2010年，開福區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室成立，首席名師劉友華老師帶著各位成員和學(xué)員展開了不少有意義的教研活動(dòng)。作為工作室學(xué)員之一的我有了更多的聽課研討、培訓(xùn)進(jìn)修的機(jī)會(huì)。記得2010年12月，劉友華老師帶著我參加了在北京召開的“中小學(xué)數(shù)學(xué)教育專項(xiàng)課題”開題論證會(huì)。在這次會(huì)議上，我第一次近距離聆聽史寧中、劉堅(jiān)等知名專家的發(fā)言與講座，同時(shí)有幸認(rèn)識(shí)了北京師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心研究員任景業(yè)老師。在任老師的辦公室里，我們認(rèn)真學(xué)習(xí)了北京一些小學(xué)所做的學(xué)生研究成果，知道了可以從哪些角度研讀學(xué)生，明白了哪些案例是有研究價(jià)值的，理解了發(fā)現(xiàn)問題、研究問題對(duì)于一個(gè)一線教師成長的重要作用。

帶著學(xué)習(xí)收獲和對(duì)未來的期盼回到長沙，我在工作室的帶領(lǐng)下開始一點(diǎn)一滴地進(jìn)行嘗試和研究。我的第一次嘗試是由一道階段測試題開始的。

在2010年秋季的期中測試中，我們四年級(jí)的數(shù)學(xué)試卷里出現(xiàn)了這樣一道填空題：周角=（ ）°。一看到題目，我的心里就咯噔一下。在四年級(jí)上冊(cè)學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了周角的有關(guān)知識(shí)，但是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是在一年以前，也就是三年級(jí)上冊(cè)的時(shí)候?qū)W習(xí)的。而且周角這樣的表現(xiàn)形式，學(xué)生從沒有接觸過，他們能明白這道題的意思？能做出來嗎？在閱卷的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)孩子們做得還不錯(cuò)，比我想象中要好許多。以我所執(zhí)教的班為例，抽查的52份試卷中，有39人回答正確，只有13人回答錯(cuò)誤或不作答。于是，我有了這樣的思考：分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段很抽象、很難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)，很多老師在三年級(jí)、五年級(jí)和六年級(jí)都針對(duì)分?jǐn)?shù)知識(shí)開展了不少的教研活動(dòng)，但是很少有老師從四年級(jí)學(xué)生的角度去了解他們是如何理解分?jǐn)?shù)的。他們現(xiàn)在理解的分?jǐn)?shù)與三年級(jí)剛開始學(xué)習(xí)時(shí)有質(zhì)的飛躍或者新的看法嗎？他們的認(rèn)識(shí)對(duì)后續(xù)的分?jǐn)?shù)單位的學(xué)習(xí)是否有一定的幫助呢？為了解決這些困惑，我通過幾次活動(dòng)開展了關(guān)于分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的教學(xué)調(diào)研，以便更好地了解學(xué)生、讀懂學(xué)生。

我向劉友華老師匯報(bào)了上面的思考，劉老師先是肯定我善于發(fā)現(xiàn)問題，然后建議我通過談話、問卷、活動(dòng)等方式展開一些調(diào)查和研究。于是，我進(jìn)行了下面的測試。

■：陰影部分是整個(gè)圖形的■。

■：白色部分是整個(gè)圖形的■。

■： 每個(gè)小長方形是1，整個(gè)圖形有4個(gè)這樣的小長方形，所以就是■。

■：每個(gè)小長方形是1，白色部分有3個(gè)這樣的小長方形，所以就是■。

■：把整個(gè)圖形豎著平均分成2份，陰影部分占一份里面的一半，所以是■。

■： 白色部分分成3份，陰影部分相當(dāng)于白色部分的一份，所以就是■。

問題2：這張紙中（如下圖），陰影部分占這張紙的幾分之幾？

學(xué)生對(duì)這道題的回答以■、■、■居多。

當(dāng)教師問到如何驗(yàn)證哪個(gè)答案正確的時(shí)候，學(xué)生提出用折紙的方法將紙進(jìn)行平均分，然后看看陰影部分占這張紙的幾分之幾。接著在折紙驗(yàn)證的過程中學(xué)生又有了更多的答案：■、■……

在研究過程中，我欣喜地發(fā)現(xiàn)：原來學(xué)生的觀察能力這么強(qiáng)，每個(gè)學(xué)生幾乎都能從不同的角度觀察圖形，絲毫不受別人的影響，并且能很好地運(yùn)用分?jǐn)?shù)的知識(shí)來表示自己所看到的圖形。在查閱資料的過程中，我還有新發(fā)現(xiàn)：我做的調(diào)研結(jié)果與《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》上杭州市唐采斌老師提供的調(diào)查結(jié)果是吻合的，四年級(jí)的學(xué)生相對(duì)于三年級(jí)、五年級(jí)、六年級(jí)的學(xué)生來說，對(duì)分?jǐn)?shù)單位的選擇更具有靈活性，這些數(shù)據(jù)為我們研究和調(diào)整高年級(jí)分?jǐn)?shù)教學(xué)提供了有力的科學(xué)依據(jù)。

