豐景春 張 飛

（1.河海大學商學院，南京 210098；2.河海大學項目管理信息化研究所，南京 210098）

大中型工程項目群具有影響因素多、工期長等特征.政治、經(jīng)濟、社會、環(huán)境等影響因素使得項目群預(yù)計收益出現(xiàn)偏差.對于業(yè)主而言，為獲得更高的項目群收益且實現(xiàn)工程項目多目標控制，愿意制定獎勵措施［1］；對于承包商而言，為獲得業(yè)主提供的提前完工收益獎勵、降低間接成本，從其利益出發(fā)期望項目工期壓縮［2］.由此可見，項目群工期的優(yōu)化符合業(yè)主和承包商雙方的利益.傳統(tǒng)的項目群進度優(yōu)化存在兩個方面的問題：一是沒有考慮項目群中各項目之間的影響及里程碑項目的影響；二是項目工期為確定性.事實上，項目工期受資金供應(yīng)、施工工藝與技術(shù)方案、材料供應(yīng)、機械設(shè)備的性能、勞動力因素、自然環(huán)境與社會環(huán)境等諸多方面影響，從而使得項目的工期具有不確定性，且其分布符合一定的規(guī)律［3］.

目前，國內(nèi)外學者對大中型工程項目群柔性進度優(yōu)化的相關(guān)研究集中在2個方面：一是項目群工期的研究.許多學者在CPM 的基礎(chǔ)上引入模糊參數(shù)，構(gòu)造了改進后的CPM 方法.王亞平［4］提出了模糊弧長的概念，采用模糊數(shù)來表達，定義了相關(guān)的模糊可能期、模糊限制期、模糊浮動期和模糊總邊界，構(gòu)造了有向模糊網(wǎng)絡(luò)圖，胡志根提出用模糊三角數(shù).楊應(yīng)玖［5］提出用灰量（灰數(shù)）表達作業(yè)活動時間，構(gòu)成了灰色網(wǎng)絡(luò)計劃圖.趙克勤［6］采用集對分析方法，用聯(lián)系數(shù)a＋bi＋cj，對工期展開了研究.二是項目群資源－工期優(yōu)化的研究.蘇菊寧等［7］研究了固定資源約束視角下資金時間價值的工期優(yōu)化，建立了具有柔性資源約束的基于工期獎懲機制的工期協(xié)調(diào)優(yōu)化模型.柴國榮等認為資源租金水平對獎懲結(jié)構(gòu)的優(yōu)化度產(chǎn)生影響.現(xiàn)有的研究成果表明，大型工程項目群工期優(yōu)化朝著項目群柔性工期估算和項目群工期優(yōu)化兩個極端發(fā)展，沒有將柔性工期和工期優(yōu)化兩者有機地結(jié)合.為此，本文在分析項目工期分布規(guī)律的基礎(chǔ)上，以業(yè)主收益最大化為原則開展研究，構(gòu)建大中型項目群柔性進度計劃優(yōu)化模型，并結(jié)合具體案例對模型進行應(yīng)用研究.

2 基于隨機過程的項目群進度計劃優(yōu)化原理

2.1 項目群柔性進度分析

2.1.1 柔性工期

在正常情況下，在一定時間內(nèi)完成項目的概率為完工概率Pf，Pf的計算公式如下：

式中，Pf為工期為t＊時所對應(yīng)的完工概率；t＊為完工時間；其他符號的含義見式（1）.

式（3）表明，t′服從標準正態(tài)分布.當Pf已知時，根據(jù)標準正態(tài)分布表，查出λ值，求解t＊值，見下式：

式中，t＊、σ、Pf的含義見式（1）、（2）.

2.1.2 項目群柔性工期

項目群由多個合同項目組成，每個合同項目相互獨立且具有明確的邏輯關(guān)系，它們分別由不同的承包商承擔.為了便于研究，假設(shè)某大中型工程項目群有A、B、C、D、E、F、G 等7個合同項目，如圖1所示.

