，對(duì)稱軸為 y 軸；當(dāng)-b/2a<0(a、b同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在 y 軸的左側(cè).(3)因?yàn)閳D像與 y 軸交于點(diǎn)(0，c)，所以：當(dāng) c>0時(shí)，圖像與 y 軸交于正半軸；當(dāng) c=0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng) c<0時(shí)，圖像與 y 軸交于負(fù)半軸.

點(diǎn)P1——三條對(duì)稱軸的交點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交△ABC的對(duì)稱軸MN于P2、P3點(diǎn)；以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交MN于P4點(diǎn)；所以，對(duì)稱軸MN上共有4個(gè)點(diǎn)符合要求. 等邊△ABC共有3條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸上都有4個(gè)點(diǎn)符合要求，該有12個(gè)點(diǎn)符合要求；但△ABC內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)重合，所以，共有10個(gè)符合要求的點(diǎn)P. 即△ABC內(nèi)部有1點(diǎn)，外部有9個(gè)點(diǎn). ね2 例2 如圖2，三條直線相交于A、B、C三點(diǎn)，今要在A、B、C三點(diǎn)所在的平面內(nèi)求作一點(diǎn)P

把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，那么這兩部分關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱；如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．正確解答：軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形是兩個(gè)不同的概念，但這兩個(gè)概念之間又有著密切的聯(lián)系．（1）“軸對(duì)稱”是“關(guān)系”，“軸對(duì)稱圖形”是“圖形”．（2）通常說(shuō)“某兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱”或“某兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”，“某一圖形是軸對(duì)稱圖形”．（3）兩概念的聯(lián)系點(diǎn)是：“某兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”是指沿一直線折疊，直線兩邊的兩個(gè)圖形重合，軸對(duì)稱圖形是指

的拋物線，它的對(duì)稱軸是直線x=- ，利用它的對(duì)稱性，常常能使求解變得簡(jiǎn)捷，優(yōu)化解題過(guò)程.現(xiàn)舉例說(shuō)明.1.利用圖象的對(duì)稱性求代數(shù)式的值例1拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是x=2，且經(jīng)過(guò)P（3，0），則a+b+c的值為（）.A.-1B.0C.1 D.2解析：因?yàn)閽伨€線的對(duì)稱軸是直線x=2，且它經(jīng)過(guò)P（3，0），又拋物線是軸對(duì)稱圖形，所以拋物線和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0）．當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，即a+b+c=0.答案為B.2.利用圖象的對(duì)稱