研究結(jié)束后，劉友華老師建議我將研究的過程記錄下來，并且投稿。對(duì)于從來沒發(fā)表過文章的我來說，壓根就沒想過自己的文章能夠發(fā)表。但是，讓我驚喜的是，我根據(jù)這次研究撰寫的《探尋學(xué)生心目中的分?jǐn)?shù)》一文很快就發(fā)表出來。第一次嘗試的成功使我有了更多的研究熱情和動(dòng)力，經(jīng)過多次觀摩學(xué)習(xí)劉友華老師等各位名師的教學(xué)，我慢慢修正自己的常規(guī)課堂教學(xué)，放手讓學(xué)生自己研究問題，學(xué)生之間的交流漸漸成為課堂的一道亮麗風(fēng)景線。

2012年暑假，劉友華老師告訴工作室?guī)孜焕蠋煟ぷ魇覍⒁袚?dān)湖南省“生活數(shù)學(xué)”夏令營五年級(jí)組的策劃組織活動(dòng)。劉友華老師跟我們幾個(gè)老師說了她對(duì)這次活動(dòng)的初步思考和安排后，大家分工協(xié)作完善活動(dòng)方案。我當(dāng)時(shí)提議結(jié)合五年級(jí)的立體圖形知識(shí)，開展“我來設(shè)計(jì)容積最大的無蓋長方體盒子”的動(dòng)手活動(dòng)，現(xiàn)場提供一張長30厘米、寬24厘米的長方形紙片，讓學(xué)生自行制作一個(gè)高為整厘米數(shù)的無蓋長方體盒子，使它的容積最大。我的思考源于五年級(jí)下冊(cè)長方體和正方體知識(shí)的教學(xué)內(nèi)容：一塊長30厘米，寬25厘米的長方形鐵片，從四個(gè)角各切掉一個(gè)邊長為5厘米的正方形，然后做成盒子。這個(gè)盒子用了多少鐵皮？它的容積是多少？在課堂上，因時(shí)間的關(guān)系，我們無法更好地觀察學(xué)生對(duì)這道題的思考情況：平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形是否是學(xué)生的障礙？還有哪些會(huì)是解題的障礙？教師針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙如何提供相應(yīng)的輔導(dǎo)？這個(gè)活動(dòng)可以讓老師更好地觀察分析不同地區(qū)學(xué)生的解題能力。我的議案得到了劉友華老師的贊同，我們商討了具體的實(shí)施方案與措施。

開展活動(dòng)的當(dāng)天，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很快就投入問題的探究活動(dòng)之中。學(xué)生的想法各不相同，即使是同一地區(qū)、同一學(xué)校的學(xué)生都有不同的嘗試方法。

有的學(xué)生一開始就問：紙片剪下的部分能不能再補(bǔ)回圖形當(dāng)中？這樣盒子的容積更大。有的學(xué)生不明白一張紙片如何能制作成無蓋的盒子，就嘗試將長邊和寬邊向上折，發(fā)現(xiàn)要做成盒子必須剪下一些多余的部分，而剪下來的一角正好是一個(gè)正方形。有的學(xué)生可能對(duì)書上的知識(shí)還有點(diǎn)印象，但是記不清在長方形紙的四個(gè)角是分別剪下一個(gè)長方形還是正方形，就可以做成無蓋的盒子。所以他們先嘗試剪下四個(gè)長方形試一試，然后發(fā)現(xiàn)折起來后盒子一邊高一邊低，才悟到應(yīng)該在四個(gè)角分別剪去一個(gè)相同的正方形。也有的學(xué)生一開始就拿著紙?jiān)谒悖寒?dāng)高是1厘米時(shí)，盒子的容積是多少，高分別是2、3、4厘米時(shí)，容積又是多少，然后再按照盒子的長、寬、高去裁剪紙張。

活動(dòng)結(jié)束時(shí)，19個(gè)參賽組全部完成任務(wù)，成功做出了無蓋的長方體盒子，只有4個(gè)組的作品不符合容積最大的要求。學(xué)生在活動(dòng)中從一步一步嘗試，到逐漸明晰思路，再交流意見、統(tǒng)一看法，最后計(jì)算并找出容積最大的盒子。如此有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)令學(xué)生興奮不已，各地領(lǐng)隊(duì)教師都高興地說：這樣的活動(dòng)太有價(jià)值了，充分展示了學(xué)生的智慧和解決問題的能力。

在劉友華老師主持的數(shù)學(xué)名師工作室學(xué)習(xí)研修的三年時(shí)間里，我再一次體驗(yàn)了成長的快樂，學(xué)會(huì)了放下心中的各種顧慮，相信學(xué)生、鼓勵(lì)學(xué)生，讓他們把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)掌握在自己的手中。聆聽學(xué)生在課堂上嘰嘰喳喳的討論聲，欣賞一張張綻放喜悅的可愛笑臉，是一個(gè)數(shù)學(xué)教師的幸福。在名師工作室的研修歷程讓我明白了如何開展自己未來的教學(xué)工作，如何幸福地享受工作所帶來的喜悅。我堅(jiān)信謙虛、努力、實(shí)踐是實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值的動(dòng)力。

（本欄責(zé)編 肖 飛）

問題1：在下圖中，請(qǐng)用一個(gè)分?jǐn)?shù)來表示。

學(xué)生給出了豐富多彩的答案：