雙變量度量理論及引力的量子化

邵 丹，邵 亮，謝 勇

（1.江漢大學(xué) 光電信息研究所，湖北 武漢 430056； 2.武漢科技大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430081；3.江漢大學(xué) 研究生院，湖北 武漢 430056）

0 引言

圈量子引力（LQG）出現(xiàn)之前，引力量子化大體有兩種途徑。一種是利用引入其他場、延展體、超對稱等方法，企圖使引力量子化。這些方法中除超弦M－理論外，其余皆因解決可重整性問題無望而無法發(fā)展。而M－理論中，關(guān)于引力相互作用的核心問題，目前也欠全面和具體的闡明，完成引力的最終量子化，還需長期的過程。另一種是在引力體制內(nèi)進(jìn)行引力的量子化。這種方法歷史上提出的具體模式很多，其中最被推崇的是4－導(dǎo)數(shù)引力。這種理論是把General Relativity（GR）中的微分同胚變換當(dāng)作規(guī)范變換［1］，將模式中的引力場用Faddeev 規(guī)范場量子化的方式量子化。其優(yōu)點(diǎn)是可以用（引力）曲率平方項(xiàng)的引入消去引力的發(fā)散，理論在表現(xiàn)上具有可重整性。它需要解決的問題是，理論中存在負(fù)能量的粒子；若解決負(fù)能量問題，可能破壞S 矩陣的么正性。盡管如此，這一理論仍是協(xié)變方法實(shí)現(xiàn)引力量子化進(jìn)行得最為徹底的一種理論。這一方法在引力量子化歷史上曾引起不小的關(guān)注，如Rovelli 在文獻(xiàn)［2］中回顧引力量子化簡史時，曾例舉過對Stelle［3］提出的4－導(dǎo)數(shù)引力量子化的評述。他指出，盡管4－導(dǎo)數(shù)引力存在需要進(jìn)一步解決的問題，它仍被認(rèn)為是解決量子引力問題的一種可行選擇。Gambini 和Pullin 在文獻(xiàn)［4］中談到引力量子化的可重整性時，也指出了4－導(dǎo)數(shù)引力在作用量中引入高次項(xiàng)的方法可以用于治療引力發(fā)散，不過應(yīng)當(dāng)去掉它為理論帶來的非物理性質(zhì)。同時，在論述空時性質(zhì)時還指出，空時幾何應(yīng)具有非交換性質(zhì)，這種性質(zhì)與微觀不確定性原理應(yīng)相容。

利用量子化空時與引力的關(guān)系探討引力的量子化，是LQG 發(fā)展出的一種新方法。這方面的一個例子就是Rovelli 的用空時4 單形剖分方法所做的引力子散射理論［5－6］。該理論把Regge 計(jì)算和量子場論中的連續(xù)場的量子化方法，利用空時的微觀離散性質(zhì)和四面體的量子特性，做了明確的推廣。這開啟了用量子化的空時研究引力量子化的先例。不過，理論中仍然存在自旋網(wǎng)頂角結(jié)網(wǎng)算子以及低能極限等的不確定性，需要進(jìn)一步研究，目前還遠(yuǎn)非是理論上無需質(zhì)疑的結(jié)果。

筆者認(rèn)為，引力量子化與空時量子化及其微觀性質(zhì)有關(guān)。把空時量子化后的信息引入到引力量子化中來，可去掉或改善引力量子化遇到的困難，甚至如上困難。Rovelli 的上述工作，就是借用空時的量子剖分特性表述的一種引力的量子化。

針對如上現(xiàn)實(shí)，本文仍用作用量中的曲率平方項(xiàng)來抵消引力發(fā)散，不過曲率平方項(xiàng)并不取決于引力擾動，而是由量子化后空時的度量決定。從而理論中將不出現(xiàn)負(fù)能粒子，也不存在為了消去負(fù)能粒子而可能破壞么正性的問題。而且與其他高導(dǎo)數(shù)理論不同，它的引力部分保持與GR 相同，量子化后也不存在其他非物理結(jié)果。

