夏少華

(深圳市市政設(shè)計(jì)研究院有限公司，廣東深圳 518029)

0 引言

鋼筋混凝土受壓柱在偏心荷載作用下將發(fā)生縱向彎曲，即產(chǎn)生側(cè)向撓度f(wàn)，側(cè)向撓度f(wàn)將引起附加彎矩Mf。以兩端鉸接的長(zhǎng)柱來(lái)說(shuō)明，初始偏心距M0，壓力N，構(gòu)件上的彎矩由初始彎矩（一階彎矩）M1=Ne0和由橫向撓度f(wàn)引起的附加彎矩（二階彎矩）M2=Mf之和組成。即 M=M1+M2=M（e0+f），取 η＝，用η反映因二階彎矩影響承載力低的效應(yīng)。η值越大，表明二階彎矩影響愈大，一階彎矩在總彎矩中所占的比例愈小，所以計(jì)算η值的實(shí)質(zhì)就是在計(jì)算橫向撓度f(wàn)。

《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》JTG-D62-2004[1]中的η計(jì)算公式是基本長(zhǎng)柱作為研究對(duì)象，并假定柱單向彎曲,以構(gòu)件最大變形fmax產(chǎn)生的附加彎矩和外荷載直接相加。可見，η是對(duì)控制截面而言。對(duì)于構(gòu)件的其他截面，如果均以fmax處算得的η值來(lái)設(shè)計(jì)，則易造成構(gòu)件配筋量冗余多大，過(guò)于保守。在抗震鑒定中會(huì)以為柱的強(qiáng)度不足需要加固的后果。研究表明，長(zhǎng)柱有無(wú)側(cè)移時(shí)二階效應(yīng)是有區(qū)別的，本文針對(duì)各國(guó)規(guī)范規(guī)定的二階效應(yīng)公式進(jìn)行探討。

1 二階效應(yīng)

在豎向荷載和彎矩作用下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件發(fā)生撓曲變形，施加于構(gòu)件上的軸力又在撓曲變形的基礎(chǔ)上產(chǎn)生附加彎矩，這種附加彎矩稱為二次彎矩，這種現(xiàn)象稱為二階效應(yīng)。如圖1所示，在初始偏心距為e的荷載N作用下產(chǎn)生縱向彎曲變形，即側(cè)向撓度f(wàn)，Ne為構(gòu)件的一階彎矩，Nf即為軸力在側(cè)向撓度上引起的附加彎矩或二階彎矩。當(dāng)構(gòu)件的長(zhǎng)細(xì)比較大時(shí)，縱向彎曲的影響不容忽視，計(jì)算中必須考慮軸力在側(cè)向撓度上產(chǎn)生的附加彎矩對(duì)構(gòu)件承載力的影響，否則會(huì)影響結(jié)構(gòu)的安全。

圖1 結(jié)構(gòu)構(gòu)件的二階效應(yīng)

在荷載作用下，結(jié)構(gòu)整體的變形分為構(gòu)件的變形和結(jié)構(gòu)的變形。構(gòu)件變形引起的彎矩增大稱為P-δ效應(yīng)，整體結(jié)構(gòu)變形引起的彎矩增大稱為P-Δ效應(yīng)。當(dāng)結(jié)構(gòu)的側(cè)向剛度很大或側(cè)向變形受到約束時(shí)，水平荷載下的P-Δ效應(yīng)產(chǎn)生的附加內(nèi)力很小，結(jié)構(gòu)可視為無(wú)側(cè)移，即為無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)(見圖2(a))；如果結(jié)構(gòu)的側(cè)向剛度不大或側(cè)向變形不受約束，豎向荷載全部作用在節(jié)點(diǎn)上，這時(shí)需考慮柱在豎向荷載下的P-δ效應(yīng)及整個(gè)結(jié)構(gòu)在水平荷載和豎向荷載下的P-Δ效應(yīng)，即為有側(cè)移結(jié)構(gòu)(見圖2(b))。美國(guó)規(guī)范ACI 318-08認(rèn)為，如果由二階效應(yīng)產(chǎn)生的柱端部彎矩增大不超過(guò)一階彎矩的5%，則認(rèn)為柱是無(wú)側(cè)移的。由于無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)和有側(cè)移結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的附加變形和附加彎矩不同，設(shè)計(jì)中需區(qū)分兩種情況。

圖2 無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)和有側(cè)移結(jié)構(gòu)

