摘 要：本文從利用數(shù)學(xué)知識(shí)的“殘缺”、數(shù)學(xué)題的“殘缺”、數(shù)學(xué)史上的“殘缺”三個(gè)方面闡述在教學(xué)中如何利用數(shù)學(xué)中的殘缺美來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的道德品質(zhì)，讓數(shù)學(xué)中的“維納斯”綻放光彩.

關(guān)鍵詞：殘缺美；數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)題；數(shù)學(xué)史

羅浮宮中的維納斯雕像之所以動(dòng)人，在于她那獨(dú)有的“殘缺美”. 任何一個(gè)人面對(duì)維納斯，首先看到的就是她殘缺的雙臂，尤其是那右臂，齊刷刷地被奪去. 面對(duì)這殘缺的雙臂，人們扼腕，人們嘆息，甚至流淚. 維納斯斷臂的美，就在于讓觀者產(chǎn)生無(wú)窮無(wú)盡的想象，讓人盡情感受她的整體美，斷臂的維納斯讓人想象她無(wú)數(shù)雙秀美的玉臂，給我們留下了想象的空間. 讓審美者用自己的心靈和感受去填補(bǔ)空白，這恐怕就是斷臂所帶來(lái)的殘缺之美的妙處.

數(shù)學(xué)是美的科學(xué)，追求數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力. 數(shù)學(xué)本身從形式到內(nèi)容都充滿了美，如簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美與奇異美等. 教師授課時(shí)大都十分注意引導(dǎo)學(xué)生去欣賞此類“完美”，而對(duì)“不完美”之處甚少提及. 其實(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是一部維納斯的制作史，數(shù)學(xué)中的殘缺比比皆是. 對(duì)于這些殘缺，教師不僅不用回避，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去欣賞. 本文芻議在教學(xué)中如何利用數(shù)學(xué)中的殘缺美來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的道德品質(zhì)，讓數(shù)學(xué)中的“維納斯”綻放光彩.

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的整體，但數(shù)學(xué)教學(xué)必須從這個(gè)整體中理出知識(shí)傳授的先后順序. 這就好像要從一張復(fù)雜的網(wǎng)中理出一條單一的線路，無(wú)論如何理都不可能將這張網(wǎng)中的每個(gè)紐節(jié)都按先后順序納入其中. 因此，在教材教參的編寫(xiě)中難免會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)密性與簡(jiǎn)約性的矛盾. 有時(shí)，為了便于學(xué)生掌握，需要將某些知識(shí)簡(jiǎn)約化，將一些雖有關(guān)聯(lián)但不很重要的問(wèn)題忽略掉或者作為以后的教學(xué)內(nèi)容，從而造成數(shù)學(xué)知識(shí)的“殘缺”. 對(duì)于這一類“殘缺”，教師可以有意識(shí)地選擇一些內(nèi)容，因勢(shì)利導(dǎo)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，激發(fā)他們的求知欲，從而培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

1. 過(guò)程性“殘缺”

過(guò)程性“殘缺”指在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，因后續(xù)內(nèi)容暫時(shí)還沒(méi)有學(xué)而導(dǎo)致的“殘缺”. 在我們的教科書(shū)中，數(shù)學(xué)始終在自我矛盾中發(fā)展. 如實(shí)系數(shù)一元二次方程當(dāng)判別式小于零時(shí)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)卻有解，初中教材中角的定義與高中教材中角的定義不同等. 數(shù)學(xué)的發(fā)展是為了解決以往的“殘缺”. 教師在授課時(shí)應(yīng)抓住這一點(diǎn)，使學(xué)生感到有惑，方能增加學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)動(dòng)思維. 比如一次立體幾何習(xí)題課中，有學(xué)生提問(wèn)：平面向量可以解決平面幾何問(wèn)題，那么除了運(yùn)用空間點(diǎn)、線、面的判定及性質(zhì)定理，還有沒(méi)有其他方法解決立體幾何問(wèn)題？一石激起千層浪，學(xué)生們議論紛紛，空間向量的雛形呼之欲出. 但是筆者并沒(méi)有急于講解，只對(duì)學(xué)生說(shuō)在以后的教材中會(huì)學(xué)習(xí)到. 這樣留下一個(gè)不完美的結(jié)局，讓學(xué)生去研討、解惑，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，提高學(xué)習(xí)的興趣.