1 空時與引力的雙變量度量統(tǒng)一理論

1.1 雙變量度量

本文中的空時與引力是在LQG 中發(fā)展出的兩個完全不同的概念，空時并不指引力，引力也不指空時。Minkowski 空時M′ 是本文空時的平坦極限，一般空時可以彎曲，記以M 。 M 的彎曲是自身獨(dú)立的彎曲，與其中引力的存在與否無關(guān)。GR 是把平坦Minkowski 空時M′ 的度規(guī)ημν和引力擾動hμν(x)結(jié)合在一起的空時與引力的統(tǒng)一理論。LQG 對空時量子化的研究表明，量子化空時M 自身的度量將允許有量子起伏，這里記為ημν(x)，從而M 可具有與引力存在與否無關(guān)的彎曲，即空時彎曲。 M 中有引力擾動hμν(x)存在時，得到的流形記為M，即M 是空時與引力的二元世界。熟知，M′是M 的抽象平坦特例，M′中存在引力擾動hμν(x)時，得到的流形則記為M′。M′在本文中是空時M′與引力混成的4 維流形，而在GR 中被稱為“彎曲時空”。

由于空時和引力都可使流形M 彎曲，據(jù)文獻(xiàn)［7］，M 的度量將由如下雙變量度量構(gòu)成：

式中重復(fù)相乘指標(biāo)不求和，ημν(x)=εμν(x)ημν，εμν(x)為空時度量演變參量。當(dāng)εμν(x)≡1 時，（1）式為GR 中的度規(guī)表達(dá)式。（1）式中的εμν(x)與hμν(x)分別是空時度量擾動與引力擾動，二者是獨(dú)立的，都對組合度量?μν(x)有貢獻(xiàn)。

1.2 雙變量度量空時與引力統(tǒng)一理論的作用量與場方程

該理論研究的對象為空時與其中的引力，二者形成的二元世界M 的本體是空時M ，M 上的織繡是引力擾動hμν(x)。流形M 的度量為合成度量?μν(x)，它的作用量為

將二元世界的作用量（2）式分別對引力擾動hμν(x)和空時度量擾動ημν(x)求變分，可得該統(tǒng)一理論的兩組場方程。

將作用量（2）式利用通常變分原理

式中?μν為時空度規(guī)，Tμν為GR 的質(zhì)量張量，將得到該統(tǒng)一理論的引力場方程

式中Gμν(hλσ)為統(tǒng)一理論的引力愛因斯坦張量，其表達(dá)式為

把作用量（2）式對空時度量擾動ημν(x) 變分，即

該統(tǒng)一理論的空時度量方程如下：

式中不同形式的曲率以及統(tǒng)一理論的空時愛因斯坦張量Gμν(ελσ)，皆由組合度量（1）式中的ημν(x)規(guī)定，且皆作為基本變量εμν(x)的泛函。對于統(tǒng)一理論的空時愛因斯坦張量，它的表達(dá)式如下：

（7）式的意義在于，在該模式中，空時與引力雖然可以進(jìn)行統(tǒng)一描述，但空時自身具有獨(dú)立的演化機(jī)制，它是空時理論中的一組新方程。對空時M 這種演化機(jī)制的刻劃，是該雙變量理論的重要結(jié)果，也是它與GR 的重要區(qū)別。作為特例易知，Minkowski 空時M′ 是（7）式的一個特解；另外，Rμν=0 的空時也是（7）式的特解，而后者是可以彎曲的。

2 雙變量度量空時與引力統(tǒng)一理論的引力量子化

根據(jù)作用量（2）式，利用通常的規(guī)范場協(xié)變量子化方法，可把該統(tǒng)一理論中的引力進(jìn)行量子化。為此，選量子化Green 函數(shù)生成泛函Z 的規(guī)范固定項(xiàng)

式中λ 為規(guī)范固定參數(shù)，

鬼項(xiàng)與外場項(xiàng)分別為

式中ξ 為空時任意無窮小矢量。

利用（2）、（9）、（10）和（11）各式定義的拉氏量Lgr、Lst、Lgf、Lgh和Lef，可得到用于引力量子化的約簡有效作用量為

式中Leff為該理論引力量子化的有效作用量，且有

求出該理論引力子自由傳播子和各種散射傳播子。這里把引力自由傳播子和引力相互作用3 頂角給出于后。

對于引力子自由傳播子，可將（2）式中的Lgr對hμν(x)完（引力擾動）展開，展開式中h2項(xiàng)將貢獻(xiàn)這一傳播子，同時規(guī)范固定項(xiàng)Lgf也將貢獻(xiàn)這種傳播子?，F(xiàn)將結(jié)果直接給出如下：