對(duì)于有側(cè)移結(jié)構(gòu)偏心受壓構(gòu)件二階效應(yīng)附加彎矩的計(jì)算，目前已形成了計(jì)算機(jī)分析方法和實(shí)用簡(jiǎn)化方法等多種方法?，F(xiàn)有的方法大致分為4類：桿系結(jié)構(gòu)考慮二階效應(yīng)的非線性有限元法、考慮二階效應(yīng)的結(jié)構(gòu)彈性有限元法、計(jì)算有側(cè)移結(jié)構(gòu)二階效應(yīng)附加內(nèi)力的各種彈性簡(jiǎn)化方法(包括迭代P-Δ法、層增大系數(shù)法、結(jié)構(gòu)整體增大系數(shù)法、負(fù)剛度桿件法和負(fù)面積桿件法等，其中以層增大系數(shù)法最為普遍)以及使用柱截面偏心距增大系數(shù)(或彎矩增大系數(shù))的方法。

我國(guó)梁規(guī)JTG-D62-2004[1]采用截面偏心距增大系數(shù)法,我國(guó)建筑規(guī)范GB50010—2010[2]采用彎矩增大系數(shù)法；美國(guó)建筑規(guī)范ACI 318-08[3]采用非線性二階分析和彎矩增大法，美國(guó)橋梁規(guī)范AASHTO LRFD 2007[4]采用彎矩增大法；歐洲規(guī)范EN1992-1-1:2004[5]采用基于非線性二階分析的一般方法、基于名義剛度的二階分析和基于曲率的方法計(jì)算構(gòu)件的二階效應(yīng)。

1.1 中國(guó)建筑規(guī)范

中國(guó)建筑規(guī)范GB 50010-2010采用彎矩增大系數(shù)法考慮構(gòu)件的二階效應(yīng)，偏心受壓構(gòu)件考慮軸力在撓曲構(gòu)件中產(chǎn)生的二階效應(yīng)后，控制截面的彎矩設(shè)計(jì)值按式(1)計(jì)算：

式中：Cm——為構(gòu)件截面偏心距調(diào)節(jié)系數(shù)，當(dāng)小于0.7時(shí)取0.7；

ηns——彎矩增大系數(shù)，當(dāng)Cmηns小于1.0時(shí)取1.0；

N——與彎矩設(shè)計(jì)值M2相應(yīng)的軸力設(shè)計(jì)值；

ea——附加偏心距，其值取20 mm和偏心方向截面最大尺寸1/30兩者中的最大值；

ζc——截面曲率修正系數(shù)，當(dāng)計(jì)算值大于1.0時(shí)取1.0；

h——構(gòu)件截面高度；

h0——構(gòu)件截面有效高度；

A——構(gòu)件截面面積；

lc——構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度。

1.2 中國(guó)橋梁規(guī)范

中國(guó)橋梁規(guī)范JTG-D62采用偏心距增大系數(shù)計(jì)算構(gòu)件的二階效應(yīng)：

式中：l0——構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度；

e0——軸力對(duì)構(gòu)件截面重心軸的偏心距；

h0——構(gòu)件截面有效高度；

h——構(gòu)件截面高度；

ζ1——荷載偏心率對(duì)構(gòu)件截面曲率的影響系數(shù)；

ζ2——構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比對(duì)構(gòu)件截面曲率的影響系數(shù)。

1.3 美國(guó)建筑規(guī)范

美國(guó)建筑規(guī)范ACI 318-08計(jì)算構(gòu)件的二階效應(yīng)時(shí)區(qū)分了無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)和有側(cè)移結(jié)構(gòu)。

1.3.1 無(wú)側(cè)移框架

美國(guó)建筑規(guī)范ACI 318-08采用彎矩增大系數(shù)法計(jì)算無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)構(gòu)件的二階效應(yīng)。受壓構(gòu)件二階彎矩的計(jì)算公式為

其中

或

式中：Mc——考慮二階效應(yīng)的增大彎矩；

M2——受壓構(gòu)件較大的乘系數(shù)（荷載系數(shù)）的端部彎矩，恒為正且不小于M2,min=Pu（0.6+0.3h）；

δns——無(wú)側(cè)移框架的彎矩增大系數(shù)；

Pu——給定偏心距時(shí)乘系數(shù)的軸向荷載；

Ig——不考慮鋼筋的混凝土構(gòu)件毛截面對(duì)重心軸的慣性矩；

Ise——鋼筋對(duì)構(gòu)件截面重心軸的慣性矩；

βd——最大乘系數(shù)的軸向持續(xù)荷載與相同荷載組合中最大乘系數(shù)的軸向荷載之比；

Cm——實(shí)際彎矩圖等效為均布彎矩圖的等效系數(shù)，對(duì)于支座間有橫向荷載的構(gòu)件，Cm取1.0，對(duì)于支座間無(wú)橫向荷載的構(gòu)件，按式(13)計(jì)算；對(duì)于M2,min大于M2的構(gòu)件，Cm取為1.0或按M1/M2計(jì)算：

