二維三溫能量方程的RT混合線性有限元及其數(shù)值模擬

陳鐵軍，李躍軍，肖建新

(益陽醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校，中國益陽 413001)

二維三溫輻射流體動力學(xué)方程組的求解是數(shù)值模擬的重要組成部分，而求解能量方程是一個十分重要的環(huán)節(jié)，而且在整個系統(tǒng)的計算中，能量方程求解所占的機(jī)時比重相當(dāng)大(約80% 以上)，為此，尋求一個收斂快、穩(wěn)定性好的二維三溫能量方程數(shù)值解法是一個值得探討的問題.二維三溫能量方程可表示為非線性拋物型方程組，二維三溫能量方程的標(biāo)量式經(jīng)簡化得到如下方程組:

其中，Te，Ti，Tr分別為電子、離子、和光子的溫度;ρ 為介質(zhì)密度，在內(nèi)部為常數(shù)，在介質(zhì)區(qū)界面處間斷;Ke，Ki，Kr分別為電子、離子和光子的熱傳導(dǎo)系數(shù);分別為電子、離子和光子的能量交換系數(shù)，均為依賴于介質(zhì)材料的常數(shù)，在介質(zhì)內(nèi)部連續(xù)，在介質(zhì)區(qū)界面處間斷.在模型方程組近似地描述了ICF 內(nèi)爆動力學(xué)過程中輻射能量在靜止介質(zhì)中的非線性傳播過程，同時也體現(xiàn)了原始問題的主要特性和求解的難度.

近年來，針對二維三溫輻射熱傳導(dǎo)方程組的離散方法以及離散系統(tǒng)的快速算法設(shè)計已取得了一些成果［1-8，10-15］，利用混合有限元求解的算法文獻(xiàn)不多，本文將主要討論二維三溫輻射熱傳導(dǎo)方程簡化模型的RT混合線性有限元數(shù)值求解，獲得了理想的計算結(jié)果.

考慮二維三溫輻射熱傳導(dǎo)方程的簡化模型問題:

其中f1，f2，f3都是Ω 上適當(dāng)光滑的函數(shù)，β ≥β0＞0，是非負(fù)光滑函數(shù).同樣考慮兩片光滑函數(shù)

其中令Ω=Ω+∪Γ ∪Ω－，Γ 是開子區(qū)域Ω+和Ω－的交界線，?Ω=Γ1∪Γ2且不妨假設(shè)(否則對β 的下界進(jìn)行尺度化即可滿足).minβ ≥β0≥1.如圖1所示.

問題(1)的解函數(shù)ui∈C(Ω)(i=1，2，3)，F(xiàn)lux 函數(shù)β▽ui∈C(Ω)(i=1，2，3).

圖1 區(qū)域示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of area

1 連續(xù)鞍點(diǎn)變分問題

令p1=β▽u1，p2=β▽u2，p3=β▽u3，記p=(p1，p2，p3)T，q=(q1，q2，q3)T，u=(u1，u2，u3)T，v=(v1，v2，v3)T，f=(f1，f2，f3)T.則混合邊值問題(1)等價于方程組

其中

記Y=(L2(Ω))3，相應(yīng)的范數(shù)為:

定義空間

記X=X1× X2× X3，定義X 上相應(yīng)的范數(shù):

則(2)的等價連續(xù)鞍點(diǎn)變分問題為:

求p ∈X，u ∈Y，使

其中

容易驗(yàn)證α(·，·)和b(·，·)分別是X× X 和X× Y 上的有界雙線性泛函，且上界不依賴于系數(shù)β 的跳幅(因?yàn)橛杉僭O(shè)知

定理1問題(3)存在唯一解p，μ 滿足

‖p‖X+‖u‖Y ≤C(‖G‖X*+‖F(xiàn)‖Y*)

其中C 是僅與連續(xù)雙線性形式a(·，·)，b(·，·)相關(guān)的常數(shù).

證對任意的P ∈V，由于div(p)∈Y，故有

即Brezzi 定理的第一個條件成立，下面驗(yàn)證第二個條件亦成立.

對任意的ν ∈Y，引入輔助問題

令p=β▽u，則P ∈X，且有正則性估計

其中C 只與β 的正下界β0和區(qū)域的尺寸有關(guān).

因?yàn)?，由輔助問題的定義，顯然有

有

這樣根據(jù)(5)和(6)，我們就證得了(4)成立，其中C 只與β 的正下界β0和區(qū)域的尺寸有關(guān).

由(4)可知，對任意的ν ∈Y.有

其中C 只與β 的正下界β0和區(qū)域的尺寸有關(guān)

這樣問題(3)的B-B 條件得到驗(yàn)證，因此由Brezzi 定理知結(jié)論成立.

2 對應(yīng)的離散鞍點(diǎn)變分問題(RT 混合元)

則Xh為X 的有限維子空間，Yh為Y 的有限維子空間.

本文僅考慮k=1 時的情形，我們可構(gòu)造混和有限元空間Xh和Yh，于是離散鞍點(diǎn)變分問題為:

求ph∈Xh，uh∈Yh，使

類似標(biāo)量方程，我們定義插值函數(shù).

對任意的u ∈Y，uI表示u 在三角形剖分單元重心點(diǎn)處的常數(shù)插值.