又如高中階段解題中經(jīng)常使用的韋達(dá)定理讓許多學(xué)生萌生這樣的疑惑：一元三次方程根與系數(shù)有無(wú)類似的性質(zhì)？一元n次方程呢？筆者就碰到過(guò)一位很愿鉆研的學(xué)生，他根據(jù)韋達(dá)定理的推導(dǎo)原理（根據(jù)代數(shù)基本定理“任何一元n次方程在復(fù)數(shù)集中必有根”，因此該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積，兩端比較系數(shù)即得韋達(dá)定理）得到了一元三次方程中根與系數(shù)的關(guān)系. 正是這種知識(shí)的殘缺激發(fā)了學(xué)生的求知欲，使他在思維發(fā)展中迸發(fā)出耀眼的智慧之光.

2. 概念性“殘缺”

概念性“殘缺”指有些教學(xué)內(nèi)容因界定不明而出現(xiàn)的“殘缺”. 如人教版《必修2》二面角概念中角度的范圍未明確給出，0°和180°是否在其范圍之內(nèi)？能否超過(guò)180°？學(xué)生對(duì)這種書(shū)本上未直接給出的知識(shí)探究熱情倍增. 教師只需引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，而不用替他們解決，讓他們自己去完整知識(shí). 在此過(guò)程中，學(xué)生不僅開(kāi)發(fā)思維，深刻地理解了定義，那種巨大的成就感更提升了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

3. 關(guān)系性“殘缺”

關(guān)系性“殘缺”指有些教學(xué)內(nèi)容因包容不周全、相互不統(tǒng)一等與邏輯關(guān)系相關(guān)的“殘缺”. 如直線方程的四種形式在解決直線方程相關(guān)問(wèn)題時(shí)各自體現(xiàn)出強(qiáng)大的功能，有其“優(yōu)美”的一面，但是同時(shí)還有不能表示某類直線的“缺陷”；等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式當(dāng)q=1時(shí)和q≠1時(shí)，形式不統(tǒng)一；立幾、解幾中對(duì)兩條直線所成的角的定義不統(tǒng)一等. 此外，數(shù)學(xué)概念中，經(jīng)常有“特別的…、當(dāng)且僅當(dāng)…、其中…”等特殊字眼.這些不和諧也構(gòu)成了數(shù)學(xué)的殘缺美，為鍛煉學(xué)生完整思維、培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣、熏陶學(xué)生的思維態(tài)度、提高他們的思維品質(zhì)提供了豐富的素材. 只有這樣，才能使學(xué)生形成完美的世界觀和方法論. 教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分地注意到這些“缺陷”， 通過(guò)不斷的接觸，不斷的反思，使他們的認(rèn)知元在無(wú)數(shù)次的充實(shí)和優(yōu)化中得到升華，以培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性；并且要求學(xué)生隨時(shí)注意“一般+特殊”的基本思考問(wèn)題方法，發(fā)揮問(wèn)題“優(yōu)美”的一面，彌補(bǔ)問(wèn)題“缺陷”的一面.

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)分析例題，也離不開(kāi)布置習(xí)題，但是數(shù)學(xué)題目也存在著“殘缺”的現(xiàn)象. 數(shù)學(xué)題目的“殘缺”主要指由于出題人考慮不夠周全而導(dǎo)致的題目“殘缺”，也就是我們平常所說(shuō)的錯(cuò)題. 有些人認(rèn)為錯(cuò)題根本連題目都算不上，不應(yīng)讓學(xué)生面對(duì)，應(yīng)直接刪去. 筆者的意見(jiàn)是只要教師合理引導(dǎo)學(xué)生去欣賞這些題目中的“殘缺美”，就能使得這種“缺陷”成為我們培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的工具，而不是對(duì)問(wèn)題的遺憾.

筆者把常見(jiàn)的殘缺題分成四類：

1. 出題不嚴(yán)密導(dǎo)致殘缺

本題的錯(cuò)誤是沒(méi)有考慮函數(shù)f（x），g（x）的公共定義域?yàn)榭占那闆r，而這恰恰是我們課本對(duì)單調(diào)函數(shù)定義中的一個(gè)“殘缺”. 然而，我們可以應(yīng)用這個(gè)典范來(lái)加強(qiáng)學(xué)生注意公共定義域，從而使這個(gè)“高考錯(cuò)題”發(fā)揮它特有的美——?dú)埲泵? 這類錯(cuò)題是用來(lái)強(qiáng)化學(xué)生概念、培養(yǎng)思維嚴(yán)密性的好題材.