1.3.2 有側(cè)移框架

美國(guó)建筑規(guī)范ACI318-08規(guī)定，對(duì)于有側(cè)移框架，分別按式(14)和式(15)計(jì)算端部彎矩：

式中：M1——受壓構(gòu)件較小的乘系數(shù)的端部彎矩，構(gòu)件單曲率彎曲時(shí)為正，雙曲率彎曲時(shí)為負(fù)；

M2——受壓構(gòu)件較大的乘系數(shù)的端部彎矩，恒為正；

M1ns、M2ns——無(wú)顯著側(cè)向荷載作用下，用一次彈性框架分析方法計(jì)算的構(gòu)件在M1、M2作用下乘系數(shù)的端部彎矩；

M1s、M2s——有顯著側(cè)向荷載作用下，用一次彈性方法計(jì)算的構(gòu)件在M1、M2作用下乘系數(shù)的端部彎矩；

δsM2——二階彎矩；

δs——彎矩增大系數(shù)，按式（16）計(jì)算：

ΣPu、Vu——樓層中的豎向總荷載和樓層剪力；

Δ0——按Vu確定的樓層頂部與底部的一階相對(duì)位移；

lc——樓層層間高度。

若式(16)計(jì)算的δs大于1.5，則應(yīng)按二階彈性分析或式(17)計(jì)算 δs：

式中：ΣPu——某層所有乘系數(shù)豎向荷載之和；

ΣPc——某層所有無(wú)側(cè)移柱荷載之和，Pc按式（10）計(jì)算。

1.4 美國(guó)橋梁規(guī)范

美國(guó)橋梁規(guī)范AASHTO LRFD-2007用彎矩增大系數(shù)法計(jì)算構(gòu)件的二階效應(yīng)：

其中

式中：M2b——受壓構(gòu)件由不產(chǎn)生較大側(cè)移的乘系數(shù)重力荷載引起的彎矩，恒為正；

M2s——受壓構(gòu)件由產(chǎn)生側(cè)移Δ（大于lu/1 500）的乘系數(shù)的側(cè)向或重力荷載引起的彎矩，恒為正，Δ由常規(guī)的一階彈性分析計(jì)算；

f2b——相應(yīng)于M2b的應(yīng)力；

f2——相應(yīng)于M2s的應(yīng)力；

Pu——乘系數(shù)的軸向荷載；

φK——?jiǎng)偠日蹨p系數(shù)，對(duì)混凝土構(gòu)件，φK=0.75；

Pe——?dú)W拉壓屈荷載，同式(10)。

對(duì)于無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)構(gòu)件，無(wú)特殊規(guī)定時(shí)δs取1.0。對(duì)于有側(cè)移結(jié)構(gòu)構(gòu)件，δb按無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)構(gòu)件確定，δs按有側(cè)移結(jié)構(gòu)構(gòu)件確定。

對(duì)于無(wú)側(cè)移且無(wú)橫向荷載結(jié)構(gòu)的構(gòu)件，Cm按式(22)計(jì)算：

式中：M1、M2——較小、較大的端部彎矩。

如果構(gòu)件為單曲率彎曲，則M1/M2為正；否則為負(fù)。對(duì)于其他情況，Cm取1.0。

1.5 歐洲規(guī)范

歐洲規(guī)范考慮二階效應(yīng)的分析方法包括基于非線性二階分析的一般方法、基于名義剛度分析方法和基于名義曲率的分析方法。下面介紹基于名義剛度法(可用于獨(dú)立構(gòu)件和整體結(jié)構(gòu))和基于名義曲率法(主要適用于獨(dú)立構(gòu)件，如果采用合理的曲率分布假定，也可用于整體結(jié)構(gòu))。

