“絕對值”絕對巧妙

絕對值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如果用常規(guī)的方法做會(huì)比較繁瑣，而運(yùn)用絕對值的幾何意義解題，很形象直觀，往往能取得事半功倍的效果.絕對值的幾何意義可以借助數(shù)軸來加以認(rèn)識(shí).我們知道a的幾何意義是：數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.例如-3表示數(shù)軸上-3表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.a-b的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a、b的兩點(diǎn)的距離.例如x-3表示數(shù)軸上數(shù)x表示的點(diǎn)A到3表示的點(diǎn)B的距離，即x-3=線段AB的長 .（如圖1）

下面我們就來學(xué)習(xí)如何用絕對值的幾何意義解決一些比較“奇妙”的最值問題.

例1 已知x是有理數(shù).

（1）求x-2+x+1的最小值；

（2）求x-2-x+1的最大值和最小值.

解：我們把數(shù)軸上表示x的點(diǎn)記為P. 由絕對值的幾何意義知：

x-2表示P點(diǎn)到數(shù)2表示的點(diǎn)的距離（線段PB的長）；

x+1表示P點(diǎn)到數(shù)-1表示的點(diǎn)的距離（線段PA的長）.

（1）x-2+x+1表示P點(diǎn)到表示數(shù)2和-1兩點(diǎn)的距離的和，要使和最小，則這點(diǎn)必在-1～2之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）取值（如圖2所示）.

故x-2+x+1的最小值為3.

（2）x-2-x+1可以看做PB-PA的長.

① 當(dāng)P在-1左邊時(shí)其差恒為3；

② 當(dāng)P在-1右邊以及2左邊時(shí)，其差在-3～3之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）；

③ 當(dāng)P在2右邊時(shí)其差恒為-3.

因此，x-2-x+1的最大值和最小值分別為3和-3.

上面的例1我們通過絕對值的幾何意義把原本需要對絕對值分段化簡再求最值的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何中的線段計(jì)算問題，解法簡捷、巧妙.

我們再用這種簡捷巧妙的方法來解決下面的問題，看看有沒有6KkqNDazpMPOHHyzuchQEA==新的收獲.

例2 （1）求x-1+x-2+x-3的最小值.

（2）求x-1+x-2+x-3+x-4的最小值.

解：（1）由絕對值的幾何意義知，x-1，x-2，x-3分別表示x到1，x到2，x到3的距離.由例1（1）的分析知，

x-1+x-3是在x處于1和3之間即當(dāng)1≤x≤3時(shí)有最小值2.

又當(dāng)x=2時(shí)x-2取最小值0，且2在1和3之間.

所以當(dāng)x=2時(shí)，x-1+x-2+x-3有最小值2.

（2）根據(jù)絕對值的幾何意義知，

x-1，x-2，x-3，x-4分別表示x到1，x到2，x到3，x到4的距離.

由例1（1）的分析知，x-1+x-4是在1≤x≤4之間有最小值3.

x-2+x-3是在2≤x≤3之間有最小值1.

所以x-1+x-2+x-3+x-4是在2≤x≤3之間有最小值4.

根據(jù)例2的兩個(gè)小題，我們試著去思考，如果求x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的最小值呢？求x-1+x-2+x-3+…+x-n（n為正整數(shù)）的最小值呢？

我們來看下面的這個(gè)題.

例3 （2004·煙臺(tái)）先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的n（n>1）臺(tái)機(jī)床工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站P，使這n臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小.要解決這個(gè)問題先“退”到比較簡單的情形.

如圖4，如果直線上有2臺(tái)機(jī)床時(shí)，很明顯設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵宜叩木嚯x之和等于A1到A2的距離.

如圖5，如果直線上有3臺(tái)機(jī)床時(shí)，不難判斷，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A2處最合適，因?yàn)槿绻鸓不放在A2處，甲和丙所走的距離之和恰好是A1到A3的距離，可是乙還得走從A2到P的這一段，這是多出來的，因此P放在A2處是最佳選擇.

不難知道，如果直線上有4臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方，有5臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)位置.問題：

（1）有n臺(tái)機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處？

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求x-1+x-2+x-3+…+x-617的最小值.

解：當(dāng)只有2臺(tái)機(jī)床時(shí)，可以看做例1（1）的情況；當(dāng)有3臺(tái)機(jī)床時(shí)，可以看做例2（1）的情況；當(dāng)有4臺(tái)機(jī)床時(shí)，可以看做例2（2）的情況.可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)臺(tái)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，獲得最小值的情況是不一樣的：當(dāng)臺(tái)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，P設(shè)在最中間的兩臺(tái)之間的任何地方；當(dāng)臺(tái)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，P設(shè)在最中間的那臺(tái)的位置.根據(jù)以上分析來解這題.

（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第■臺(tái)和（■+1）臺(tái)之間的任何地方；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第■臺(tái)的位置.

（2）根據(jù)絕對值的幾何意義，求x-1+x-2+…+x-617的最小值就是在數(shù)軸上找出表示x的點(diǎn)，使它到表示1，2，…，617各點(diǎn)的距離之和最小.

根據(jù)問題1的結(jié)論，當(dāng)x=309時(shí)，原式的值最小，最小值是95172.

從剛才這道中考題我們可以有很多收獲.首先它給了我們一個(gè)研究數(shù)學(xué)問題的方法，那就是從特殊到一般的數(shù)學(xué)思考方法，通過開始的特例進(jìn)行演繹，然后歸納到一般情況；第二就是要學(xué)會(huì)分類，不同的情況要有不同的說明.通過這題，我們已經(jīng)可以解決例2中思考的問題.

通過上面幾個(gè)例題的講解，我們知道絕對值的幾何意義的運(yùn)用是一種簡捷、奇妙的方法，應(yīng)當(dāng)充分重視.希望同學(xué)們在解決一些類似的比較復(fù)雜的問題時(shí)，能開闊思路，運(yùn)用絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸直觀形象地分析，這樣往往能取得事半功倍的效果.