漸開線圓柱齒輪齒根彎曲應(yīng)力精確計(jì)算

姚和川，王明明，李 鳴，孫淑霞

（1.沈陽(yáng)新松機(jī)器人自動(dòng)化股份有限公司 激光事業(yè)部，遼寧 沈陽(yáng) 110168；2.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870）

0 引言

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用最廣泛的一種形式，具有傳動(dòng)比準(zhǔn)確、效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、工作可靠、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)。齒輪最常見的失效形式為齒根彎曲疲勞應(yīng)力引起的輪齒折斷和齒面接觸疲勞應(yīng)力引起的齒面點(diǎn)蝕，而輪齒折斷是最嚴(yán)重的失效形式，并且常常會(huì)突然發(fā)生，導(dǎo)致整臺(tái)機(jī)器甚至是生產(chǎn)線停車、停產(chǎn)。因此在齒輪的設(shè)計(jì)過程中需要精確計(jì)算齒根的彎曲疲勞應(yīng)力，而計(jì)算齒根彎曲疲勞應(yīng)力的經(jīng)典理論算法不僅需要進(jìn)行大量的簡(jiǎn)化，還需要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正［1－4］。本文采用ANSYS 軟件建立齒輪齒廓曲線和齒根曲線，然后精確計(jì)算齒輪的齒根彎曲應(yīng)力和齒面接觸應(yīng)力，并與理論方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 齒輪模型

1.1 漸開線齒廓曲線建模

如圖1所示，當(dāng)一條直線在圓周上作純滾動(dòng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)的軌跡稱為該圓的漸開線，這個(gè)圓稱為漸開線的基圓，其半徑用rb表示；直線BK 稱為漸開線的發(fā)生線；K 為漸開線上的任意一點(diǎn)，其向徑用rK表示，漸開線AK 段的展角用θK表示；漸開線在K 點(diǎn)的壓力角用αK表示。則漸開線的極坐標(biāo)方程為：

將式（1）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：

其中

圖1 漸開線的形成

1.2 齒根過渡曲線的建模

盡管過渡曲線在齒輪工作中不參與嚙合，但是它卻對(duì)齒輪根部的彎曲應(yīng)力有著重要的影響，精確地繪制齒輪根部過渡曲線是進(jìn)行齒輪根部彎曲應(yīng)力有限元分析的先決條件。齒根過渡曲線形狀取決于兩個(gè)因素：一是刀具與齒坯的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系（加工方法）；二是刀具頂部的刃形。齒輪加工方法不同或采用刀具不同，加工出的齒根過渡曲線則不相同。即使采用同一種加工方法用同一類刀具加工，若切齒刀具的齒頂圓角半徑不同，所得到的齒根過渡曲線也不相同［5，6］。

滾刀加工齒輪時(shí)，如果刀具齒廓的頂部具有兩個(gè)圓角，則切出的齒根過渡曲線如圖2所示，I、II兩段為延伸漸開線的等距曲線，III段為齒輪的根圓圓弧。

圖2 第一類齒根過渡曲線

圖3為雙圓角刀具的基準(zhǔn)齒形，其參數(shù)的關(guān)系式為：

其中：a 為刀具圓角中心到中線的距離；h＊a為齒頂高系數(shù)；m 為模數(shù)；c＊為頂隙系數(shù)；α 為壓力角；b為刀具圓角部分的高度；r0為刀具齒頂?shù)膱A角半徑。

圖3 雙圓角刀具的基準(zhǔn)齒形

該過渡曲線的參數(shù)方程式為：

1.3 齒輪有限元模型

用上述方法建立的一對(duì)相嚙合齒輪的有限元模型如圖4所示，其參數(shù)為：模數(shù)m＝4 mm，壓力角α＝20°，小齒輪齒數(shù)Z1＝21，大齒輪齒數(shù)Z2＝45，齒寬h＝25mm，扭矩T＝4 988N·mm。

