奇異振蕩現(xiàn)象與多模振蕩現(xiàn)象以及一類新型振蕩器的研究*

于紅兵，陳啟興，張金華

(成都信息工程學(xué)院通信工程系，成都610225)

文獻(xiàn)［1-2］對反饋型正弦波振蕩器的起振條件提出了一種新見解。由于起振問題是線性電路在零激勵(lì)條件下的本征問題，因而應(yīng)采用線性微分方程的理論方式處理起振過程，得到普適的電路起振判據(jù):存在復(fù)數(shù)s0，使復(fù)頻域中的環(huán)路增益T(s0)=1，Re(s0)＞0，且lm(s0)≠0。(s0正是微分方程通解所涉及的特征根，而T(s0)=1是特征方程，以上條件說明特征根在右半平面。)并指出在接近平衡態(tài)時(shí)，電路起振的充分必要條件可以表達(dá)為相量形式，即以下(A)(B)兩組條件之一得到滿足:

式中φT(ω)是T(jω)的幅角。文獻(xiàn)［2］根據(jù)普適的電路起振判據(jù)，詳細(xì)討論了文氏電橋振蕩器及變壓器耦合振蕩器中滿足起振條件的元件參數(shù)范圍，證實(shí)了這種復(fù)頻域分析法對于判斷電路能否起振具有很好的全域預(yù)測能力。文獻(xiàn)［1］指出，用相量法分析，現(xiàn)有的常規(guī)振蕩器能夠滿足T(jω1)＞1，且?φT(ω)/?ω|ω=ω1＜0，這兩條合在一起，才使電路可以起振。相量法的恰當(dāng)應(yīng)用與新電路設(shè)計(jì)的范例見文獻(xiàn)［3］。

本文將在以上工作的基礎(chǔ)上，探討電路起振時(shí)相量形式環(huán)路增益的可能變化形式，并辨析由此導(dǎo)致的電路不同終態(tài)。與此相伴的，是對振蕩現(xiàn)象和振蕩器工作機(jī)制的完整細(xì)分，和對相量法分析工具的適用性及其簡便而合理的應(yīng)用方式的新認(rèn)識(shí)。

1 近平衡態(tài)起振的延拓與振蕩現(xiàn)象

以T(jω1)略大于1的近平衡態(tài)起振時(shí)，特征根在右半平面內(nèi)接近于虛軸。如果改變元件參數(shù)使T(jω1)逐漸變得更大，特征根將漸漸遠(yuǎn)離虛軸。當(dāng)特征根最后落在右半實(shí)軸時(shí)，電路不再能夠起振。對于T(jω1)小于1的情況也有類似分析。所以對于每個(gè)具體電路，能夠起振的T(jω1)取值范圍(可以稱為“有效起振區(qū)間”)有可能是從1(不包括1)向右延拓至某個(gè)大于1的實(shí)數(shù)(不包括這個(gè)數(shù)本身);也有可能是從1(不包括1)向左延拓至某個(gè)小于1的實(shí)數(shù)(不包括這個(gè)數(shù)本身)。

以式(1)中的(B)組條件實(shí)現(xiàn)近平衡態(tài)起振時(shí)，至少是實(shí)現(xiàn)了T(jω1)＜1的起振。在這種情況下，它還有進(jìn)一步向左延拓至負(fù)數(shù)的可能，從而實(shí)現(xiàn)T(jω1)為負(fù)值的起振!

總的來說，根據(jù)式(1)的(A)或(B)兩組相量形式的起振條件，可以確知“有效起振區(qū)間”的下限或上限為“1”。

電路最終能否實(shí)現(xiàn)平衡振蕩，則是另外一個(gè)問題。平 衡 條 件 為T(jω1)=1［4-6］，只 是 式 中的T(jω1)是當(dāng)信號(hào)X(t)逐漸增大后因元件參數(shù)改變而得到的相應(yīng)值。

電路起振時(shí)如果滿足

為了最終滿足平衡條件T(jω1)=1，則要求?T/?X＜0。具有?T/?X＜0這種特性的電路是常見的(只需內(nèi)穩(wěn)幅即可)［4-6］，所以這種特性可以稱為常規(guī)的非線性特性。

