“懂而不會(huì)”是指新知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生在課上能聽懂教師講的內(nèi)容，課下卻不會(huì)靈活運(yùn)用。學(xué)生課后“不會(huì)”與諸多因素有關(guān)，如：學(xué)生的原有知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知水平，“懂”的程度，學(xué)生的興趣，做題時(shí)的調(diào)控能力、心態(tài)、環(huán)境、氛圍以及題目的難度等；教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、問題情境創(chuàng)設(shè)的科學(xué)性，教師上課時(shí)的教態(tài)、授課模式、課堂評(píng)價(jià)、教師的期望等。

一、“懂”與“會(huì)”的分析

1.假“懂”

在教師講解過程中，由于某種原因沒聽或沒聽懂，教師問“懂了嗎”，迫于面子說“懂”了；周圍的同學(xué)懂了，自己不懂也裝“懂”；教師講了多次后還是稀里糊涂，聽得不耐煩了，為了繼續(xù)下面的內(nèi)容，就說“懂”了；下課了，教師為完成教學(xué)任務(wù)還在講，為了早點(diǎn)出去活動(dòng)，敷衍說“懂”了。以上的“懂”都是不懂裝“懂”，是假“懂”，均屬情感、態(tài)度因素。

2.真“懂”

初級(jí)層次的懂：對(duì)教師講的內(nèi)容直接感知。如看到數(shù)列1，2，4，8，就知道這一數(shù)列是等比數(shù)列。

中級(jí)層次的懂：對(duì)文字所承載的信息有所洞悉。如能將等比數(shù)列的文字型定義“如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)（不為零），這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列”轉(zhuǎn)化為符號(hào)定義“若數(shù)列{an}滿足■=q（an≠0，q≠0，n∈N*），這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列”。

較高層次的懂：對(duì)所表述的內(nèi)容背后的本質(zhì)有所了解。如看到遞推關(guān)系an+12=anan+2（an≠0），也知道該數(shù)列是一等比數(shù)列。

高層次的懂：明白數(shù)學(xué)思維方法。如學(xué)習(xí)等比數(shù)列的定義、性質(zhì)時(shí)類比等差數(shù)列的定義、性質(zhì)，進(jìn)而還想探究是否存在等和數(shù)列、等商數(shù)列。

3.“會(huì)”的分析

“懂”具有內(nèi)隱性，屬于心理范疇，教師可通過學(xué)生的眼神、表情、動(dòng)作來觀察、感知?！皶?huì)”具有外顯性，即“會(huì)”是以“會(huì)說”、“會(huì)認(rèn)”、“會(huì)用”這些外顯動(dòng)作作為標(biāo)志[1]，學(xué)生“懂”，一般需要“會(huì)”間接體現(xiàn)，否則，無法判斷?！皶?huì)說”、“會(huì)認(rèn)”、“會(huì)用”的本質(zhì)是“會(huì)思維”，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。

二、“懂而不會(huì)”分析

基于以上分析的進(jìn)一步思考：課上“懂”而課下“不會(huì)”，最重要的原因是課堂，因?yàn)樵谏险n之前，學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)是特定的、保持原態(tài)的，這就需要適宜的外部條件來誘發(fā)、引導(dǎo)，如果沒有適宜的外部條件，學(xué)生不可能主動(dòng)地建構(gòu)，不要說“會(huì)”了，就連“懂”都難以達(dá)到。學(xué)生既然能聽“懂”，說明教師對(duì)知識(shí)的把握沒什么問題，所以，這個(gè)外部條件的關(guān)鍵就是課堂。課堂上沒有運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，將導(dǎo)致學(xué)生的原有知識(shí)未被激活或不太活躍，沒有清晰、穩(wěn)定的原有知識(shí)來聯(lián)結(jié)新知識(shí)，新知識(shí)不牢固，則新知識(shí)與原有知識(shí)的相互作用不充分，產(chǎn)生不了深入的聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移就談不上了，數(shù)學(xué)思維方法的形成更不可能，自然課下就不能靈活運(yùn)用，這樣，“不會(huì)”是必然的。

