“有理數(shù)”學(xué)習(xí)中常見(jiàn)錯(cuò)誤辨析

有理數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是中考必考的內(nèi)容.從小學(xué)到中學(xué)，由于同學(xué)們認(rèn)識(shí)的數(shù)與所學(xué)的知識(shí)發(fā)生“錯(cuò)位”，造成同學(xué)們?cè)诔鯇W(xué)時(shí)錯(cuò)誤百出，學(xué)習(xí)困難.下面列舉一些常見(jiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)同學(xué)們引以為戒.

一、 基本概念理解不到位，造成答題錯(cuò)誤

例1 在下列實(shí)數(shù)中，

是分?jǐn)?shù).

-8，5.23，■，0，■，+3，0.3

【錯(cuò)誤解答】5.23，■，■.

【錯(cuò)解成因】對(duì)分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠，看到小數(shù)和分?jǐn)?shù)形式的數(shù)就認(rèn)為是有理數(shù).

【正確解答】5.23，■，0.3.

【方法規(guī)律】小數(shù)有有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)三類(lèi).對(duì)于任意有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，如0.3=■，它是分?jǐn)?shù)；而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，所以無(wú)限不循環(huán)小數(shù)就不是有理數(shù)，如■，表面上是分?jǐn)?shù)的形式，但實(shí)際上，■也是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不是分?jǐn)?shù).

例2 如果-a=-a，下列成立的是 （ ）.

A.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a≥0

【錯(cuò)誤解答】A.

【錯(cuò)解成因】忽視了a=0這一結(jié)論.

【正確解答】B.

【方法規(guī)律】由a=a或a=-a成立，確定a的取值范圍時(shí)，往往只考慮到a>0或a<0，而忽視了a=0這一結(jié)論.此題也可以根據(jù)a≥0，得-a≥0，從而a≤0.

例3 以下計(jì)算中：①（-3）4=-81；②■5=■=■；③-（-2）4=-16；④-■=-■.其中正確的有（ ）.

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

【錯(cuò)誤解答】D.

【錯(cuò)解成因】①、②兩個(gè)計(jì)算的底數(shù)判斷不清，造成運(yùn)算錯(cuò)誤.

【正確解答】B.

【方法規(guī)律】正確理解乘方的意義和識(shí)別底數(shù)是計(jì)算乘方的關(guān)鍵.同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)要注意（-3）4與-34，■5與■意義的不同.

二、運(yùn)算法則掌握不到位，造成計(jì)算錯(cuò)誤

例4 計(jì)算：-12×■-■-1.

【錯(cuò)誤解答】解：原式=-12×■-12×■-1=-9-2-1=-12.

【錯(cuò)解成因】運(yùn)用乘法分配律運(yùn)算時(shí)，常常會(huì)漏乘其中的某一個(gè)加數(shù)或者弄錯(cuò)符號(hào).

【正確解答】解：原式=-12×■+（-12）×-■+（-12）×（-1）=-9+2+12=5.

【方法規(guī)律】運(yùn)用乘法分配律計(jì)算時(shí)，可以把括號(hào)里的內(nèi)容理解為省略加號(hào)和括號(hào)的和，然后把-12與括號(hào)的各個(gè)加數(shù)分別相乘，再把所得的積相加.

例5 計(jì)算-■÷■-■.

【錯(cuò)誤解答】解：原式-■÷■--■÷■=-1+■=■.

【錯(cuò)解成因】錯(cuò)誤地運(yùn)用運(yùn)算律.

【正確解答】解：原式-■÷■-■=-■÷■=-■×■=-3.

【方法規(guī)律】乘法分配律可以推廣到除法中.當(dāng)被除數(shù)是“和”的形式時(shí)，可以把除數(shù)分配給“和”中的每一個(gè)數(shù)；當(dāng)除數(shù)是“和”的形式時(shí)，則不能把被除數(shù)分配給“和”中的每一個(gè)數(shù).本題的正確的解法是先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

三、其他錯(cuò)誤

例6 若abc<0，試求■+■+■的所有可能值.

【錯(cuò)誤解答】解：因?yàn)閍bc<0，所以a<0，b<0，c<0.所以原式=■+■+■=-1-1-1=-3.

【錯(cuò)解成因】思考問(wèn)題不全面，片面地認(rèn)為abc<0時(shí)，a、b、c全是負(fù)數(shù).

【正確解答】因?yàn)閍bc<0，所以a、b、c的值可分為兩正一負(fù)或三負(fù)兩種情況.

（1）兩正一負(fù)時(shí)，設(shè)a>0，b>0，c<0，則原式=■+■+■=1+1-1=1；

（2）三負(fù)時(shí)，即a<0，b<0，c<0，則 原式=■+■+■=-1-1-1=-3.

綜上所述，■+■+■的值為1或-3.

【方法規(guī)律】正確運(yùn)用分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵.由abc<0可知其中負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，分為一個(gè)負(fù)因數(shù)和三個(gè)負(fù)因數(shù)的兩種情況.另外，由式子■+■+■的特殊性（循環(huán)性），無(wú)論a、b、c中哪個(gè)的值為負(fù)，結(jié)果都是一樣的，所以在計(jì)算時(shí)，我們不用再分a<0、b<0或c<0三種情況來(lái)討論，只要假設(shè)其中的一種情況即可.

從上面的錯(cuò)誤解析中可以看出，同學(xué)們要學(xué)好有理數(shù)這個(gè)單元的內(nèi)容，必須真正理解有理數(shù)中各個(gè)概念的外延和內(nèi)涵，對(duì)于計(jì)算題先要理清算理再進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于一些特殊的問(wèn)題要學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想來(lái)解決問(wèn)題.