羅 攀，李勇明，張秦汶，李亞洲，王 楠

（“油氣藏地質(zhì)與開發(fā)工程”國家重點(diǎn)實驗室·西南石油大學(xué)，四川成都610500）

近年來建立的一些濾失模型考慮到了越來越復(fù)雜的油藏條件，但求解的難度也變大。單相濾失假設(shè)能夠極大地簡化復(fù)雜情況下的濾失問題，便于計算分析。任嵐［1］等將濾失視為二維流動，考慮了壓裂液的非牛頓性，建立了高滲透地層的二維濾失模型；李勇明［2］等考慮到油藏介質(zhì)的不均勻性，建立了一系列的雙重介質(zhì)、多重介質(zhì)的濾失模型，得到了經(jīng)典濾失理論不適宜于多重介質(zhì)儲層濾失計算的結(jié)論，對裂縫性地層、裂縫-溶洞性地層的濾失計算有重要意義；黃志文［3］等考慮了溫度對壓裂液流變性的影響，提出了考慮溫度場影響的濾失計算方法。上述模型都建立在壓裂液單相濾失假設(shè)的基礎(chǔ)上，單相假設(shè)可以簡化問題，但使用假設(shè)前應(yīng)先解決假設(shè)是否合理、以及引起多大的誤差這兩個問題。本文試圖在考慮兩相流體性質(zhì)差異的濾失模型的基礎(chǔ)上比較兩相濾失與單相濾失的差異，以明確單相濾失假設(shè)的合理條件，確定單相濾失假設(shè)的誤差范圍。

1 兩相濾失數(shù)學(xué)模型［4-12］

假設(shè)壓裂液活塞式驅(qū)替油藏流體（圖1），侵入?yún)^(qū)壓力分布函數(shù)為p1（x，t），0＜x＜xc（t）；油藏區(qū)壓力分布函數(shù)為p2（x，t），xc（t）＜x＜＋∞；流體界面處的壓力為pc；界面處的壓力滿足連續(xù)性方程：

界面處的濾失速度相等：

圖1 壓裂液活塞式驅(qū)替油藏流體示意圖

設(shè)儲層滲透率為K，孔隙度為φ，巖石孔隙壓縮系數(shù)為cf，油藏流體粘度為μ2，壓縮系數(shù)為cc，壓裂液粘度為μ1，壓縮系數(shù)為cv，油藏初始壓力為pi，則兩相濾失壓力計算方程：

其中，η1 為侵入?yún)^(qū)導(dǎo)壓系數(shù)，η2 為油藏區(qū)導(dǎo)壓系數(shù)，c1為侵入?yún)^(qū)綜合壓縮系數(shù)，c2為油藏區(qū)綜合壓縮系數(shù)，由下式計算：

2 兩相濾失模型的求解

令

作玻爾茲曼變換

可將（3）式化常微分方程組的邊值問題：

設(shè)滿足方程邊界條件與初始條件的解為

式中，erf（x）為高斯誤差函數(shù)，erfc（x）＝1-erf（x）。

單位面積的裂縫壁面與流體界面之間包含的流體體積為：

時間t內(nèi)單位面積裂縫壁面的流體濾失量為：

若令時間t等于流體界面從裂縫壁面運(yùn)動至xc處所花費(fèi)的時間，那么V1與V2應(yīng)該相等，即

整理，得

由界面處流速條件（2）可得

界面處壓力條件（1）可表示為

將（12）、（13）帶入（14）式，并整理可得

用迭代法即可解出uc，并將其帶入（8））式便可得求出A、B，從而得到壓力分布函數(shù)p1、p2。裂縫壁面上的濾失速度則可按（16）式計算。

裂縫壁面上的濾失量則為：

3 單相濾失誤差計算

為了比較兩相濾失與單相濾失的差異，可推導(dǎo)只考慮壓裂液單相存在的濾失計算式（18）。

若將單相流動假設(shè)引起的相對誤差控制在δ以內(nèi)，則（16）、（18）式應(yīng)滿足

整理，得

將（12）、（15）帶入（20）式，并略去一些影響較小的項，有：

結(jié)合（4）式，得：

當(dāng)壓裂液與油藏流體的粘度與壓縮系數(shù)滿足（22）式時，將兩相濾失簡化為單相濾失的相對誤差上限為δ。

4 應(yīng)用分析

根據(jù)以上模型編制了VB 程序進(jìn)行計算分析?；緮?shù)據(jù)如表1所示。

圖2為計算得到的兩相濾失速度與單相濾失速度曲線對比，兩相濾失速度為單相濾失速度的數(shù)倍，主要原因為油藏流體小于壓裂液粘度，兩相濾失阻力遠(yuǎn)小于單相濾失的阻力。

圖3為流體粘度差異對濾失速度之比的影響，圖4為流體壓縮系數(shù)差異對濾失速度差異的影響。油藏流體與壓裂液的性質(zhì)差異越小，兩相與單相濾失速度越接近。若兩種流體粘度與壓縮系數(shù)均相等，這實際等同于單相濾失的情形，兩相濾失速度與單相濾失速度是完全一致的。

表1 程序輸入數(shù)據(jù)

圖2 兩相濾失與單相濾失的差異

圖3 粘度差異對兩相濾失速度的影響

圖5為滿足（22）式的兩相濾失曲線（從上至下δ分別為0.1，0，0.17），與單相濾失曲線的對比。單相濾失假設(shè)引起的誤差在20%之內(nèi)，說明當(dāng)流體性質(zhì)差異滿足一定條件的時候，兩相濾失是完全可以假設(shè)為單相濾失的。

圖6為流體界面附近的壓力分布，兩相流體的壓力分布曲線在界面處有明顯的轉(zhuǎn)折，符合兩種性質(zhì)差異較大的流體在界面處有相同的壓力、相同的流速的實際情況。圖7為遠(yuǎn)場區(qū)域的壓力分布，區(qū)域的壓力分布為油藏流體的性質(zhì)所控制，壓裂液對該區(qū)域的壓力分布的影響很小。

圖4 壓縮系數(shù)差異對濾失速度的影響

圖5 可以將兩相濾失當(dāng)作單相濾失的情形（cv＝0.0007 MPa-1，μ1＝100 mPa·s）

圖6 流體界面附近的壓降曲線

圖7 遠(yuǎn)場區(qū)域的壓降曲線

5 結(jié)論

（1）壓裂液濾失是壓裂液驅(qū)替油藏流體的兩相或多相滲流過程。由于油藏流體與壓裂液的粘度、壓縮系數(shù)存在差異，濾失計算時不能一概將濾失過程假設(shè)為壓裂液的單相滲流，否則可能會引起較大誤差。

（2）當(dāng)油藏流體與壓裂液性質(zhì)滿足一定條件時，兩相濾失可以簡化為壓裂液的單相濾失。

（3）本文建立的兩相濾失的計算模型易于求解，具有一定推廣應(yīng)用價值。

（4）在需要大量重復(fù)進(jìn)行濾失計算的壓裂模擬設(shè)計中，可先估算單相濾失的誤差范圍，若誤差不大，可使用單相滲流假設(shè)的模型，以便于考慮其他復(fù)雜條件；若誤差較大，建議使用兩相濾失的模型。

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