圖4 嚙合齒輪的有限元網(wǎng)格模型

2 計(jì)算結(jié)果及分析

圖5為兩個(gè)齒輪的接觸狀態(tài)。此時(shí)兩齒輪在節(jié)點(diǎn)處嚙合，嚙合點(diǎn)隨齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生變化。計(jì)算發(fā)現(xiàn)：在小齒輪轉(zhuǎn)過0°～1.7°時(shí)第一對(duì)齒嚙合，在14.25°～17.14°為第二對(duì)齒嚙合，在1.7°～14.25°為兩對(duì)齒同時(shí)嚙合，小齒輪轉(zhuǎn)角1.7°為單齒嚙合的極限位置，此時(shí)齒根彎曲應(yīng)力達(dá)到最大值，圖6為齒根部位應(yīng)力分布圖。

圖5 兩齒輪的接觸狀態(tài)

圖6 齒根部位應(yīng)力分布

齒根彎曲應(yīng)力的經(jīng)典理論公式為：

其中：U 為載荷系數(shù)，取U＝1；d1為小齒輪的分度圓直徑，d1＝84mm；YFa、YSa、Yε分別為齒形系數(shù)、應(yīng)力修正系數(shù)和重合度系數(shù)，由參考文獻(xiàn)［5］查圖得到Y(jié)Fa＝2.8，YSa＝1.56，Yε＝0.69。將已知參數(shù)代入式（7）計(jì)算得σF＝89.1 MPa。

可見，理論方法的計(jì)算結(jié)果在修正前（修正前為29.7 MPa）與有限元計(jì)算結(jié)果（67.649 MPa）相差甚遠(yuǎn)，修正后的值（89.1 MPa）略大于有限元計(jì)算結(jié)果。兩者的差異主要是理論方法在計(jì)算齒根應(yīng)力時(shí)做出如下簡(jiǎn)化：①把漸開線齒廓簡(jiǎn)化為等截面梁；②對(duì)加載點(diǎn)和危險(xiǎn)截面位置進(jìn)行了簡(jiǎn)化；③忽略了由載荷Fn的水平分量Fncosα產(chǎn)生的剪應(yīng)力和垂直分量Fnsinα 所產(chǎn)生的壓應(yīng)力，只按齒根危險(xiǎn)截面的彎曲應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算；④修正系數(shù)本身沒有理論依據(jù)，存在較大的近似性。

3 結(jié)論

利用有限元軟件可以精確建立漸開線和齒根曲線的真實(shí)形狀，用接觸單元可以計(jì)算出單齒嚙合區(qū)和多齒嚙合區(qū)。計(jì)算齒輪在單齒嚙合區(qū)的極限位置嚙合時(shí)齒根的應(yīng)力分布，得到周期性最大彎曲疲勞應(yīng)力。理論方法的計(jì)算結(jié)果在修正前與有限元計(jì)算結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，修正后略大于有限元計(jì)算結(jié)果，兩者的差異主要是由于理論方法的計(jì)算簡(jiǎn)化引起的。

［1］ 武志斐，王鐵，張瑞亮.18Cr2Ni4WA 齒輪彎曲疲勞試驗(yàn)及基于可靠度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2012（1）：154－158.

［2］ 林騰蛟，沈亮，趙俊渝.風(fēng)電增速箱輸出級(jí)齒輪副疲勞壽命有限元分析［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào)，2012（1）：1－6.

［3］ 韓志武，呂尤，牛士超.仿生表面形態(tài)對(duì)齒輪彎曲疲勞性能的影響［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2011（3）：702－705.

［4］ 何曉華，陳兵奎.齒條型刀具對(duì)齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度的影響分析［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2011（7）：58－61.

［5］ 吳繼澤，王統(tǒng).齒根過渡曲線與齒根應(yīng)力［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1989.

［6］ 楊慶詳，趙言輝.滲碳及滲碳噴丸齒輪輪齒彎曲疲勞極限的定量分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2004，36（8）：39－42.