“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，倒不如說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)”[2]。教師應(yīng)在課堂上以學(xué)生原有知識(shí)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)他們達(dá)到“懂”的高層次——學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維方法，懂得怎樣思考、懂得怎樣分析、懂得怎樣操作，那么學(xué)生“會(huì)說”、“會(huì)認(rèn)”、“會(huì)用”便水到渠成了。

三、解決“懂而不會(huì)”問題的教學(xué)策略

用思維分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)真正“講懂”、“講活”、“講深”；使數(shù)學(xué)思維真正成為可以理解的、可以學(xué)到手的、可以加以推廣應(yīng)用的[3]。以下內(nèi)容的意義在于：如何將數(shù)學(xué)思維方法滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中去，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)“會(huì)”思維。

數(shù)學(xué)教學(xué)按數(shù)學(xué)知識(shí)的類型進(jìn)行分類，一般可分為概念教學(xué)、命題教學(xué)和解題教學(xué)[4]。

1.概念教學(xué)

概念教學(xué)要將概念的形成過程呈現(xiàn)給學(xué)生，在教師的指導(dǎo)下使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為“再創(chuàng)造”過程。那么怎樣將概念這一“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為學(xué)生“火熱的思考”[5]，并將概念教學(xué)變成學(xué)生可把握和操作的活動(dòng)呢？

（1）概念的形成

案例.在學(xué)習(xí)“分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理”時(shí)，設(shè)計(jì)了如下步驟。

第一，給出實(shí)例：從學(xué)生生活中的三個(gè)例子入手，引出這一節(jié)要研究的計(jì)數(shù)問題，并讓學(xué)生利用剛學(xué)過的“歸納推理”的知識(shí)來體會(huì)、辨認(rèn)三個(gè)例子的共同點(diǎn)。設(shè)置三個(gè)或三個(gè)以上的問題，這樣學(xué)生容易找到規(guī)律。

問題① 某學(xué)校食堂備有素菜5種，葷菜3種，隨機(jī)抽樣調(diào)查一種菜的衛(wèi)生狀況，共有多少種不同的抽樣結(jié)果？

問題② 某家庭欲在“五一”期間從甲地去乙地進(jìn)行自助旅游，一天中有火車3班，汽車2班，那么這個(gè)家庭一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地有多少種不同的走法？

問題③ 用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的號(hào)碼？

這三個(gè)例子的共同特征是什么？他們又是怎么計(jì)算的？試著歸納總結(jié)出一般結(jié)論。

第二，觀察共性：讓學(xué)生抽取這三個(gè)例子的共性假設(shè)，并依據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)每一個(gè)例子。

第三，抽象本質(zhì)：由學(xué)生通過比較、分析、概括、歸納而得出一個(gè)一般模式，檢驗(yàn)每一個(gè)例子是否都屬于這一模式。

第四，形成定義：給出分類加法計(jì)數(shù)原理的定義，并由師生共同分析或推廣等。

問題④ 如果完成一件事情有三類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，則完成這件事共有多少種不同的方法？推廣：若完成一件事情有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？

第五，強(qiáng)化概念：舉出正、反例或變式強(qiáng)化概念，弄清該概念的內(nèi)涵和外延。

問題⑤ 問題②中，該家庭出發(fā)前又聽說丙地也是旅游勝地，于是改變行程，先從甲地到乙地，再從乙地到丙地，已知從乙地到丙地一天中有飛機(jī)2班，輪船2班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

問題⑥ 問題⑤和問題②有什么不同？試著類比分類加法計(jì)數(shù)原理歸納總結(jié)出分步乘法計(jì)數(shù)原理。

問題⑦ 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有什么異同？請(qǐng)舉例說明。

第六，形成概念體系：以實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生比較兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的不同，從而使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理時(shí)，加深對(duì)使用條件的理解和把握。新概念的形成要對(duì)學(xué)生原認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)充、改組，使概念得到精確分化和有機(jī)整合，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣才能使新概念得以鞏固。