2. 錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)導(dǎo)致殘缺

數(shù)學(xué)家波利亞在《解題表》中把解題分為四個(gè)步驟：弄懂題義，擬訂方案，執(zhí)行方案，檢驗(yàn)回顧. 而學(xué)生往往只做了前三步，對(duì)最后一步“檢驗(yàn)回顧”不夠重視. “反思”在當(dāng)代認(rèn)識(shí)心理學(xué)中屬于元認(rèn)知的范疇，它是指對(duì)自身的思維過(guò)程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)知和檢驗(yàn)的過(guò)程. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，反思提供了體現(xiàn)數(shù)學(xué)“殘缺美”、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)“殘缺美”的真正內(nèi)涵的作用. 借助這類錯(cuò)題，可以令學(xué)生感受到“檢驗(yàn)回顧”的重要性，養(yǎng)成反思的習(xí)慣.

3. 多解或無(wú)解導(dǎo)致殘缺

此結(jié)論只要一回眸就可知有殘缺，a3顯然不存在，教師可以讓學(xué)生自己推敲，找出產(chǎn)生殘缺的原因（當(dāng)n=2時(shí)，題設(shè)中的等式為（a1-a2）a3=（a2-a3）a1，得a3=1+a3，即1=0. 題設(shè)中的等式顯然不成立，故不存在這樣的數(shù)列，本題無(wú)解）. 這樣的殘缺能引起學(xué)生的好奇心與求知欲，使他們感到有惑，從而主動(dòng)地、積極地去探究，比一帆風(fēng)順地、完美地解決一道題更有意義.

有些題有無(wú)窮解，卻被要求寫(xiě)出有限解，如《浙江省普通高中新課程作業(yè)本》中有一題：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S+2n=（2n+1）Sn，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

這是一個(gè)已知Sn求an的應(yīng)用問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)答案中的解法看似完美，然而一位學(xué)生解答為：1，0，5，2，……，一檢驗(yàn)竟然成立！

筆者經(jīng)過(guò)分析后，以此為契機(jī)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)題解決過(guò)程中的思維批判性訓(xùn)練. 首先提出了產(chǎn)生錯(cuò)題、出現(xiàn)錯(cuò)解的原因——沒(méi)有認(rèn)真的反思、認(rèn)知水平的局限、數(shù)學(xué)方法的定式. 然后，筆者和學(xué)生一起探究正確的解決問(wèn)題的思維過(guò)程（這事實(shí)上是一個(gè)函數(shù)方程的問(wèn)題，Sn=1或Sn=2n是兩個(gè)函數(shù)方程，而且解并不唯一，有無(wú)窮多個(gè)），并讓學(xué)生嘗試改編使其正確，結(jié)果這道錯(cuò)題被改編成了一道開(kāi)放性試題：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S+2n=（2n+1）Sn， 求數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式； 寫(xiě)出3個(gè)滿足這樣條件的數(shù)列；當(dāng)n=5時(shí)，寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列.

縱觀這道題的教學(xué)過(guò)程，從分析、演繹一個(gè)錯(cuò)題，得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，到函數(shù)方程解的無(wú)窮性，最后以一組開(kāi)放性問(wèn)題結(jié)束，我們經(jīng)歷了一個(gè)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，這是一個(gè)在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上積極建構(gòu)的過(guò)程，從中豐富了對(duì)數(shù)列通項(xiàng)探索的認(rèn)識(shí)（屬于元認(rèn)知知識(shí)），獲得了正、反兩方面的認(rèn)知體驗(yàn)與情感體驗(yàn)（屬于元認(rèn)知體驗(yàn)），進(jìn)行了自覺(jué)的解題調(diào)控（屬于元認(rèn)知調(diào)控）. 這些收獲是對(duì)錯(cuò)題錯(cuò)解不斷體驗(yàn)、探索、糾正而得到的，它既充實(shí)，又優(yōu)化了原認(rèn)知結(jié)構(gòu). 此類題目只要合理運(yùn)用，就可以讓學(xué)生完完美美地享受“殘缺”的美麗.

4. 少條件或多條件導(dǎo)致殘缺

老子云：“大音無(wú)聲，大象無(wú)形”，即是說(shuō)最大的樂(lè)聲聽(tīng)來(lái)反而無(wú)音響，最大的形象反而看不到形跡. 我國(guó)古代繪畫(huà)中體現(xiàn)了空白藝術(shù)，虛實(shí)相生，無(wú)畫(huà)處皆成妙境. 如齊白石畫(huà)蝦，他只畫(huà)蝦的動(dòng)作，而空白處觀賞者便想象成了水. 空白藝術(shù)與殘缺美是一脈相承的，教師有時(shí)可以刻意拿掉題目中的一些條件，制造空白，給學(xué)生留出想象的空間.