類似地，將Lgr的展式中的h3項(xiàng)收集齊全，通過下式

可得該雙變量統(tǒng)一理論中的引力子3 頂角，現(xiàn)將如此得到的一結(jié)果列出如下：

該理論中鬼與反鬼粒子的引入，是為了使理論具有最大完備性（對稱性），這種粒子將參與相互作用描述，但并無觀測效應(yīng)，對其要求是保證理論自恰。

3 重整化

3.1 發(fā)散分析

該理論存在的引力自身的傳播子，有2 點(diǎn)、3點(diǎn)、4 點(diǎn)、……散射傳播子，由這些傳播子按Feynman 規(guī)則編織出的相互作用圖，將不可避免地出現(xiàn)由粒子動量標(biāo)定的圈圖，這些圈圖在積分中的無窮大貢獻(xiàn)必須用正規(guī)化和重整化手續(xù)消去。文獻(xiàn)［3］已經(jīng)用協(xié)變手段為4－導(dǎo)數(shù)引力的量子化得到了正規(guī)化結(jié)果，現(xiàn)直接給出如下：

式中Pμν為引力子的反對易外場。在LQG 體制下，解（20）和（21）這兩組方程，將有［3］

式中Sμν和Tτσ是引力場hμν的任意Lorentz 協(xié)變函數(shù)。這里需要指出的是，該理論中雖然存在兩個獨(dú)立變量，但二者構(gòu)成的仍是一個統(tǒng)一的度量。同時，由于Gauss－Bonnet（G－B）定理的存在，將使得（22）式中的泛函I(hμν)是hμν以及它的0、2、4 導(dǎo)數(shù)的任意規(guī)范不變的定域泛函。

3.2 發(fā)散消除

3.2.1 雙變量度量理論的引力重整化Ⅰ——曲率0、1 次方型發(fā)散的消除 從發(fā)散表達(dá)式（23）和（24）可知，這一理論有關(guān)引力的發(fā)散共有4 種。我們先給出（23）式右側(cè)第一項(xiàng)

對于I(n)中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)

與文獻(xiàn)［3］不同，由于（2）式中的曲率平方項(xiàng)不是引力擾動hμν的泛函，而是εμνημν的泛函，利用εμνημν作為函數(shù)變量，并采取如上直接構(gòu)成符號相反結(jié)構(gòu)相同的抵消項(xiàng)來抵消（26）式中的曲率平方型發(fā)散，并不能保障數(shù)量上真正抵消。這是因?yàn)?，與4－導(dǎo)數(shù)引力不同，這里的hμν和εμν是兩個相互間獨(dú)立的變量，而4－導(dǎo)數(shù)理論只具有hμν作為變量。從而，需要進(jìn)一步使用不同的重整化技術(shù)。

3.2.2 雙變量度量理論的引力重整化Ⅱ——曲率2 次方型發(fā)散的消除

1）組合度量的重整

首先從如下形式的組合度量

開始討論。前面曾指出，組合度量（27）式是在微觀Planck 尺度用等價類手段得到的結(jié)果。GR 是在宏觀利用Riemann 幾何，并通過等效原理，使這一組合度量中的引力擾動hμν(x)，寫在了平坦Minkowski 空時背景之上，從而有了GR 中的組合度規(guī)表式

這樣一來，在GR 中便引入了平直度規(guī)ημν。同時，也把狹義相對論作為了它的極限(hμν→0)理論。我們認(rèn)為，空時作為質(zhì)地，它的度量εμν(x)ημν具有抵消引力擾動產(chǎn)生發(fā)散的作用。為此，它將有與hμν(x)等量的一部分度量被“消耗”。將這一部分記為(εμν(x)ημν)E，則數(shù)值上將有等式

這里稱(εμν(x)ημν)E為空時重整化折合度量。這里需要指出的是，(εμν(x)ημν)E為εμν(x)ημν中折合出來的一部分，它在數(shù)值上與hμν(x)相當(dāng)，但其本身并非是引力擾動，故而，不貢獻(xiàn)引力子。這一性質(zhì)十分重要，它可用于消除引力相互作用中出現(xiàn)的發(fā)散，且不出現(xiàn)負(fù)能粒子。另一方面，

中，因用于重整化而剩下的部分

2）作用量的重整

現(xiàn)在考慮作用量。在如上雙變量組合度量的重整化方程式下，也將導(dǎo)致作用量（2）式發(fā)生改變。（2）式給出的經(jīng)典作用量S 包括三部分貢獻(xiàn)。其中LSO(3，1)在重整化過程中并不發(fā)生改變。重整化后的Lgr表達(dá)式未改變，不過其中的組合度量?μν(x) 需用重整化后的組合度量?μν，R(x) 代替。另一發(fā)生改變的是空時作用量Lst，現(xiàn)在給出Lst在這一重整化過程中的改變。它的表達(dá)式為