圖1 某項目群的進度計劃

項目群工期取決于合同項目柔性工期以及合同項目之間的邏輯關(guān)系，其中，合同項目柔性工期由項目群期望工期和工期的標準差組成，不同路徑的項目群期望工期和標準差存在差異.圖1的項目群關(guān)鍵路徑為A→B→C→D 和A→E→F→G→D.通過對正態(tài)分布下獨立事件之間的期望和標準差進行計算，可得項目群工期期望及標準差為

當合同項目同時簽訂時，合同項目的工期為已知值，據(jù)此確定項目群合同工期的關(guān)鍵路線，根據(jù)式（5）或（6），可以求得項目群柔性工期.

2.2 項目柔性工期進度優(yōu)化分析

從業(yè)主角度，假設(shè)在工期優(yōu)化前所有合同項目的合同均已簽訂，則合同項目工期有一定的縮減空間，即承包商通過努力可以縮短合同項目的工期，且承包商在不損害自身利益時，愿意進行工期縮減.承包商根據(jù)業(yè)主的工期提前獎勵措施，從其自身利益出發(fā)，通過調(diào)整進度，達到提前工期的目的.

為了保證項目按期完成或盡早完成，業(yè)主一般會制定獎勵措施.假設(shè)業(yè)主縮減工期的獎勵函數(shù)為F（t），承包商付出的成本函數(shù)為C（t），承包商的收益函數(shù)為G（t），則有：

式中，G（t）為承包商的收益函數(shù)；F（t）為業(yè)主縮減工期的獎勵函數(shù)；C（t）為承包商付出的成本函數(shù).

承包商工期優(yōu)化的目標是實現(xiàn)自身利益的最大化，因此，在工期優(yōu)化時，應(yīng)滿足以下條件：

2.3 項目群視角下的柔性進度優(yōu)化

項目群優(yōu)化不能只考慮單個合同項目的優(yōu)化收益，還應(yīng)考慮整個項目群的優(yōu)化收益.在分析單個合同項目工期提前對項目群工期提前的影響時，項目群優(yōu)化應(yīng)考慮以下4個方面：

1）關(guān)鍵路徑上合同項目優(yōu)先優(yōu)化.在不考慮合同項目提前發(fā)揮效益的前提下，業(yè)主只有在項目群整體工期提前時才能獲得收益，此時，項目群進度優(yōu)化應(yīng)考慮項目群整體工期的提前.根據(jù)合同項目工期對項目群工期的影響，合同項目分為關(guān)鍵路徑項目和非關(guān)鍵路徑項目，其中，關(guān)鍵路徑合同項目工期的縮減必然促使項目群工期的縮減（非關(guān)鍵路徑?jīng)]有轉(zhuǎn)化為關(guān)鍵路徑）；非關(guān)鍵路徑合同項目工期的縮減不會帶來項目群整體工期的縮減.由此可見，項目群優(yōu)化應(yīng)選擇關(guān)鍵路徑上的合同項目.

2）里程碑項目的影響.里程碑項目是指那些對施工環(huán)境具有特殊要求且只能在某個時間段進行的項目.以水電站施工為例，截流應(yīng)選在枯水期，其工期提前量受到一定的限制，因此，截流之前的合同項目優(yōu)化不一定能帶來項目群工期的整體提前.

3）優(yōu)化成本.優(yōu)化成本是指因合同項目提前單位時間，業(yè)主需要付出的成本.業(yè)主綜合考慮自身收益，有優(yōu)化成本限額.優(yōu)化過程中優(yōu)化成本在低于該限額時業(yè)主期望獲得工期的最大提前.

4）項目群中合同項目工期具有一定柔性，使得項目群完工日期也具有一定柔性.進度優(yōu)化不僅要考慮合同項目的完工保證率，還應(yīng)考慮項目群的完工保證率.