1.5.1 基于名義剛度法

在基于名義剛度的分析方法中，細(xì)長(zhǎng)受壓構(gòu)件的剛度按名義剛度計(jì)算，即：

式中：Imom——名義慣性矩；

Ecd——混凝土彈性模量設(shè)計(jì)值

γcE——混凝土彈性模量分項(xiàng)系數(shù)，建議值為1.2；

Ig——混凝土截面慣性矩；

Is——鋼筋面積對(duì)混凝土面積中心的慣性矩，

h——構(gòu)件截面高度；

d'——鋼筋中心到構(gòu)件最近表面的距離；

Kc——考慮裂縫、徐變等的影響系數(shù)；

Ks——鋼筋影響系數(shù)，當(dāng)配筋率時(shí)P≥0.002，取

φef——有效徐變率；

n——軸壓比；

i——受壓構(gòu)件的截面回轉(zhuǎn)半徑。

構(gòu)件截面彎矩M按式（24）計(jì)算：

式中：M0Ed——一階相對(duì)彎矩，當(dāng)一階桿端相對(duì)彎矩M1和M2不等時(shí)(M2>M1)，可用等效的一階端部彎矩M0e代替，即

β——與一階彎矩和二階彎矩分布有關(guān)的系數(shù)，對(duì)于軸向荷載和截面不變的獨(dú)立構(gòu)件，假定二階彎矩為正弦分布，則有

c0——依賴于一階彎矩分布的系數(shù)，一階彎矩為常數(shù)時(shí)c0=8，拋物線分布時(shí)c0=9.6；對(duì)稱三角形分布時(shí)c0=12；

NEd——軸向荷載設(shè)計(jì)值；

NB——按名義剛度計(jì)算的壓屈荷載

1.6 二階效應(yīng)計(jì)算方法對(duì)比

在上面的各國(guó)混凝土規(guī)范中，我國(guó)建筑規(guī)范和我國(guó)橋梁規(guī)范的公式不區(qū)分無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)和有側(cè)移結(jié)構(gòu)(實(shí)際公式是針對(duì)無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)的)，我國(guó)建筑規(guī)范同時(shí)引入了調(diào)整參數(shù)Cm，我國(guó)橋梁規(guī)范沒有考慮構(gòu)件兩端彎矩不相等情況的調(diào)整。美國(guó)建筑規(guī)范區(qū)分了無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)和有側(cè)移結(jié)構(gòu)，兩種情況附加彎矩的計(jì)算方法有一定區(qū)別，同時(shí)考慮了構(gòu)件兩端彎矩不相等情況的調(diào)整。美國(guó)橋梁規(guī)范的計(jì)算公式同時(shí)考慮了無(wú)側(cè)移和有側(cè)移兩種情況。歐洲規(guī)范沒有明確無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)和有側(cè)移結(jié)構(gòu)，但計(jì)算二階效應(yīng)時(shí)考慮的影響因素比較細(xì)致。

2 結(jié)語(yǔ)

（1）二階效應(yīng)的計(jì)算方法分為基于剛度的計(jì)算方法和基于曲率的計(jì)算方法?；趧偠扔?jì)算方法是考慮構(gòu)件開裂后剛度的降低對(duì)構(gòu)件的剛度進(jìn)行折減，按彈性方法分析；基于曲率計(jì)算方法是直接按彈塑性方法進(jìn)行分析的。我國(guó)建筑規(guī)范和我國(guó)橋梁規(guī)范采用基于曲率的計(jì)算方法，美國(guó)建筑規(guī)范和美國(guó)橋梁規(guī)范采用基于剛度的計(jì)算方法，歐洲規(guī)范同時(shí)提供了兩種方法。由于各規(guī)范公式考慮的因素及參數(shù)取值不同，在相同的條件下，二階效應(yīng)計(jì)算有時(shí)差別很大。

（2）各國(guó)規(guī)范中，美國(guó)建筑規(guī)范、美國(guó)橋梁規(guī)范和歐洲規(guī)范給出了二階效應(yīng)的確定方法。無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)和有側(cè)移結(jié)構(gòu)的二階效應(yīng)不同，我國(guó)建筑規(guī)范和我國(guó)橋梁規(guī)范沒有進(jìn)行區(qū)分，美國(guó)建筑規(guī)范和美國(guó)橋梁規(guī)范、歐洲規(guī)范對(duì)兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行了區(qū)分。為精細(xì)化設(shè)計(jì)，建議規(guī)范應(yīng)細(xì)化二階效應(yīng)計(jì)算公式。

[1]JTG D62-2004,公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范[S].2004.

[2]GB 50010-2010,混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].2011.

[3]ACI318-08,Building code requirements for structural concrete and commentary[S].American Concrete Institute,2008.

[4]AASHTOLRFDBridge Design Specifications[S].American Association of State Highway and Transportation Officials,2007.

[5]EN 1992-1-1:2004,Design of Concrete Structures.General Rules and Rules for Building[S].CEN,2004.