為了最終滿足T(jω1)=1，則要求?T/?X＞0。但是，具有?T/?X＞0這種特性的電路是不常見的，所以這種特性可以稱為非常規(guī)的非線性特性。當(dāng)以的非線性特性時(shí)，電路不能自動(dòng)實(shí)現(xiàn)平衡振蕩。其中發(fā)生的信號(hào)過程應(yīng)當(dāng)是:先產(chǎn)生增幅振蕩，當(dāng)信號(hào)達(dá)到一定強(qiáng)度后，振蕩信號(hào)反而消失。這種信號(hào)過程不同于不能起振的電路中在電路接通后由于電流沖擊而產(chǎn)生的減幅振蕩信號(hào)衰減過程。這種具有新機(jī)制的信號(hào)現(xiàn)象可稱為奇異振蕩現(xiàn)象，相應(yīng)的電路稱為奇異振蕩電路。

2 不同類型電路的起振條件分析

以下各電路均為最簡形式的交流通路，以突出本質(zhì)內(nèi)容。在每種情況下所列舉的電路個(gè)數(shù)以能夠說明問題為限(T(jω1)大于1的起振是為了對比討論而寫下的)。以下每種情況都有更多的電路實(shí)例沒有例舉。本文中這些電路設(shè)計(jì)出來，主要目的在于有對比性地、系統(tǒng)性地對理論分析的各種可能性加以驗(yàn)證，但這并不妨礙其可能的實(shí)用價(jià)值。

2.1 T(jω1)大于1的起振

考慮圖1所示電路。

復(fù)頻域的環(huán)路增益

起振條件為

圖1 T(jω1)大于1起振的電路

相量形式的環(huán)路增益為

只要Ai比1+Ri/RL略大一些，就能滿足近平衡態(tài)起振的(A)組要求，從而使電路起振。T(jω1)的“有效

2.2 T(jω1)小于1的起振

2.2.1T(jω1)小于1而起振的電路例1考慮圖2所示電路。復(fù)頻域的環(huán)路增益為

圖2 T(jω1)小于1起振的電路之例1

起振條件為

相量形式的環(huán)路增益為

以上過程通過遞進(jìn)推算確定T(j(ω1+Δω))所在的象限，以此確定了符號(hào)，這種方法可以稱為判斷符號(hào)的象限法，又可稱為平衡態(tài)偏離法(即考查由于頻率的偏離Δω所導(dǎo)致的T(jω)的偏離情況)。

只要Ai比1+Ri/RL略小一些，就能滿足近平衡態(tài)起振的(B)組要求，從而使電路起振。T(jω1)的“有效起振區(qū)間”是

2.2.2T(jω1)小于1而起振的電路例2

考慮圖3所示電路。復(fù)頻域的環(huán)路增益為

起振條件為

圖3 T(jω1)小于1起振的電路之例2

相量形式的環(huán)路增益為

2.2.3T(jω1)小于1而起振的電路例3

考慮圖4所示電路。復(fù)頻域的環(huán)路增益為起振條件為

圖4 T(jω1)小于1起振的電路之例3

相量形式的環(huán)路增益為

2.3 可以將T(jω1)延拓為負(fù)數(shù)的起振

2.3.1 可以將T(jω1)延拓為負(fù)數(shù)的起振例1

考慮圖5所示電路。復(fù)頻域的環(huán)路增益為

起振條件為

圖5 可以將T(jω1)延拓為負(fù)的起振電路之例1

相量形式的環(huán)路增益為

T(jω1)的“有效起振區(qū)間”是。具體說來，當(dāng)Av的值大于而小于時(shí)，滿足起振要求的R2/R1都是小于2的，電路只能以T(jω1)小于1的正數(shù)而起振;當(dāng)Av的值大于時(shí)，通過改變T(jω1)可以為正或?yàn)樨?fù)。其細(xì)分情況如下:滿足時(shí)，電路仍是以T(jω)小于1的1正數(shù)而起振的;但時(shí)，電路是以T(jω1)為負(fù)數(shù)的情況而起振的。這時(shí)實(shí)現(xiàn)的是負(fù)反饋條件下的起振。