對任意的p ∈Xh，其插值函數(shù)Πp 由以下條件確定:

其中p1(τ)是τ 上線性多項(xiàng)式集合.

同樣對于這樣定義的插值函數(shù)，我們有以下引理

引理1設(shè)，若，則有如下誤差估計

其中C 是與β 及h 都無關(guān)的常數(shù).

證由插值函數(shù)性質(zhì)有

因此

其中C 是與β 及h 都無關(guān)的常數(shù).

定理2問題(7)存在唯一解Ph，uh滿足

‖Ph‖X+‖uh‖Y≤C(‖G‖X+‖F(xiàn)‖Y)，

其中C 是僅與連續(xù)雙線性形式a(·，·)，b(·，·)相關(guān)的常數(shù).

證明從略.

3 誤差分析

定理3問題(7)的解滿足如下誤差估計:

證明從略.

定理4設(shè)，若，則鞍點(diǎn)問題(3)和其離散問題(7)的誤差滿足

‖P－Ph‖x+‖u－uh‖Y=O(h).

證由定理3 知

結(jié)合引理1 和插值函數(shù)的誤差估計有

定理5.

證明從略.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例1考慮間斷線為圓β 取為

真解為:

數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果列于表1～表4.

表1 非光滑系數(shù)(α=0.1)時，真解u 與其混合有限元解uh 的誤差表Tab.1 Nonsmooth coefficients(α=0.1)，the true solution u and mixed finite element error solution uh in the error table

表2 非光滑系數(shù)(α=0.1)時，div(p)與其混合有限元解div(Ph)的誤差表Tab.2 Nonsmooth coefficients(α=0.1)，div(p)and the mixed finite element solution of div(Ph)in the error table

表3 非光滑系數(shù)(α=0.01)時，真解u 與其混合有限元解uh 的誤差表Tab.3 Nonsmooth coefficients(α=0.01)，the true solution u and mixed finite element error solution uh in the error table

表4 非光滑系數(shù)(α=0.01)時，div(p)與其混合有限元解div(Ph)的誤差表Tab.4 Nonsmooth coefficients(α=0.01)，div(p)and the mixed finite element solution of div(Ph)in the error table

5 結(jié)論與展望

本文考慮了二維三溫輻射熱傳導(dǎo)方程在界面處跳躍條件都連續(xù)的情形，適定性和收斂性分析中得到了最優(yōu)L2階的誤差估計，從數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以得到其真解u，div(p)分別與其混合有限元解存在最優(yōu)差價，且最優(yōu)差價與跳系數(shù)β 及剖分尺度h 均無關(guān).另在界面處的不連續(xù)［u］Γ≠0，［βun］Γ≠0 的情況都有待深入研究.

［1］符尚武，戴自換，鄔吉明.二維三溫輻射流體力學(xué)Lagrange 數(shù)值模擬方法［J］.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所年報，1995，22(2):184-188.

［2］符尚武，付漢清，沈隆鈞，等.二維三溫能量方程的九點(diǎn)差分格式及其迭代解法［J］.計算物理，1998，20(3):4-8.

［3］MO Z Y，SHEN L J，GABRIEL W.Parallel adaptive multigrid algorithm for 2-D3-T diffusion equations［J］.Int J Comput Math，2004，81(3):361-374.

［4］SHEN Z J，SHEN L J，LU G X，et al.A lagrangian finite point method for two-dimensional fluid dynamic problems［J］.Chin J Comput Phys，2005，22(5):377-385.

［5］李 磊，孫 萍，羅振東.拋物方程的一種新混合有限元格式及誤差分析［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2012，32A(6):1158-1165.

［6］MA X，SHU S，ZHOU A.Symmetric finite vloume discretization for parabolic problems［J］.Comput Methods Appl Mech Engin，2003，192(39-40):4467-4485.

［7］SHU S，YU H，HUANG Y，et al.A symmetric finite volume element scheme on quadrilateral grids and superconvergence［J］.Int J Numer Analy Model，2006，3(3):348-360.

［8］谷同祥，戴自換，杭旭登，等.二維三溫能量方程組的高效代數(shù)解法［J］.計算物理，2005，22(6):471-478.

［9］張恭慶，林源渠.泛函分析講義［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1987.

［10］魏紅記，秦新強(qiáng)，焦建英，等.非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的兩網(wǎng)格算法［J］.西安科技大學(xué)學(xué)報，2007，23(2):196-200.

［11］HE Y N.Taylor expansion method for nonlinear evolution equations［J］.Applied Math and Mech，2005，26(4):522-529.

［12］ABIDI F，AYADI M，OMRANI K.Stability and convergence of difference scheme for nonlinear evolutionary type equations［J］.J Appl Math Comput，2008，27(2):293-305.

［13］GEORGIOS A，F(xiàn)OTINI K.Modified implicit-explicit BDF methods for nonlinear parabolic equations［J］.BIT Numer Math，2003，43(2):467-483.

［14］XU C M.The stability research for the finite difference scheme of a nonlinear reaction-diffusion equation［J］.Chin Quart J Math，2008，23(2):222-227.

［15］李小松.一類非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的數(shù)值解法［J］.石河子大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，25(3):382-384.