有理數(shù)的核心概念解讀

數(shù)及其運算是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容.在小學(xué)里同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會了自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)及其運算.本章是在小學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，借助對具有相反意義的量的討論，引入負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值等一系列概念.本章的知識和思想方法是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，為使同學(xué)們真正理解和掌握有理數(shù)的基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)運算能力，增強數(shù)感和符號意識，有必要對有理數(shù)這一章的核心概念作進一步解讀.

一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

1.對正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識

生活中經(jīng)常遇到零上與零下、向左與向右、前進與后退、上升與下降、收入與支出等許多具有相反意義的量，為了在數(shù)學(xué)上正確表示這些相反意義的量，我們引入正數(shù)和負(fù)數(shù).

引入負(fù)數(shù)是實際的需要，也是數(shù)學(xué)內(nèi)部知識發(fā)展的需要.同學(xué)們可以從學(xué)習(xí)過程中體會根據(jù)實際和數(shù)學(xué)發(fā)展需要引入新數(shù)的好處.

用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示現(xiàn)實生活中具有相反意義的量，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運用的廣泛性，更重要的是引入負(fù)數(shù)可以使小學(xué)討論的問題大大簡化，例如我們把“少5個”理解成“多-5個”，就可以將小學(xué)討論盈虧問題時“盈盈”“盈虧”“虧虧”3種情況統(tǒng)一成一種情況.

2.對正數(shù)和負(fù)數(shù)概念的理解

正數(shù)：像+1.6、+20、+130、+80%等帶“+”號的數(shù)叫做正數(shù)，正數(shù)加上“+”號表示強調(diào)，也可以省略不寫.

負(fù)數(shù)：像-12、-326、-60、-0.8、-68%等帶有“-”號的數(shù)叫做負(fù)數(shù).而負(fù)數(shù)的“-”號不能省略.

零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點.

對于正數(shù)與負(fù)數(shù)，不能簡單地理解為：帶“+”號的數(shù)是正數(shù)，帶“-”號的數(shù)是負(fù)數(shù).例如-a不一定是負(fù)數(shù)，因為字母a代表任何一個有理數(shù).當(dāng)a是正數(shù)時，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a是0時，-a是0；當(dāng)a是負(fù)數(shù)時，-a是正數(shù).正數(shù)與負(fù)數(shù)能表示相反意義的量，習(xí)慣上把增加、盈利等規(guī)定為正，它們相反意義的量規(guī)定為負(fù)，正、負(fù)是相對而言的.

二、有理數(shù)和無理數(shù)

1.對有理數(shù)概念的理解

我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式■（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)，整數(shù)、有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都能化為分?jǐn)?shù)的形式，它們是有理數(shù).整數(shù)包括三類：正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù).分?jǐn)?shù)包括兩類：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù).

引入負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍擴大為有理數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)的外延也由自然數(shù)擴大為整數(shù).整數(shù)也可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，如…-6，-4，-2，0，2，4，6…；不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)，如…-5，-3，-1，1，3，5….

有理數(shù)可以按兩個標(biāo)準(zhǔn)進行分類：（1）按整數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類；（2）按正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的關(guān)系分類.

2.對無理數(shù)概念的理解

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)■的形式.

（1）無理數(shù)應(yīng)滿足的條件：①是小數(shù)；②是無限小數(shù)；③是不循環(huán)小數(shù).

（2）本章無理數(shù)的表現(xiàn)類型：①π型，如0.6π、3π等；②小數(shù)型，如0.101 001 000 1…，2.383 883 888 388 88…；③描述型，如面積為2的正方形的邊長a等.

3.有理數(shù)與無理數(shù)的主要區(qū)別

有理數(shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù).所有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)的形式.

三、數(shù)軸

1.對數(shù)軸的認(rèn)識

數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的畫法：①畫一條水平的直線；②在直線的適當(dāng)位置選取一點作為原點，并用0表示這點；③確定向右為正方向，用箭頭表示出來；④選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次為1，2，3，…；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次為-1，-2，-3，….如圖1所示.

2.對數(shù)軸的理解

概念的理解：①數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；②數(shù)軸有三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；③原點的位置、正方向的取向、單位長度的大小都是根據(jù)實際需要而定的.

