喬成林，全厚德，崔佩璋，鄭保明

（1.軍械工程學院信息工程系，河北 石家莊050003；2.總裝備部通用裝備保障部，北京110000）

0 引言

自適應(yīng)波束形成廣泛應(yīng)用于雷達、通信和導航等系統(tǒng)中，它通過調(diào)節(jié)各陣元權(quán)重使得合成方向圖在期望方向形成主瓣，干擾方向形成零陷，從而提高接收信號SINR。1969年，Capon提出了使陣列增益最大的最小方差無失真響應(yīng)（MVDR）波束形成器，即Capon波束形成器。標準Capon（SCB）波束形成器需要精確知道期望信號導向矢量，而實際中由于受到波束指向誤差、陣元位置誤差和通道誤差等，期望信號導向矢量往往失配。此時，Capon波束形成器性能將急劇下降，甚至會將期望信號當作干擾抑制掉［1］。為了提高Capon 波束形成器在導向矢量失配時的輸出性能，涌現(xiàn)出許多穩(wěn)健波束形成算法。常見的穩(wěn)健波束形成算法可以總結(jié)為三類：線性約束法［2］、特征空間法［3］和對角加載法［4］。線性約束法以減少自由度提高穩(wěn)健性；特征空間法在失配誤差增大時，算法性能嚴重下降；對角加載法的加載值難以確定且會減弱干擾抑制能力。

近年來，一些基于導向矢量不確定集約束的穩(wěn)健波束形成算法被提出，如文獻［5-6］提出基于最差性能最佳化的算法（WCPO），采用二階錐規(guī)劃進行求解，但運算量較大。Li等人提出新的穩(wěn)健波束形成算法（RCB），并證明該算法的解與WCPO 算法相同且運算量較?。?-8］。然而該算法并沒有給出求解Lagrange乘子的表達式，而是采用牛頓迭代法求解，實時性較差。戴凌燕等人通過近似推導給出近似解，但近似假設(shè)造成計算精度和輸出SINR 下降［9］。需要注意的是，上述基于導向矢量不確定集約束的穩(wěn)健波束形成算法必須精確知道誤差范圍，而這在實際中是很難做到的。為此，文獻［10］提出在一個區(qū)域內(nèi)構(gòu)造正定矩陣，并用該矩陣特征向量線性表示該區(qū)域內(nèi)所有方向?qū)蚴噶?。鄒翔等［11］人基于該原理提出無需假定誤差模約束的失配誤差正交分解穩(wěn)健波束形成算法，取得了不錯的效果，且具有較好的實時性。但該算法在構(gòu)造函數(shù)時限定多個約束條件，減少了系統(tǒng)自由度。文獻［12］又提出以輸出最大功率為目標，構(gòu)造代價函數(shù)，在不減少自由度的情況下，輸出SINR 較高，然而其收斂速度較慢，不利于工程實現(xiàn)。本文針對已有穩(wěn)健波束形成算法實時性差、收斂速度慢、輸出SINR 低的缺陷，提出基于導向矢量實時校準的穩(wěn)健波束形成算法（RCRB）。

1 陣列信號模型和MVDR 算法

考慮一個M 陣元線陣，假設(shè)空間遠場存在一個期望信號和J個干擾，信號干擾兩兩互不相關(guān)。并假設(shè)空間噪聲是相互獨立的高斯白噪聲，且與信號干擾互不相關(guān)。則t時刻陣列接收信號為：

其中，a（θ0）和a（θj）（j=1，2，…，J）分別為期望信號和干擾導向矢量，s0（t）和sj（t）（j=1，2，…，J）分別為期望信號和干擾復包絡(luò)。N（t）為噪聲矢量，N（t）= ［n1（t），n2（t），…，nM（t）］。

則陣列協(xié)方差矩陣為：

MVDR 波束形成器又稱為Capon波束形成器，其思想是讓期望信號方向增益約束為1，并使得陣列輸出功率最小。該波束設(shè)計問題可描述為：

采用Lagrange乘子求解得：

其中，Ri+n為干擾和噪聲協(xié)方差矩陣。而實際中接收數(shù)據(jù)往往包含期望信號，無法獲得干擾和噪聲協(xié)方差矩陣。因此，一般直接用接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣RX代替干擾和噪聲協(xié)方差矩陣Ri+n。另外，期望信號方向往往不能精確可知，一般用估計值代替，即a^（θ0）=a（θ0）。所以，由式（1）-式（4）得MVDR波束形成器權(quán)矢量為：

MVDR 波束形成器只有在期望信號導向矢量精確可知時才能獲得高分辨力和陣列增益，而實際應(yīng)用中期望信號導向矢量往往不能精確可知，此時MVDR 波束形成器性能嚴重下降［1］。本文從真實導向矢量與噪聲子空間正交出發(fā)，提出基于導向矢量實時校準的波束形成算法可以有效提高系統(tǒng)的穩(wěn)健性。