2.3.2 可以將T(jω1)延拓為負(fù)數(shù)的起振例2

考慮圖6所示電路。復(fù)頻域的環(huán)路增益為

起振條件為

圖6 可以將T(jω1)延拓為負(fù)的起振電路之例2

相量形式的環(huán)路增益為

v只是比稍小一點(diǎn)，保證T(jω1)＞0，這時(shí)應(yīng)用象限法，可知0。因而滿足近平衡態(tài)起振的(B)組要求，使電路起振。但還需考慮的是，根據(jù)復(fù)頻域分析的結(jié)果，再慮及，因此要求1， 所 以Av的 取 值 必 須 大 于時(shí)才有可能起振。

T(jω1)的 “有 效 起 振 區(qū) 間 ” 是。具體說來，如果Av的值大于而小于，滿足起振要求的R2/R1都是小于R4/R3的，電路只能以T(jω1)小于1的正數(shù)而起振;如果Av的值大于，通過改變可以為正或?yàn)樨?fù)。其細(xì)分情況如下:滿足時(shí)，電路仍是以T(jω1)小于 1的正數(shù)而起振的;但時(shí)，電路是以T(jω1)為負(fù)數(shù)的情況而起振的。

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容總結(jié)

為了全面地實(shí)現(xiàn)以上各個(gè)電路中可能獲得的信號(hào)現(xiàn)象，并取得較大的元件參數(shù)變化范圍，同時(shí)也為了排除次生現(xiàn)象的無謂干擾，對定量關(guān)系做出精確的驗(yàn)證，可以用仿真軟件Multisim中的理想元件直接接成近乎理想的電路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。由于這樣接出的電路中不含直流源，為獲得引入微小的擾動(dòng)，可以在電路中接入適當(dāng)?shù)脑肼曉椿蛭⑿〉膯蚊}沖源。大量的仿真實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象、數(shù)據(jù)及其解釋歸納如下:

(1)起振條件的相對誤差在104量級(jí)。由于理想線性元件不存在非線性效應(yīng)，起振后信號(hào)將無限增加，只會(huì)在仿真過程的數(shù)值超出運(yùn)算數(shù)值的極限時(shí)終止。

與文獻(xiàn)［2］中的討論類似，遠(yuǎn)離平衡態(tài)起振時(shí)信號(hào)振幅增長很快。這是由于相應(yīng)特征根的實(shí)部較大而虛部較小所導(dǎo)致的，但在這種情況下起振時(shí)信號(hào)從微小擾動(dòng)開始變大的模式仍為增幅振蕩形式，表現(xiàn)為雙向波動(dòng)，而與實(shí)指數(shù)增長的單向增長不同。

(2)可以通過將圖7所示的等效非線性電阻并聯(lián)接入電路中的不同位置，使整個(gè)電路具備?T/?X＜0或?T/?X＞0的非線性特性，從而獲得信號(hào)過程的不同終態(tài)。具體情況是:對圖1所示電路，如果等效非線性電阻并聯(lián)在RL上，通過調(diào)整RA的值，信號(hào)的終態(tài)可以達(dá)到平衡振蕩。原因在于，起振后隨著信號(hào)的增加，并聯(lián)了非線性電阻的等效RL減小，T(jω1)由起振時(shí)的大于1最終減小到1。如果等效非線性電阻并聯(lián)在Ri上，并排除其他器件的非線性特性的影響，信號(hào)將成為奇異振蕩(見圖8)。原因在于，起振后隨著信號(hào)的增加，并聯(lián)了非線性電阻的等效Ri減小，T(jω1)由起振時(shí)的大于1繼續(xù)增加，無法實(shí)現(xiàn)平衡條件T(jω1)=1。

圖7 等效為非線性電阻的結(jié)構(gòu)

圖8 奇異振蕩現(xiàn)象

對圖2所示電路，如果等效非線性電阻并聯(lián)在Ri上，通過調(diào)整RA的值，信號(hào)的終態(tài)可以達(dá)到平衡振蕩。原因在于，起振后隨著信號(hào)的增加，并聯(lián)了非線性電阻的等效Ri減小，T(jω1)由起振時(shí)的小于1最終增加到1。如果等效非線性電阻并聯(lián)在RL上，信號(hào)將成為奇異振蕩。原因在于，起振后隨著信號(hào)的增加，并聯(lián)了非線性電阻的等效RL減小，T(jω1)由起振時(shí)的小于1繼續(xù)減小，信號(hào)的終態(tài)無法實(shí)現(xiàn)平衡振蕩。