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物.用數(shù)軸上的點可以直觀地表示有理數(shù)，為我們理解相反數(shù)和絕對值提供了直觀工具，同時為學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算法則作了準(zhǔn)備.我們借助圖形能直觀地確認(rèn)有理數(shù)和無理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示，數(shù)軸上的點都表示一個有理數(shù)或一個無理數(shù)，從而使我們了解數(shù)軸上的點與有理數(shù)和無理數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系，并為有理數(shù)的相反數(shù)和絕對值的學(xué)習(xí)做了鋪墊.

四、絕對值和相反數(shù)

1.對絕對值的認(rèn)識和理解

絕對值的幾何定義：在數(shù)軸上，表示一個數(shù)a的點到原點的距離叫做這個數(shù)a的絕對值，記作a.

絕對值的代數(shù)定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.

絕對值的概念是借助距離的概念加以描述的.在數(shù)軸上，一個點由方向和距離（長度）確定；相應(yīng)地，一個數(shù)是由符號和絕對值確定.這里“方向”和“符號”對應(yīng)，“距離”和“絕對值”對應(yīng)，又一次體現(xiàn)了數(shù)形的結(jié)合、轉(zhuǎn)化.所以，絕對值的概念既可以促進對數(shù)軸概念的理解，也可以進行數(shù)的大小比較，同時也是數(shù)的運算的基礎(chǔ).

注意：（1）絕對值的求法：先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，再根據(jù)絕對值的代數(shù)定義去掉絕對值符號；（2）絕對值的非負(fù)性：無論是絕對值的幾何定義，還是絕對值的代數(shù)定義都揭示了絕對值的重要性質(zhì)——非負(fù)性.也就是說，任何一個有理數(shù)或一個無理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即a≥0.

2.對相反數(shù)的認(rèn)識和理解

相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).規(guī)定零的相反數(shù)是零.

從數(shù)軸上看，表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)，分別位于原點的兩側(cè)（零除外，零和它的相反數(shù)都在原點），且與原點的距離相等.如圖1，4與-4互為相反數(shù).

相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，如+3與-3互為相反數(shù)，說明+3的相反數(shù)是-3，-3的相反數(shù)是+3，單獨一個數(shù)不能說相反數(shù)；“只有”的含義說明像+2與-3這樣的兩個數(shù)不是互為相反數(shù).

引入相反數(shù)，一方面可以加深對相反意義的量的認(rèn)識，另一方面可以為學(xué)習(xí)絕對值和有理數(shù)的運算做準(zhǔn)備.

五、非負(fù)數(shù)和非正數(shù)

若數(shù)a≥0，則稱a為非負(fù)數(shù).

非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：任何非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)；如果幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)均為0.例如：若m、n滿足m-3+（n+2）2=0，則m-3=0，n+2=0，即m=3，n=

-2.

與其相對應(yīng)的還有非正數(shù)，若數(shù)a≤0，則稱a為非正數(shù).

六、倒數(shù)

乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù).

倒數(shù)的求法：求一個數(shù)的倒數(shù)，直接可以把這個數(shù)作為分母、作為分子，寫成分?jǐn)?shù)；求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒即可；求一個帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再將分子、分母顛倒；求一個小數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再求倒數(shù).

只有零沒有倒數(shù)，其他任何數(shù)都有倒數(shù).正數(shù)的倒數(shù)為正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)為負(fù)數(shù)，求一個數(shù)的倒數(shù)不改變它的符號.

七、數(shù)的大小的比較

利用數(shù)軸比較大?。簲?shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，故有：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).例如：圖1中表示2的點在表示-3的點的右邊，則2>-3；也可由2是正數(shù)，-3是負(fù)數(shù)判斷出2>-3.

任意數(shù)大小的比較法則：正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.例如：比較兩個負(fù)數(shù)-3.6和-2.8的大小的步驟是：首先分別求出兩個負(fù)數(shù)的絕對值-3.6=3.6，-2.8=2.8；再比較兩個絕對值的大小3.6>2.8；最后根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確判斷：-3.6<-2.8.

以上是“有理數(shù)”這一單元中的一些重要的核心概念，它們是奠定整個中學(xué)數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ).希望同學(xué)們要認(rèn)真學(xué)習(xí)、正確理解、靈活運用，為自己今后的發(fā)展奠定厚實的基礎(chǔ).