2 基于導向矢量實時校準算法

2.1 算法描述

假設(shè)期望信號方向θ0包含在內(nèi)，其中θL和θU分別表示Φ區(qū)域的下限和上限，則構(gòu)造一個正定矩陣ψ［10-12］。

為了便于實現(xiàn)，在計算ψ 時將Φ = θL，θ［ ］U 均勻離散化，則

對ψ 特征值分解，選出P 個較大的特征值，則

其中λ1≥λ2≥… ≥λP≥… ≥λM是相應(yīng)的M 個特征值，ei（i=1，2，…，M）為其對應(yīng)的特征矢量，

EP和EQ的列向量分別張成較大特征值對應(yīng)的子空間和較小特征值對應(yīng)的子空間。所以，可以對ψ 做如下近似：

根據(jù)定義可知，Φ 內(nèi)所有方向的導向矢量均包含于EP的列向量張成的子空間，則期望信號導向矢量a（θ0）必然包含于這個子空間，也就是說a（θ0）可以用EP的列向量線性表示。

定義一個列向量T（P×1），使它滿足式（10）：

所以，求解導向矢量a（θ0）就轉(zhuǎn)化為求解列向量T。

對接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX進行特征值分解可得：

根據(jù)子空間理論，真實期望信號導向矢量a（θ0）在信號干擾子空間內(nèi)，而信號干擾子空間與噪聲子空間正交，則真實期望信號導向矢量a（θ0）與噪聲子空間正交。則：

式（12）也可表示為：

構(gòu)造如下代價函數(shù)

令SU=EHPEnEHnEP，則式（14）簡化為：

采用最陡下降法迭代求解向量T［10，12］，假設(shè)T［n］是T 的當前值，T［n-1］是T 的上一時刻值，T［1］任意設(shè)定，則：

An LED light source was used to study settlement of a white ceramic substrate. Specifically, a light with a highly concentrated wavelength and brightness was selected to mitigate the influences that the wavelength and luminance of the chip exercised on the color coordinates of the white LED.

其中u［n］是迭代步長，tr［·］是矩陣的跡。

將T［n］代入式（10）（5），得

由于噪聲的擾動，式（20）獲得的權(quán)矢量收斂速度較慢。因此，對式（20）采用一種簡單而有效的處理，即將權(quán)矢量向信號干擾子空間投影，則

2.2算法流程

由上所述，基于導向矢量實時校準的穩(wěn)健波束形成算法流程總結(jié)如下：

步驟1：由式（6）構(gòu)造一個正定矩陣，并根據(jù)式（6）-式（9）得到包含P 個較大特征值對應(yīng)的特征向量組EP，并定義一個列向量T（P×1），記a（θ0）=EPT；

步驟2：對接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX特征值分解，得到噪聲子空間EnEHn；

步驟3：根據(jù)式（6）-式（18）更新列向量T；

步驟5：使用更新后的列向量T，校準導向矢量，并由式（21）得到實時權(quán)矢量。

3 仿真實例

為了便于仿真，假設(shè)陣列為半波長間距的均勻線陣。假設(shè)空間遠場包含一個期望信號和兩個干擾信號，期望信號和干擾信號兩兩互不相關(guān)，期望信號真實方向為θ0=0°，兩個干擾方向分別為θ1=-20°、θ2=50°，干噪比均為30dB。本文RCRB算法假定期望信號方向在Φ=［-5°，5°］內(nèi)，矩陣Ψ 的較大特征值個數(shù)P為6個。每次實驗均是100次獨立蒙特卡洛實驗的平均。將本文提出的算法（RCRB）和標準Capon算法（SCB）、對角加載算法（LSIM）［4］、特征空間算法（ESB）［3］和基于不確定集（RCB）［9］的穩(wěn)健波束形成算法進行比較。

仿真實例1 導向矢量失配時，陣列波束形成方向圖。假設(shè)陣元數(shù)M =10，期望信號方向觀測誤差為3°，信噪比為0dB，快拍數(shù)為300。LSIM 算法對角加載量為10，RCB算法ε值正好等于導向矢量誤差模平方。表1為算法性能對比，圖1為陣列波束形成方向圖。結(jié)合表1和圖1可知，當存在導向矢量失配時，SCB算法顯然已經(jīng)失效，甚至將真實期望信號當做干擾進行抑制；LSIM 算法具有一定的穩(wěn)健性，但仍對期望信號進行部分抑制，所以輸出SINR 不高；RCB算法在期望信號方向只下降了0.82dB，且對干擾進行了有效抑制，故輸出SINR 較高；RCRB算法和ESB 算法輸出SINR 分別為9.68dB 和9.60 dB，均接近理論最優(yōu)值，但兩者實現(xiàn)的方法不同。結(jié)合文獻［3］可知，當陣元數(shù)增加或者存在大角度失配時，ESB算法性能嚴重下降，下文將詳細對比。因此，本文提出的RCRB算法具有更好的穩(wěn)健性。