式中中間變量 εμν(x) 表征的是空時度量εμν(x)ημν。在考慮了如上組合度量重整化

后，由于組合度量?μν(x) 中的空時度量εμν(x)ημν被分解成兩部分：

這將導(dǎo)致作用量Lst將分別由如下兩個作用量代替：

式中

利用（35）式，把（36）和（37）式代入（2）式，將有考慮了如上重整化前、后的作用量改變

之后的雙變量理論的作用量。把得到的這一作用量記為SR，則有

3）引力發(fā)散的最終消除

如上用逐階抵消的方法，消除了（23）和（24）式給出的n 圈階出現(xiàn)的全部發(fā)散。

4 結(jié)論

該雙變量理論中，認(rèn)為空時與引力是完全不同的兩種概念，它們具有嚴(yán)格區(qū)別外，也存在聯(lián)系［7］。GR 由于自身的體制不能把引力與空時徹底剝離，它的量子化無法找到適當(dāng)方法得以有效地進(jìn)行。本文在分別把它們用變量εμν和hμν做徹底的分離表述后，將量子化的空時質(zhì)地M 提供的信息輸入到引力的量子化方程式之中，自恰地克服了以往遇到的困難，完成了一種引力的量子化與重整化的最終研究。

該雙變量理論中空時M 的幾何以及描述引力激發(fā)與躍遷的幾何均是LQG 中的非交換幾何［9］，從而為引力量子化的研究重新打下了合理的基礎(chǔ)。

由于空時M 按G－B 定理提供的拉氏量Lst，與4－導(dǎo)數(shù)引力不同，是定義為空時變量εμν的泛函，從而重整化后，它一部分（即Lst，E）將用于抵消引力發(fā)散，而另一部分（即Lst，R）將支配空時M 本身的度量演化。這一方面使理論中的引力部分與GR 相同，不出現(xiàn)負(fù)能粒子；另一方面，也不再出現(xiàn)與現(xiàn)實(shí)物理不相容的多余結(jié)果。從而對傳統(tǒng)高導(dǎo)數(shù)理論引力量子化遇到的問題進(jìn)行了技術(shù)上的解除。解除的關(guān)鍵是把LQG 中空時量子化的信息引入到了引力量子化中來。這說明，引力并不像傳遞其他相互作用力的粒子那樣，只把空時作為背景，即可實(shí)現(xiàn)自身的存在與量子化；而是告訴我們，引力與空時既有嚴(yán)格區(qū)別，又有相互間的深刻聯(lián)系。這種區(qū)別與聯(lián)系未闡明之前，引力的量子化不會得到成功。物理學(xué)告訴我們，引力場必須與描述空時的度規(guī)進(jìn)行合成，才能得以徹底描述。這是引力的特征，不僅在宏觀如此，在微觀量子化水平更是如此。這也注定了引力量子化并不排除沿用通常場的量子化方法，但也必須考慮它的特殊之處，最主要的是考慮空時量子化與引力量子化間的關(guān)系。否則，按LQG，引力的量子化無法獨(dú)立地獲得與量子化空時自恰的結(jié)果。也就是說，要在空時與引力二者量子化的共同研究中，實(shí)現(xiàn)引力的量子化。

［1］ Capper D M，Ramón Medrano M. Gravitational Slavnov－Ward identities［J］. Phys Rev D，1974，9（6）：1641－1647.

［2］ Rovelli C. Quantum gravity［M］. New York：Cambridge University Press，2004.

［3］ Stelle K S. Renormalization of higher－derivative quantum gravity［J］.Phys Rev D，1977，16（4）：953－969.

［4］ Cambini R，Pullin J. Loop quantum gravity［M］. New York：Oxford University Press，2011.

［5］ Rovelli C. Gravition propagator from background－independent quantum gravity［J］. Phys Rev Lett，2006，97（15）：151301－151304.

［6］ Modesto L，Rovelli C. Particle scattering in loop quantum gravity［J］. Phys Rev Lett，2005，95（19）：191301－191304.

［7］ 邵丹，邵亮，邵常貴. 一種空時體積與引力的激發(fā)和躍遷生成模式［J］. 物理學(xué)報，2011，60（12）：120401－120404.

［8］ Peskin M E，Schroeder D V，Martinec E. An introduction to quantum field theory［J］. Phys Today，1996，49（8）：69.

［9］ Shao D，Shao L，Shao C G，et al. Black hole entropy and area quantum entanglement originated from spin networks［J］. International Journal of Modern Physics A，2010，25（7）：1339－1347.