3 模型構(gòu)建

3.1 假設(shè)條件

1）假設(shè)項目群所有合同項目同時招標并簽訂合同.

2）假設(shè)業(yè)主項目群工期提前收益與提前天數(shù)符合線性關(guān)系，業(yè)主決策最小完工保證率可以量化.

（5）隨著不斷巡檢數(shù)據(jù)的增加，能夠具備自動更新設(shè)備歷史狀態(tài)信息庫，更新狀態(tài)模型，動態(tài)、靈活地調(diào)整和控制設(shè)備運行狀態(tài)，使系統(tǒng)狀態(tài)往有利方向發(fā)展。

3）假設(shè)在業(yè)主不進行工期激勵時，各承包商均能按照合同工期完工，即工期既不提前也不延后，優(yōu)化后工期不會因為后續(xù)項目的延誤而失效.

4）假設(shè)業(yè)主提供的獎勵限額已知，且開工提前及工期壓縮導(dǎo)致承包商成本增加量可獲得.

5）當關(guān)鍵路徑工期提前時間大于非關(guān)鍵路徑上所有合同項目的總時差時，原關(guān)鍵路徑將轉(zhuǎn)化為非關(guān)鍵路徑，優(yōu)化問題將變得更為復(fù)雜.假設(shè)在合同項目工期優(yōu)化后，非關(guān)鍵路徑工期仍小于或等于關(guān)鍵路徑工期，即關(guān)鍵路徑可以提前的最大工期為非關(guān)鍵路徑上的最小總時差.

3.2 項目群柔性進度優(yōu)化模型

3.2.1 承包商收支模型

項目群進度優(yōu)化的干系人為業(yè)主和承包商.業(yè)主為工期提前進行的獎勵方式有所不同，一般采取獎勵系數(shù)x 提前天數(shù)的獎勵方式.該方式簡單易行，本文假設(shè)業(yè)主獎勵與項目群提前工期滿足線性關(guān)系

式中，K 為業(yè)主獎勵系數(shù)應(yīng)小于等于業(yè)主收益；t0為合同工期；t為優(yōu)化后合同項目的工期，其他符號的含義見式（7）.

承包商的總成本C 由直接成本C1（包括人工費、材料費、施工機械費等）、間接成本C2（包括現(xiàn)場管理費、業(yè)務(wù)費、保險費、貸款利息等）和工期壓縮成本C3組成［9］.其中，直接成本與項目投資有關(guān)，直接成本總額與工期壓縮無關(guān)，為一個常數(shù)，則直接費用的變化表示為

式中，ΔC2為直接費用的變化.

間接成本與項目工期呈正向線性比例關(guān)系，假設(shè)單位工期的間接費率為g，則間接費用可表示為

式中，ΔC2為間接費用的變化；g 為單位工期的間接費率；t，t0含義同式（10）.

合同項目工期的壓縮成本ΔC3是將合同項目工期壓縮到一定的值，在正常費用之外多花費的直接費用.項目工期壓縮成本是項目工期的分段線性凸函數(shù)，可以利用指數(shù)函數(shù)C（T）＝M·e－λT（M 為項目工期成本系數(shù)，λ為常數(shù)，且M＞0，λ＞0）近似描述這一關(guān)系［10］.M 和λ 值可以根據(jù)同類項目歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，通過回歸分析方法計算得到.工期壓縮成本為

式中，ΔC3（t）為工期壓縮成本與工期函數(shù)；M 為工期成本系數(shù)；λ為常數(shù)；t，t0含義同式（9）.

則承包商付出的成本可表達為

式中符號含義同式（10）～（13）.

3.2.2 進度優(yōu)化模型

大中型工程項目群柔性工期優(yōu)化模型為

式（16）表明，業(yè)主收益及獎勵與工期優(yōu)化量呈線性關(guān)系，且獎勵系數(shù)小于收益系數(shù)，因此，最大優(yōu)化量必然能帶來業(yè)主受益最大，即工期優(yōu)化目標為優(yōu)化后工期最小；式（17）表明承包商的邊際收入應(yīng)大于邊際成本；式（18）、（19）表明業(yè)主對完工保證率或?qū)︼L險的偏向程度；式（20）表明對工期縮減有限制合同項目之前的合同項目工期優(yōu)化量.