表1 算法性能對比Tab.1 Comparison of algorithms

仿真實例2 輸出SINR 與導向矢量失配角關(guān)系。假設(shè)陣元數(shù)M=30［3］，信噪比為0dB，快拍數(shù)為300。LSIM 算法對角加載量為10，RCB 算法ε值正好等于導向矢量誤差模平方。圖2 為輸出SINR 與信號失配角關(guān)系。由圖可知，導向矢量失配時，SCB算法性能嚴重下降，LSIM 算法具有一定的穩(wěn)健性，但不明顯。當小角度失配時，ESB 算法、RCB算法和RCRB算法均具有較好的穩(wěn)健性，其中RCB算法和RCRB算法輸出SINR 要比ESB 算法略高一些。當失配角增大時，結(jié)合文獻［3］可知，ESB算法存在周期惡化，且陣元數(shù)越多，周期越短。而RCB算法在失配角增大時，性能下降的更嚴重。相反，本文提出的RCRB算法輸出SINR 依然很高，不存在周期惡化。因此，RCRB算法具有更好的穩(wěn)健性，可以在較大失配誤差范圍內(nèi)保持良好的性能。仿真實例3 導向矢量失配時，輸出SINR 與快拍數(shù)關(guān)系。假設(shè)陣元數(shù)M=10，期望信號方向觀測誤差為3°，信噪比為0dB。LSIM 算法對角加載量為10，RCB 算法ε值正好等于導向矢量誤差模平方。圖3為輸出SINR 與快拍數(shù)關(guān)系。從圖中可知，期望信號導向矢量失配時，SCB 算法、LSIM 算法、ESB算法、RCB 算法、RCRB 算法和理論最優(yōu)輸出SINR 分別為-4.68、7.81dB、9.62dB、8.87dB、9.71dB和9.87dB。所以，RCRB 算法輸出SINR要高于其他算法、更加逼近理論最優(yōu)值。因此，相同條件下，本文提出的RCRB 算法具有更高的輸出SINR 和較快的收斂速度。

圖1 陣列波束形成方向圖Fig.1 Beamformer pattern of array

圖2 輸出SINR 與失配角關(guān)系Fig.2 Output SINR versus angle mismatch

圖3 輸出SINR 與快拍數(shù)關(guān)系Fig.3 Output SINR versus the number of snapshots

仿真實例4 導向矢量失配時，輸出SINR 與輸入SNR 關(guān)系。假設(shè)陣元數(shù)M=10，期望信號方向觀測誤差為3°，快拍數(shù)為300。LSIM 算法對角加載量為10，RCB算法ε值正好等于導向矢量誤差模平方。圖4為輸出SINR 與輸入SNR 關(guān)系。從圖中可知，由于期望信號導向矢量失配，SCB 算法將期望信號當成干擾，造成信號相消現(xiàn)象，隨著輸入SNR 增大，輸出SINR 損失越嚴重。LSIM 算法在小信噪比時，對導向矢量失配具有一定的魯棒性，但隨著輸入SNR 增大，輸出SINR 損失嚴重。RCB算法在輸入SNR 小于10dB 時，其輸出SINR 較高，當輸入SNR 增大時，輸出SINR 損失嚴重，這主要與ε選取有關(guān)。RCRB 算法和ESB 算法對輸入SNR 變化不敏感，但兩者的原理不同，結(jié)合圖2 可知，隨著陣元數(shù)增加或信號失配角增大，ESB 算法性能將嚴重下降。因此，相同輸入SNR 下，本文所提的RCRB算法優(yōu)于其他算法。

圖4 輸出SINR 與輸入SNR 關(guān)系Fig.4 Output SINR versus Input SNR

仿真實例5 導向矢量失配時，RCRB 算法代價函數(shù)與快拍數(shù)關(guān)系。陣元數(shù)M=10，期望信號方向觀測誤差為3°，快拍數(shù)為300。圖5為RCRB 算法代價函數(shù)與快拍數(shù)關(guān)系。圖中最優(yōu)曲線指真實期望信號導向矢量在噪聲子空間上的投影，由于初始階段信號協(xié)方差矩陣存在誤差，所以代價函數(shù)值較大。隨著快拍數(shù)增加，代價函數(shù)趨于穩(wěn)定，收斂時最優(yōu)曲線和RCRB 曲線代價函數(shù)值分別為：0.018 和0.063。所以，導向矢量經(jīng)過RCRB 算法實時迭代后，與真實期望信號導向矢量相差無幾，且收斂速度較快，驗證了算法有效性。

圖5 RCRB算法代價函數(shù)與快拍數(shù)關(guān)系Fig.5 The cost function of RCRB versus the number of snapshots

4 結(jié)論

本文提出了基于導向矢量實時校準的穩(wěn)健波束形成算法，該算法首先構(gòu)造一個正定矩陣，然后根據(jù)真實期望信號正交于噪聲子空間的原理，建立代價函數(shù)，采用最陡下降法自適應(yīng)迭代求解權(quán)矢量，最后將權(quán)矢量投影到信號干擾子空間。仿真驗證表明該算法實時性好、收斂速度快、輸出SINR 高，在較大導向矢量誤差范圍內(nèi)仍能保持良好性能，具有較高的實際應(yīng)用價值，下一步將繼續(xù)研究其在相干干擾中的應(yīng)用。

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