如某次講義由于打印不當(dāng)出現(xiàn)一題：已知直線y=2x+m與拋物線y=x2相交于A，B兩點(diǎn)，求直線AB的方程.

題目明顯缺少條件.學(xué)生看后詢問(wèn)，是不是有內(nèi)容未印出，是什么？筆者故意作忘，輕描淡寫(xiě)地讓學(xué)生自己加一個(gè)條件. 學(xué)生添加了以下條件：

此題從出題意義上屬于送分題，事實(shí)上絕大多數(shù)學(xué)生能得滿分，但值得注意的是題中條件“A為銳角”為無(wú)效條件，那么教師是否應(yīng)該把這類題先去掉無(wú)用的條件再放到學(xué)生面前呢？答案是否定的. 因?yàn)閷W(xué)生面對(duì)的真實(shí)世界并不像習(xí)題里設(shè)置得那樣天衣無(wú)縫.在真實(shí)的實(shí)際問(wèn)題面前，學(xué)生首先得挑選有用的條件和數(shù)據(jù)，拋棄無(wú)用的信息，沒(méi)有人事先幫他們進(jìn)行過(guò)濾. 同樣，在課堂里，教師不應(yīng)當(dāng)把這種過(guò)濾工作永遠(yuǎn)包辦代替.

新的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》增加了有關(guān)數(shù)學(xué)史方面的內(nèi)容，使數(shù)學(xué)史教學(xué)真正走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂. 數(shù)學(xué)史中自然也有殘缺.如17世紀(jì)法國(guó)數(shù)論大師費(fèi)馬在研究古希臘數(shù)學(xué)著作《算術(shù)》時(shí)寫(xiě)下了“費(fèi)馬大定理”，并在其批注的書(shū)頁(yè)上寫(xiě)到：“我已發(fā)現(xiàn)此命題的一個(gè)真正奇妙的證明，但是這頁(yè)邊空白太小，寫(xiě)不下這個(gè)證明.” 留下了讓全世界數(shù)學(xué)家困惑了300多年的謎. 又如哥德巴赫猜想是1742年德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫(xiě)給歐拉的信中第一次提出的，歐拉回信說(shuō)他驗(yàn)算到100沒(méi)有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，但是不能給出一般性的證明. 這個(gè)“不能”至今沒(méi)有變成“能”.

無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家為了攻克難關(guān)而努力，為了追求真理窮其一生的榜樣示范讓學(xué)生獲得頑強(qiáng)學(xué)習(xí)的勇氣，在學(xué)習(xí)中遇到的挫折不再輕言放棄. 數(shù)學(xué)家在追求真理的過(guò)程中所表現(xiàn)出的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和獻(xiàn)身精神正是教育學(xué)生最好的范例. 由于 “頁(yè)邊太小”的“缺陷”使許許多多“費(fèi)馬”癡迷者和數(shù)學(xué)大家前赴后繼地傾注時(shí)間和心血，從而使數(shù)論飛速發(fā)展；皇冠上的明珠雖未被摘取但數(shù)學(xué)家為之付出的努力卻為解決其他的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了有力的幫助. 讓學(xué)生明白“失之東隅，收之桑榆”，付出終有回報(bào)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地看問(wèn)題. 哥德巴赫猜想至今尚未被解決，也許永遠(yuǎn)無(wú)法解決，讓學(xué)生懂得“金無(wú)足赤，人無(wú)完人”，能夠接受與面對(duì)殘缺. 學(xué)習(xí)這樣帶有遺憾、殘缺的數(shù)學(xué)史，能幫助學(xué)生樹(shù)立正確的價(jià)值觀和人生觀.

維納斯正因?yàn)槭チ穗p臂，才擁有了無(wú)數(shù)雙玉臂. 殘缺之所以美，是因?yàn)樗芤鹑藗儫o(wú)限神秘的遐想. 數(shù)學(xué)中的維納斯——數(shù)學(xué)的殘缺美賦予了學(xué)生想象的空間與探究的素材. 教師應(yīng)利用這些“殘缺”來(lái)放飛學(xué)生的思想之翼，引領(lǐng)學(xué)生在新月半彎中期待滿月之美.