數(shù)學(xué)概念抽象于現(xiàn)實(shí)生活，又高于現(xiàn)實(shí)，需要學(xué)生主動(dòng)地建構(gòu)，在概念的形成中應(yīng)用分析、歸納、歸類、類比、“去情景化”，將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化，抽象出其本質(zhì)特征。

（2）概念的同化

教是為了學(xué)，教法必須以學(xué)法為依據(jù)，教法應(yīng)回歸到學(xué)習(xí)理論中去尋找依據(jù)。奧蘇貝爾提出的有意義學(xué)習(xí)的心理機(jī)制是同化，概念同化的本質(zhì)是利用已掌握的概念來獲取新概念。如學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念時(shí)，利用學(xué)習(xí)過的指數(shù)概念ab=N，則b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN（這里a>0且a≠1）。

同化產(chǎn)生的條件：一是在客觀上，學(xué)習(xí)材料本身具有邏輯意義，所謂具有邏輯意義是指所學(xué)的新概念應(yīng)與學(xué)生已有的概念建立“非人為”和“實(shí)質(zhì)性”的聯(lián)系。如sin（x+y）=sinx+siny將與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“分配律”不合事實(shí)地聯(lián)系起來，使概念間產(chǎn)生了“人為”的聯(lián)系。二是在主觀上，學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中應(yīng)具有可以用來同化新知識(shí)的適當(dāng)觀念（包括有關(guān)的概念、命題、表象和有意義的符號(hào)），學(xué)習(xí)者還必須具備有意義學(xué)習(xí)的心向，讓個(gè)人的認(rèn)知積極參與教學(xué)活動(dòng)，表現(xiàn)為積極主動(dòng)地把新知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)知識(shí)加以聯(lián)系的傾向性。

2.命題教學(xué)

命題學(xué)習(xí)也稱規(guī)則學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)中的命題，包括公理、定理、公式、法則、數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)等。數(shù)學(xué)命題由概念組合而成，反映了數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系[4]。（1）上位關(guān)系：在個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)形成了一些觀念的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)一個(gè)包含程度更高的命題的學(xué)習(xí)形式為上位學(xué)習(xí)。例如，學(xué)習(xí)了函數(shù)的內(nèi)容，再學(xué)習(xí)映射，因?yàn)楹瘮?shù)是一種特殊的映射，這就是上位學(xué)習(xí)。（2）下位關(guān)系：當(dāng)原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念包含或概括水平高于新學(xué)習(xí)的命題，這種學(xué)習(xí)為下位學(xué)習(xí)。例如，學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)，學(xué)生頭腦中已有函數(shù)的知識(shí)，利用函數(shù)的有關(guān)命題來學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的有關(guān)命題是下位學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)新命題時(shí)，通過下位學(xué)習(xí)獲得比上位學(xué)習(xí)獲得更省時(shí)省力，并且易于保持。因此在適當(dāng)?shù)拿}學(xué)習(xí)中，盡可能地先回顧包含性強(qiáng)的、概括性廣的命題，然后再逐漸分化。（3）并列關(guān)系：若新學(xué)習(xí)的命題與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)具有一定的聯(lián)系，但不是上位關(guān)系，也不是下位關(guān)系，則稱這種新命題的學(xué)習(xí)為并列學(xué)習(xí)。例如，學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的有關(guān)命題，再學(xué)習(xí)等比數(shù)列的有關(guān)命題就是一種并列學(xué)習(xí)。新舊知識(shí)的內(nèi)容由淺入深、由易到難，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新舊命題的區(qū)別和聯(lián)系，在比較中加以整合。

利用上述命題間的關(guān)系將有效地促進(jìn)知識(shí)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重新整合，建立“先行組織者”，使學(xué)生的知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，提高對(duì)新命題學(xué)習(xí)的效率。

3.解題教學(xué)