4 案例分析

4.1 案例簡介

某工程項目群由14個合同項目組成，分別為A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N，其中，合同項目D為里程碑項目，其完工日期提前量不得大于30d，其網(wǎng)絡(luò)進度計劃見圖2.假設(shè)14個合同項目同時招標，且已簽訂合同.通過參考該類工程歷史數(shù)據(jù)，業(yè)主可得工程成本系數(shù)M 與λ 值以及直接成本和間接成本，見表1.項目群提前業(yè)主的收益為2萬元／天，且所有合同項目及項目群的完工保證率不低于70%.

圖2 某工程項目群網(wǎng)絡(luò)計劃圖

表1 某工程項目群基本參數(shù)

4.2 項目群柔性工期優(yōu)化分析

根據(jù)項目群中合同項目的合同工期，本項目群的關(guān)鍵路徑為A→B→D→G→H→I，項目群合同工期為1 573d，期望工期為1 303d，標準差為99.3.次級關(guān)鍵路線為A→B→D→J→K，項目群合同工期為1 285 d.根據(jù)合同項目及項目群的完工保證率應(yīng)不低于70%，優(yōu)化后的項目群最小工期Tmin：

可見，工期優(yōu)化后不會導(dǎo)致關(guān)鍵路線的變化.在不考慮里程碑項目影響時，對項目群工期進行優(yōu)化.A、B、D、G、H、I合同項目應(yīng)滿足式（17）、（18），式中i為A、B、D、G、H、I，計算結(jié)果見表2.

表2 某工程項目群工期優(yōu)化（不考慮里程碑項目）

D 合同項目為里程碑項目，根據(jù)式（20）可得：

D 合同項目優(yōu)化后的工期：tA＝489d，對應(yīng)的獎勵系數(shù)K＝1.98萬元／d；tB＝469d，對應(yīng)的獎勵系數(shù)K＝1.92萬元／d；tD＝80d，對應(yīng)的獎勵系數(shù)K＝1.31萬元／d.

優(yōu)化后的項目群總工期：T＝489＋469＋80＋79＋292＋76＝1 485＞Tmin，滿足式（19）.

4.3 對比分析

4.3.1 優(yōu)化結(jié)果分析

項目群柔性工期優(yōu)化與傳統(tǒng)工期優(yōu)化的結(jié)果對比情況見表3.

表3 項目群工期優(yōu)化結(jié)果對比

1）傳統(tǒng)工期優(yōu)化方法僅考慮了承包商和業(yè)主的收益情況，對項目完工保證率缺乏關(guān)注.對于完工保證率較低的合同項目，激勵將面臨較大的風險，同時這種合同項目的激勵難以獲得期望的效果.當采用傳統(tǒng)的工期優(yōu)化方法時，D、G、I合同項目完工保證率僅為15.90%，44.30%，49.80%，而采用本文的進度優(yōu)化模型，D、G、I合同項目完工保證率可以提高到70.00%，70.00%，70.20%，滿足業(yè)主激勵風險的控制.

2）當采用傳統(tǒng)工期優(yōu)化方法時，業(yè)主關(guān)注各合同項目的工期提前，一旦存在里程碑項目，使得里程碑項目之前的合同項目的優(yōu)化成果喪失.D 為里程碑合同項目，它只能提前30d，采取傳統(tǒng)方法計算提前工期為65d，不難看出之前項目提前的35d是無效的.

4.3.2 模型優(yōu)點分析

1）本模型可以較好地體現(xiàn)項目群柔性工期優(yōu)化的特點，兼顧了項目進度優(yōu)化和柔性工期，選取承包商邊際收益為零作為優(yōu)化的臨界點，反映承包商追求利益最大化的特點.

