李紅兵

（鄭州市市政工程勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，河南鄭州 450046）

0 前言

在橋梁工程設(shè)計(jì)中，經(jīng)常會(huì)遇到橋梁斜交的情況，橫坡為i%，縱坡為j%，斜交角為α，見(jiàn)圖1。

圖1 蓋梁中心線與道路中心線斜交示意圖

這時(shí)，一般思路是，求出同一蓋梁下某根柱（樁）對(duì)應(yīng)的中心樁號(hào)，通過(guò)縱坡j%來(lái)求出該樁號(hào)的中心橋面標(biāo)高，然后通過(guò)橫坡i%來(lái)求出該柱（樁）的實(shí)際橋面標(biāo)高，再減去鋪裝厚度、梁高、支座及墊石、蓋梁高得出柱（樁）頂標(biāo)高。同理，求出另一根柱（樁）的標(biāo)高。最后根據(jù)兩個(gè)柱（樁）頂標(biāo)高及兩柱（樁）間的距離推算出蓋梁坡度。更有不勝其煩者，會(huì)推算出同一蓋梁下的所有柱（樁）頂標(biāo)高，以至于蓋梁在豎直面上是一條彎折線。

上述方法不僅設(shè)計(jì)起來(lái)麻煩，施工時(shí)也很麻煩。下面根據(jù)簡(jiǎn)單推導(dǎo)來(lái)得出斜交橋蓋梁實(shí)際坡度的公式。

1 公式推導(dǎo)

（1）蓋梁在道路中心線上的投影范圍內(nèi)縱坡不變。

首先建立斜坐標(biāo)系。x 軸沿道路中心線，y 軸沿蓋梁中心線，z 軸垂直橋面向上。x 軸與y 軸角度等于90 °-α，x 軸與z 軸角度等于90 °，y 軸與z 軸角度等于90°，見(jiàn)圖2。

圖2 根據(jù)斜交蓋梁建立的三維斜坐標(biāo)系

在 x -z 平面內(nèi)，Δzx=Δx ×j

在 x -y 平面內(nèi)，Δx=Δy ×sinα

代入得到 Δ zx=Δy×sinα×j

在 y -z 平面內(nèi)，Δzy=Δy ×cosα×i

由于Δzx與Δzy 均為同軸內(nèi)，可以直接作加減法，則

上式左邊的分子為高差，分母為沿蓋梁中心線距離，相除即為蓋梁的實(shí)際坡度，以k 表示，得

式中：k——蓋梁的實(shí)際坡度；

α——橋梁斜交角；

j——道路中心線的縱坡；

i——橋面橫坡。

符號(hào)規(guī)定：沿蓋梁方向，i，j 符號(hào)相同為 +，i，j符號(hào)相反為-。

從式（1）中可以看出，蓋梁的實(shí)際坡度在橫坡i 及縱坡j 不變的情況下是一個(gè)定值。但在實(shí)際工程中，路線設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)常把變坡點(diǎn)設(shè)置在橋梁范圍內(nèi)，特別是一些中小橋，這樣蓋梁在道路中心線上的投影范圍內(nèi)縱坡j 就不是一個(gè)定值，顯然式（1）也不能簡(jiǎn)單應(yīng)用于計(jì)算此類情況下蓋梁的實(shí)際坡度。

（2）蓋梁在道路中心線上的投影在豎曲線范圍內(nèi)（見(jiàn)圖3）。

圖3 蓋梁在道路中心線上的投影在豎曲線范圍內(nèi)示意圖

假設(shè)豎曲線兩邊坡度分別為j1%、j2%，圓曲線半徑為R，坡度線1 的豎直角為，豎曲線上任意一點(diǎn)x 的切線與坡度線1 之間的夾角為，見(jiàn)圖4。

圖4 豎曲線上任意點(diǎn)幾何示意圖

tanγ=j1%，由于城市道路設(shè)計(jì)規(guī)范要求最大縱坡一般不大于4%，即j1%＜0.04，根據(jù)高等數(shù)學(xué)里微分的近似公式，當(dāng) γ 非常小時(shí)，tanγ=γ，即 γ =j1。

設(shè)定蓋梁兩端對(duì)應(yīng)道路中心樁號(hào)距豎曲線起點(diǎn)樁號(hào)分別為x1，x（2小注：根據(jù)幾何求解，在x1，x2相對(duì)曲線半徑R 不在一個(gè)量級(jí)且縱坡j 非常小的前提下，x1，x2可近似等于在豎曲線上距豎曲線起（終）點(diǎn)的弧長(zhǎng)。）則蓋梁兩端的實(shí)際坡度分別為k1，k2得：

兩式相加除2，也即是蓋梁中心的實(shí)際坡度為

式中：L——蓋梁長(zhǎng)度；

α——橋梁斜交角；

ΔH——誤差；

R——豎曲線半徑。

以一個(gè)蓋梁長(zhǎng)20 m，橋梁斜交角為15°，豎曲線半徑為2 000 m 為例，以蓋梁中心處的實(shí)際坡度來(lái)模擬整片蓋梁的誤差不到±7 mm，誤差在厘米級(jí)以下。

因此，遇到蓋梁在橋梁中心線上的投影在豎曲線范圍內(nèi)的情況，計(jì)算蓋梁的實(shí)際坡度時(shí)，可以先根據(jù)式（2）計(jì)算出誤差，若誤差相較橋面鋪裝厚度很小甚至可以忽略不計(jì)，完全可以用蓋梁中心線的實(shí)際坡度作為整片蓋梁的實(shí)際坡度，具體施工時(shí)用橋面鋪裝來(lái)調(diào)整蓋梁形成的誤差。

2 結(jié)語(yǔ)

在求斜交橋的蓋梁坡度時(shí)，先確定蓋梁兩端在道路中心線的投影范圍，若該范圍的縱坡為一個(gè)定值，則該片蓋梁的實(shí)際坡度也是一個(gè)定值，可以直接通過(guò)公式k=sinα×j ±cosα×i 來(lái)計(jì)算，并根據(jù)計(jì)算出的蓋梁實(shí)際坡度推出各柱（樁）的頂標(biāo)高。若該范圍在豎曲線內(nèi)，縱坡不是一個(gè)定值，則先根據(jù)公式來(lái)計(jì)算誤差，若誤差相較橋面鋪裝厚度很小甚至可以忽略不計(jì)，則先確定蓋梁中心對(duì)應(yīng)道路中心樁號(hào)，求出該中心樁號(hào)的縱坡jm，也就是該中心樁號(hào)在縱斷面豎曲線上的切線的豎直角的正切值（注意縱斷面的比例）。將縱坡jm代入k=sinα×jm±cosα×i 求出整片蓋梁的實(shí)際坡度，并根據(jù)蓋梁中心對(duì)應(yīng)道路中心樁號(hào)的橋面標(biāo)高推算蓋梁中心高程，最后按蓋梁的實(shí)際坡度推算各柱（樁）頂標(biāo)高。

[1] CJJ 37-2012,城市道路工程設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[2] JTG D60-2004,公路橋涵通用規(guī)范[S].

[3] JTG D62-2004,公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京:高等教育出版社,2007.