由近及遠(yuǎn)“看”例題

一道好的例題具有基礎(chǔ)性、指導(dǎo)性、典型性、示范性、拓展性，是課本的精髓，它一方面加深了同學(xué)們對(duì)概念、知識(shí)的理解，另一方面也是培養(yǎng)同學(xué)們諸多能力的重要載體.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)最大限度地發(fā)揮它的引領(lǐng)和輻射作用，鞏固基礎(chǔ)，舉一反三，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，獲得數(shù)學(xué)思想方法.

題目1 （《蘇科版（數(shù)學(xué)）》七年級(jí)上冊(cè)P27例5）求下列各數(shù)的絕對(duì)值：

+6，π，-3， -2.7，0.

解答略.

絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，對(duì)剛進(jìn)中學(xué)的同學(xué)來(lái)說(shuō)也是個(gè)難以理解的概念.正確地求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，要經(jīng)歷“判斷——選擇——確定”的過(guò)程.判斷，即先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)或零；選擇，即根據(jù)這個(gè)數(shù)的性質(zhì)選擇相應(yīng)的法則；最后根據(jù)選定的法則來(lái)確定這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.此題可做如下拓展：

例1 如果a、b、c是非零有理數(shù)，求■+■+■的值.

【解答】此題主要考查絕對(duì)值的意義. 因?yàn)閍、b、c是非零有理數(shù)，可以為正也可以負(fù)，所以它們的絕對(duì)值有兩種情況，或者是它們的本身，或者是它們的相反數(shù). 此題可分為以下四種情況求值.

當(dāng)a、b、c的絕對(duì)值都取本身時(shí)，原式=3.

當(dāng)a、b、c的絕對(duì)值有兩個(gè)取本身時(shí)，原式=1.

當(dāng)a、b、c的絕對(duì)值有一個(gè)取本身時(shí)，原式=-1.

當(dāng)a、b、c的絕對(duì)值都取相反數(shù)時(shí)，原式=-3.

例2 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖1所示，化簡(jiǎn)c-b+a-c+b-c.

【解答】此題的難點(diǎn)是對(duì)c-b的化簡(jiǎn)，可用兩種方法化簡(jiǎn).

方法一：由數(shù)軸可知c

方法二：c-b可看做數(shù)軸上表示c、b的兩點(diǎn)間的距離，因此c-b=b-c=b-c.原式=b-c+a-c+b-c=a+2b-3c.

【說(shuō)明】通過(guò)對(duì)上述例題的延伸與拓展，使同學(xué)們?cè)诓粩嗟囊?、轉(zhuǎn)換、綜合中更深刻地理解絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)，掌握規(guī)律，培養(yǎng)舉一反三、觸類(lèi)旁通的能力.

題目2 （蘇科版（數(shù)學(xué)）七年級(jí)上冊(cè)P38例7）巡道員沿一條東西向的鐵路進(jìn)行巡視維護(hù).他從住地出發(fā)，先向東走了7 km，休息之后又向東走了3 km，然后折返向西走11.5km.此時(shí)他在住地的什么方向？與住地的距離是多少？

【簡(jiǎn)解】將鐵路看成數(shù)軸，巡道員的住地看成原點(diǎn)，規(guī)定向東為正，根據(jù)題意，可得（+7）+（+3）+（-11.5）=-1.5，所以此時(shí)他在住地的西邊，離住地1.5 km.

本題從生活情境出發(fā)，提出問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)軸將形和數(shù)結(jié)合，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，輕松求出結(jié)果，同時(shí)讓同學(xué)們感受有理數(shù)運(yùn)算法則的合理性.此例題給我們提供了用數(shù)形結(jié)合來(lái)解題的范例.數(shù)軸在數(shù)與形之間起著中轉(zhuǎn)站的作用，它是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要工具.它是數(shù)和形結(jié)合的起點(diǎn)，不僅使數(shù)與直線上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而且還揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系.對(duì)于某些代數(shù)問(wèn)題，若能靈活運(yùn)用數(shù)軸這個(gè)工具，不僅能化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，而且解法直觀、明快.下面從幾道例題來(lái)談?wù)剶?shù)軸在代數(shù)問(wèn)題中的妙用：

1.運(yùn)用數(shù)軸進(jìn)行有理數(shù)大小的比較

例3 已知a>0，b<0，且b>a，試比較a、-a、b、-b的大小.

【分析】若直接比較上述4個(gè)數(shù)的大小有一定的難度；若把它們?cè)跀?shù)軸上表示出來(lái)，利用數(shù)軸的直觀性，它們的大小關(guān)系將一目了然.

【解答】∵a>0，b<0，

∴在數(shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的右邊和左邊.

∵b>a，所以表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于表示數(shù)b的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

∴a、-a、b、-b這4個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的排列順序如圖2所示.觀察數(shù)軸可知b<-a

【說(shuō)明】解決此題時(shí)，要注意數(shù)a表示有理數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是零，不能認(rèn)為數(shù)a一定是正數(shù)，-a一定是負(fù)數(shù).本題巧妙地用數(shù)軸實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合.

2.運(yùn)用數(shù)軸解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例4 一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開(kāi)始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，第3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位，…，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第100次落下時(shí)，落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是 個(gè)單位.

【分析】本題若從“數(shù)”的角度考慮顯然是較為復(fù)雜的，其中涉及方向和距離，而數(shù)軸恰好是刻畫(huà)方向和距離的最有用的工具，因此可以將這個(gè)跳蚤跳動(dòng)的次數(shù)與位置借助數(shù)軸表示，從而解決問(wèn)題.

【解答】將這個(gè)跳蚤跳動(dòng)的次數(shù)與位置借助數(shù)軸來(lái)表示（如圖3所示），以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)向右為正方向.第1次向右跳1個(gè)單位，其位置表示的數(shù)為1；緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，其位置表示的數(shù)為

-1；第3次向右跳3個(gè)單位，其位置表示的數(shù)為2；第4次向左跳4個(gè)單位，其位置表示的數(shù)為-2.依此規(guī)律跳下去，第6次，第8次，其位置表示的數(shù)為-3，-4.第100次跳后落下，其位置表示的數(shù)為-50，故此時(shí)落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是50個(gè)單位.

【說(shuō)明】借助數(shù)軸，將跳蚤的落點(diǎn)分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示，可巧妙地求出跳蚤跳第n次落地時(shí)，落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離.

波利亞說(shuō)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是習(xí)題教學(xué).”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要注重發(fā)揮教材中例題的作用，學(xué)會(huì)通過(guò)適量的習(xí)題拓展，達(dá)到最大限度的提升，這對(duì)同學(xué)們理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、發(fā)展智力都是至關(guān)重要的.