2）本模型考慮了里程碑項目的影響，解除或在一定程度上減輕里程碑項目工期的限制引起工期優(yōu)化成果被限制的風險.

3）合同項目進度優(yōu)化量受最小完工保證率的影響，最小完工保證率體現(xiàn)了業(yè)主的風險偏好.當業(yè)主風險偏好較大（最小完工保證率較低）時，可以進一步縮短項目群工期，體現(xiàn)了風險收益.

5 結(jié) 論

1）業(yè)主是項目群工期優(yōu)化的發(fā)起者，也是工期優(yōu)化的動力.根據(jù)自身收益情況及激勵成本，業(yè)主通過采取適當?shù)募畲胧?，促進承包商對工期進行優(yōu)化；承包商考慮可能獲得的獎金、間接費用的節(jié)省及壓縮工期的成本等，采取相應(yīng)的措施縮減項目工期，實現(xiàn)業(yè)主和承包商的雙贏.

2）項目群工期優(yōu)化應(yīng)綜合考慮工期優(yōu)化的收益和相應(yīng)的風險.業(yè)主應(yīng)考慮因采取獎勵措施所帶來的工期優(yōu)化量及優(yōu)化后合同項目與項目群工期的完工保證率，保證優(yōu)化后工期具有一定的完工保證率，有效地控制不能按時完工的風險.

3）里程碑項目對其之前的合同項目的工期優(yōu)化量產(chǎn)生限制，為此，在對里程碑項目之前的合同項目進行工期優(yōu)化時，應(yīng)充分考慮里程碑項目對工期優(yōu)化的限制.

4）案例分析表明，項目群柔性工期優(yōu)化應(yīng)綜合考慮工期柔性和項目群中合同項目之間邏輯關(guān)系的影響，忽略項目工期柔性可能使工期優(yōu)化面臨較大的風險.案例中的D 項目完工保證率僅為15.9%；忽略里程碑項目的影響可能導(dǎo)致獎勵措施的成效不明顯，如案例中的D 項目之前35d優(yōu)化量是無效的.

［1］ Lambropoulos S.The Use of Time and Cost Utility for Construction Contract Award under European Union Legislation［J］.Building and Environment，2007，1（42）：452－463.

［2］ Tareghian H R，Taheri H.An Application of Randomized Minimum Cut to the Project Time／Cost Trade off Problem ［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，2（17）：1200－1207.

［3］ 張清河，張云波.不確定性網(wǎng)絡(luò)計劃的工序作業(yè)時間研究［J］.華僑大學學報：自然科學版，2002（2）：142－146.

［4］ 王亞平，宋吉榮，郭耀煌.基于模糊弧長的網(wǎng)絡(luò)計劃模型及其算法［J］.西南交通大學學報，1998（5）：123－127.

［5］ 楊應(yīng)玖，楊 毅，楊 念.論灰色網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)［J］.武漢水利電力大學學報，1998（3）：95－100.

［6］ 趙克勤，黃德才，陸耀忠.基于a＋bi＋cj型聯(lián)系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)計劃方法初探［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2000（2）：29－31.

［7］ 蘇菊寧，蔣昌盛，劉晨光，等.基于獎懲機制的建筑供應(yīng)鏈工期協(xié)調(diào)優(yōu)化研究［J］.中國管理科學，2010（1）：95－101.

［8］ 林 軍，劉朝輝，沈志剛.一種資源約束下的工程項目進度計劃優(yōu)化方法［J］.工程建設(shè)與設(shè)計，2006（11）：89－92.

［9］ 陸龔曙，易 濤.委托代理理論下業(yè)主對施工承包商的激勵設(shè)計［J］.系統(tǒng)工程，2011（9）：72－77.

［10］李智勇.工程項目群進度優(yōu)化激勵機制研究［D］.鄭州：華北水利水電學院，2011.