對圖3所示電路，如果等效非線性電阻并聯(lián)在Ri或R上，信號(hào)的終態(tài)可以達(dá)到平衡振蕩。如果等效非線性電阻并聯(lián)在RL上，信號(hào)過程成為奇異振蕩。

對圖4所示電路，如果等效非線性電阻并聯(lián)在R2上，信號(hào)的終態(tài)可以達(dá)到平衡振蕩。如果等效非線性電阻并聯(lián)在R1上，信號(hào)過程成為奇異振蕩。

對圖5所示電路，如果等效非線性電阻并聯(lián)在R2上，信號(hào)的終態(tài)可以達(dá)到平衡振蕩。如果等效非線性電阻并聯(lián)在R1上，信號(hào)過程成為奇異振蕩。

對圖6所示電路，如果等效非線性電阻并聯(lián)在R2或R3上，信號(hào)的終態(tài)可以達(dá)到平衡振蕩。如果等效非線性電阻并聯(lián)在R1或R4上，信號(hào)過程成為奇異振蕩。

(3)對于圖2或圖6所示電路，如果將電路調(diào)整為近平衡態(tài)起振，同時(shí)將電路中的LC串聯(lián)回路替換為圖9所示的LC串并聯(lián)結(jié)構(gòu)，則電路起振時(shí)將存在雙模振蕩現(xiàn)象(見圖10)，而終態(tài)的現(xiàn)象與替換前相同。這是因?yàn)殡娐分性谔帩M足，按文獻(xiàn)［1］的方法來討論，在復(fù)平面上jω1的右邊鄰近處存在特征根s01，電路中相應(yīng)地存在信號(hào)模式es01t;在處同樣也滿足，在復(fù)平面上jω2的右邊鄰近處存在特征根s02，電路中相應(yīng)地存在信號(hào)模式es02t。因而至少在近平衡態(tài)起振時(shí)存在雙模振蕩現(xiàn)象。類似地也可以獲得更多信號(hào)模式的同時(shí)起振現(xiàn)象。

圖9 LC串并聯(lián)結(jié)構(gòu)

即使電路中不含非線性電阻，一般來說各個(gè)模式的信號(hào)也存在著模式競爭的問題，這可以歸咎于相應(yīng)特征根的實(shí)部不同。如果時(shí)間足夠長，將只有實(shí)部最大的特征根對應(yīng)的模式可以觀察到。但如果各支路的電感相同而電容不同，則各個(gè)模式都將一直維持其大小比例，從而保持了單模情況下特征根的實(shí)部與電容無關(guān)的特點(diǎn)。

圖10 起振時(shí)的多模振蕩現(xiàn)象

(4)對圖5和圖6所示兩個(gè)電路(振蕩電路)，每一個(gè)都可以轉(zhuǎn)化為放大電路，而這個(gè)放大電路的增益與原振蕩電路的環(huán)路增益相同。以圖5所示電路為例，轉(zhuǎn)化得到的放大電路如圖11所示。如果將這個(gè)放大電路的輸入端和輸出端相連接，電路又會(huì)變回原來的圖5所示振蕩器。對于圖5所示振蕩器，約束關(guān)系為

所以圖5所示振蕩器環(huán)路增益為

對于圖11所示放大電路

所以圖11所示放大電路增益為

圖11 由圖5轉(zhuǎn)化而來的放大電路

區(qū)別在于，對于振蕩電路，如果T(s0)=1，則es0t模式的信號(hào)可以自主地存在于電路中;而在放大電路中，需要在輸入端加上Aest形式的信號(hào)，使輸出端得到信號(hào)G(s)Aest或T(s)Aest(即使在滿足T(s0)=1的情況下也是如此)。當(dāng)然，如果在輸入端加上Aejωt形式的信號(hào)，輸出端便得到信號(hào)G(jω)Aejωt或T(jω)Aejωt。也就是說，通過將振蕩電路轉(zhuǎn)化為放大電路，再輸入一個(gè)正弦信號(hào)，測量其輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的大小之比與相位差，由此得到放大電路相量形式的增益G(jω)，從而得知對應(yīng)的振蕩電路環(huán)路增益T(jω)?？梢跃痛蓑?yàn)證在不同元件參數(shù)下振蕩電路T(jω)的正負(fù)以及具體數(shù)值。特別有意義的是，對圖5和圖6所示兩個(gè)電路，從理論分析得到的T(jω)的“有效起振區(qū)間”的上界和下界，都可以用這種方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。對于除“1”之外的另一個(gè)界線點(diǎn)，誤差不超過2%(界線點(diǎn)“1”的誤差在10-4)。

