帶有保護區(qū)的單一漁業(yè)資源的離散動力學模型分析

顧恩國,李曉東,向 蕾,李遠平

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院,武漢 430074)

公共漁業(yè)資源是人類重要的食物來源,隨著社會的發(fā)展和人口數(shù)量的急速增長,對公共漁業(yè)資源的過度捕撈已嚴重影響到其再生能力,進而影響了人類對公共漁業(yè)資源的可持續(xù)利用[1,2].因此,如何做到既滿足人類對漁業(yè)資源的合理需求,又保證公共漁業(yè)資源的持續(xù)再生能力,越來越引起人們的重視.對于公共漁業(yè)資源的可持續(xù)利用問題,國內外的學者建立了大量模型[3-6],但考慮保護區(qū)面積變化對漁業(yè)資源可持續(xù)利用的影響這方面的研究還很少.針對帶有保護區(qū)的公共漁業(yè)資源,運用離散動力學知識研究保護區(qū)面積比例和捕撈力度變化對漁業(yè)資源儲量的影響,無論是在學術上還是漁業(yè)資源管理上都具有重要的意義.因此,本文假設漁業(yè)資源為單一漁業(yè)資源,并分屬于保護區(qū)和捕撈區(qū),魚在兩個區(qū)域之間按照一定的遷移率自由遷移.在此條件下構造離散動力學模型,并以此模型來研究漁業(yè)資源保持可持續(xù)再生能力的條件,包括保護區(qū)面積比例及捕撈力度對漁業(yè)資源最終演化產生的影響,其結果能夠為漁業(yè)資源管理提供理論參考.

1 模型的建立

本文考慮構成單一漁業(yè)資源區(qū)域的保護區(qū)和捕撈區(qū)內魚的數(shù)量在t時刻分別為X1(t)和X2(t),兩個區(qū)域內其自然增長率均為r,魚在兩個區(qū)域之間的遷移率為β,保護區(qū)占整個漁業(yè)資源區(qū)域的面積比例為s(0

(1)

(2)

此時有0≤X1(t)≤1,0≤X2(t)≤1.

2 正平衡點的存在性

根據(jù)平衡點的定義,系統(tǒng)(2)的平衡點是下面這個以X1和X2為未知元的二元二次方程組的解:

(3)

即是以下兩條凸拋物線的交點:

(4)

首先,原點X0=(0,0)顯然是系統(tǒng)(2)的平衡點.關于正平衡點的存在性,我們有下面3個命題成立(因篇幅原因證明過程略).

3 正平衡點的局部穩(wěn)定性及分叉

差分方程(2)的Jacobian矩陣是:

(5)

通過計算所得Jacobian矩陣的特征值λ1,λ2得:

(6)

(7)

其中M=(qEs(1-s)-2r(1-s)X1+2rsX2-σ+2σs)2+4σ2s(1-s).由M>0知,λ1,λ2均為實數(shù),且有λ1<λ2.

對平衡點X0=(0,0)的穩(wěn)定性,在沒有捕撈行為(E=0)的情況下,λ2=1+r>1,此時X0=(0,0)是不穩(wěn)定的.

這一結果不僅在動力學的研究上非常有意義，而且在漁業(yè)資源的實際管理上也非常有意義.如果我們能夠找到一個E的區(qū)間,在這個區(qū)間里,系統(tǒng)(2)的Jacobian矩陣的兩個特征值的模都小于1,此時正平衡點具有穩(wěn)定性.這就是說,在資源管理上,我們能夠通過控制在捕撈區(qū)的捕撈力度實現(xiàn)對漁業(yè)資源的持續(xù)利用.

圖1 系統(tǒng)(2)關于參數(shù)r=1.98,s=0.46,q=10,β=0.3125,k=2.5隨捕撈力度E變化的分叉圖

圖2 系統(tǒng)(2)關于參數(shù)r=1.72,q=10,E=0.2,β=0.5,k=2.5隨保護區(qū)面積比例s變化的分叉圖

4 正平衡點的全局分析

(8)

(9)

圖3 系統(tǒng)(2)關于參數(shù)r=1.72,q=10,E=0.2,β=0.5,k=2.5隨著保護區(qū)面積比例s變化的可行域

5 結語

本文提出了帶有保護區(qū)的單一漁業(yè)資源的離散動力學模型,并對模型進行了非線性動力學分析,討論了正平衡點的存在性、穩(wěn)定性及局部分叉,并對正平衡態(tài)進行了全局分析.對于滿足人類對漁業(yè)資源的可持續(xù)利用的問題,本文給出了較好的回答.我們發(fā)現(xiàn),保護區(qū)面積和捕撈力度對公共漁業(yè)資源的可持續(xù)再生能力具有顯著的影響,當捕撈力度E過大時,捕撈區(qū)的漁業(yè)資源可能枯竭(當E>0.307時,資源穩(wěn)定到負的平衡態(tài));當保護區(qū)面積s過大或者過小時,都不利于人類對漁業(yè)資源的可持續(xù)利用,當s在一定范圍(如圖3中的0.065

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