我們在教學(xué)中常常見到以下情形：不會(huì)數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)生念一遍題后，采用某一個(gè)途徑就動(dòng)手寫，一股勁地往下寫，他也不知為什么這樣寫、這樣寫是否有利于問題的解決，也不對(duì)自己寫的“回頭看”或進(jìn)行調(diào)整，寫了一大堆，直至陷入困境，最后放棄。會(huì)數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)生雖然對(duì)內(nèi)容不太熟悉或題較難，從而也是“摸著石頭過河”地往下寫，盡管有些寫的不對(duì)或走了彎路，但是沒有一股勁地一直做，而是“回頭看”并對(duì)自己寫的進(jìn)行調(diào)整，雖然解題不是很順利，但是能達(dá)到良好的效果，也很有成就感。兩類學(xué)生有這么大反差的重要原因就在于對(duì)解題過程的深入分析和對(duì)思維的自我調(diào)控。所以，課堂上應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)“懂”對(duì)思維的自我監(jiān)督、調(diào)控，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成以下解題習(xí)慣。

（1）審題：①哪些是已知的和未知的。②思考題目中符號(hào)、術(shù)語、限制條件的含義與作用。③在需要或可能的情況下，畫出圖形，在圖中標(biāo)出已知條件和未知元素，有助于簡化條件，對(duì)題目的情景有一個(gè)直觀、清晰的了解。

（2）擬定計(jì)劃：①整體感知，聯(lián)系原有認(rèn)知。以前見過這個(gè)題目嗎？遇到過類似（條件類似、結(jié)論類似、圖形類似）的題目嗎？見過與之有關(guān)的題目嗎？（能利用它的某個(gè)部分嗎？能利用它的條件嗎？能利用結(jié)論嗎？）②圍繞目標(biāo)，展開聯(lián)想。用什么方法能達(dá)到目標(biāo)？達(dá)到目標(biāo)的前提是什么？怎么才能實(shí)現(xiàn)這一前提？③檢查途徑，及時(shí)修正。解了幾步“回頭看”，所得的結(jié)果與題目的目標(biāo)是否有聯(lián)系？形式是否接近？④分解條件，重新組合。對(duì)條件適當(dāng)分解或變形，重新組合，增強(qiáng)對(duì)條件的理解。⑤回歸定義，重新思考。⑥局部思考，各個(gè)擊破。從題目中的某一個(gè)較容易入手的條件出發(fā)，經(jīng)過計(jì)算、變形、推理后，再聯(lián)系其他已知條件，有新的進(jìn)展嗎？⑦重新敘述，引入輔助元素。你能不能用自己的語言重新敘述題目？試一試引入某些輔助元素？⑧將題目中某部分的極端情形進(jìn)行研究，對(duì)目標(biāo)有影響嗎？對(duì)這種影響又有怎樣的認(rèn)識(shí)？

（3）執(zhí)行計(jì)劃：從已知出發(fā)，用數(shù)學(xué)語言將未知表述出來，檢查確保每一步正確。

（4）解題反思：對(duì)題目條件的反思，對(duì)題目結(jié)論的反思，對(duì)題型的反思，對(duì)解題方法的反思[6]。

克萊因說過“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度”。通過數(shù)學(xué)教學(xué)，教師在遵循教學(xué)規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律下，以教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況、教學(xué)條件的需要引導(dǎo)學(xué)生明白數(shù)學(xué)思維方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。更進(jìn)一步應(yīng)該思考的問題：我們是否應(yīng)當(dāng)要求每個(gè)學(xué)生更高的努力方向——由“數(shù)學(xué)地思維”到“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，這不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的要求，也是數(shù)學(xué)教育的價(jià)值所在，更是“懂而會(huì)”的極致。

參考文獻(xiàn)

[1] 王光明，楊蕊.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“懂而不會(huì)”現(xiàn)象.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（10）.

[2] 曹才翰，蔡金法.數(shù)學(xué)教育學(xué)概論.南京：江蘇教育出版社，1989.

[3] 鄭毓信.走進(jìn)數(shù)學(xué)思維（四）：數(shù)學(xué)思維的教學(xué).小學(xué)數(shù)學(xué)，2008（10）.

[4] 喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué).南寧：廣西教育出版社，2004.

[5] 張奠宙，王振輝.關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài).數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（2）.

[6] 代欽，斯欽盂克.數(shù)學(xué)教學(xué)論.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2009.

（責(zé)任編輯 郭振玲）