4 結(jié)論

用相量形式的分析討論起振問題，本質(zhì)上就是依據(jù)環(huán)路增益在虛軸上jω1處的取值特點(diǎn)來考察特征根的取值特點(diǎn)。作為一種簡便的分析方式，其有效性與局限性在本文中都得到了詳細(xì)闡述，使這種工程上常用但過去并未嚴(yán)格論證的分析方法獲得了恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式，并且提出了用于判斷?φT(ω)/?ω|ω=ω1符號(hào)的象限法，進(jìn)一步簡化了運(yùn)算。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了文獻(xiàn)［1］的理論分析結(jié)論:T(jω1)＞1既不是電路起振的充分條件，也不是電路起振的必要條件;T(jω1)＞1或T(jω1)＜1都能起振，但兩種情況下都需要附加條件(即?φT(ω)/?ω|ω=ω1的符號(hào))的配合。對于單個(gè)電路中的多模振蕩情況(無論頻率高低相差如何)，仍然遵循這一原則。這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成了對于傳統(tǒng)振蕩器理論［4-6］的證偽。

首次提出了電路的奇異振蕩現(xiàn)象，并證實(shí)了它作為一大類振蕩現(xiàn)象而普遍地存在。用相量法討論，電路有兩種獲得奇異振蕩現(xiàn)象的方式:通過具備?φT(ω)/?ω|ω=ω1＞0，T＜1(T的實(shí)際取值為小于 1 的正數(shù)或負(fù)數(shù))，?T/?X＜0的特點(diǎn)而獲得;或通過具備?φT(ω)/?ω|ω=ω1＜0，T＞1，?T/?X＞0 的特點(diǎn)而獲得。反之，電路最終獲得穩(wěn)定振蕩信號(hào)的方式也有兩種:通過具備?φT(ω)/?ω|ω=ω1＜0，T＞1，?T/?X＜0 的特點(diǎn)而獲得;或通過具備?φT(ω)/?ω|ω=ω1＞0，T＜1(T的實(shí)際取值為小于1的正數(shù)或負(fù)數(shù))，?T/?X＞0的特點(diǎn)而獲得。具備前一種特點(diǎn)的振蕩器正是目前常見的振蕩器;而具備后一種特點(diǎn)的振蕩器實(shí)際上成為一類新型振蕩器，稱為非常規(guī)的振蕩器。振蕩現(xiàn)象的豐富性以及各類現(xiàn)象的存在方式的對稱性不應(yīng)該被視為某種出人意料的結(jié)果，而應(yīng)被看成是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摴ぞ邔陀^現(xiàn)象統(tǒng)一性的深入把握。這些豐富的內(nèi)容決不能再用傳統(tǒng)振蕩器理論來分析和理解。

就起振條件的理論分析工具而言，有復(fù)頻域分析方法和相量法形式下的分析，兩者可以相互印證，說明理論是自洽的;多模振蕩的存在，更顯示了相量法形式分析的有效性和方便性;實(shí)驗(yàn)不僅驗(yàn)證了不同條件下振蕩現(xiàn)象的波形的不同，也驗(yàn)證了起振條件所要求的元件取值的準(zhǔn)確范圍，還驗(yàn)證了關(guān)于相量形式環(huán)路增益取值的“有效起振區(qū)間”的存在。

作為文獻(xiàn)［1-3］所開啟的工作方向的深化，本文通過設(shè)計(jì)多個(gè)電路實(shí)例，從中挖掘出豐富的振蕩現(xiàn)象，并發(fā)展出一系列新的概念和處理方法，基本上可以建立起關(guān)于振蕩現(xiàn)象和振蕩器的比較完整的闡釋系統(tǒng)。本文的內(nèi)容，不是對已有理論的修補(bǔ)，而是另起爐灶的新構(gòu)造。

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