機(jī)器人多模型反演滑?？刂撇呗匝芯?/h1>
2014-01-14 00:43:30姜寅令于顯利
姜寅令，于顯利
(1.東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江大慶163318;2.吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130026)
0 引言
N關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性，所建立的模型通常具有不確定性，是一類自然不穩(wěn)定系統(tǒng)［1，2］。傳統(tǒng)的魯棒控制方法，如滑模變結(jié)構(gòu)控制，由于其較高的抗干擾特性、良好的瞬態(tài)特性受到了廣泛關(guān)注［3-5］，被認(rèn)為是最具影響力的非線性魯棒控制器之一。然而傳統(tǒng)的魯棒控制和自適應(yīng)控制都是基于精確模型的控制設(shè)計(jì)思想，僅能實(shí)現(xiàn)對(duì)含有較小的或恒定不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行較精確的控制［2］。機(jī)器人系統(tǒng)由于工作環(huán)境多變，如陸地環(huán)境、水下環(huán)境、高溫和低溫環(huán)境等，工作環(huán)境的改變對(duì)系統(tǒng)模型的影響有時(shí)是不可忽視的，加大了其控制難度，因此有必要在滑模變結(jié)構(gòu)控制的基礎(chǔ)上引入多模型控制，以適應(yīng)機(jī)器人工作環(huán)境變化對(duì)系統(tǒng)模型產(chǎn)生的影響，達(dá)到較好的控制目的。
多模型控制引入了一個(gè)監(jiān)控機(jī)制，當(dāng)被控對(duì)象發(fā)生大的跳變時(shí)，監(jiān)督機(jī)構(gòu)能快速識(shí)別其變化并做出決策，使控制器能有效控制對(duì)象［6］。多模型控制通常設(shè)定一個(gè)指標(biāo)函數(shù)(例如誤差信號(hào))，隨時(shí)測(cè)試該指標(biāo)函數(shù)的優(yōu)劣，如果指標(biāo)函數(shù)呈現(xiàn)向不好的方向傾斜，則控制器將會(huì)切換到更加合適的模型，以便使控制指標(biāo)更優(yōu)。因此，如果在不同的工作環(huán)境下，機(jī)器人模型可近似獲得，多模型控制是一個(gè)獲得較高控制品質(zhì)的途徑。筆者針對(duì)機(jī)器人工作環(huán)境多變的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種基于反演和滑模相結(jié)合的多模型控制器，并對(duì)多模型控制的指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。
1 機(jī)器人數(shù)學(xué)模型
拉格朗日方程得到描述N關(guān)節(jié)的機(jī)械人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程［7］
圖1 二自由度機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Two-link robotic manipulator
其中M(q)為廣義慣性力矩陣，C(q，˙q)為哥氏力和離心力項(xiàng)，G(q)為重力或廣義彈性力，f為干擾或不確定項(xiàng)，y為系統(tǒng)輸出，q=［q1，…，qn］T為 N 個(gè)關(guān)節(jié)的端點(diǎn)位置向量。
式(1)所描述的N關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式可寫成
其中取關(guān)節(jié)的位置及位置的導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量x1=q，x2=˙q。
由于N關(guān)節(jié)的機(jī)械人系統(tǒng)為自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，控制目標(biāo)迫使各個(gè)關(guān)節(jié)端點(diǎn)位置跟蹤上一個(gè)有界的參考輸入信號(hào)xd=［x1d，…，xnd］T，其約束條件是qd和q的N-1階導(dǎo)數(shù)存在，廣義慣性力矩陣M(q)為有界、非奇異矩陣。
2 反演滑模控制器的設(shè)計(jì)
反演控制方法是將單變量控制方案應(yīng)用到多變量控制系統(tǒng)。它首先處理一個(gè)變量而假定其他變量可以任意分配;然后，其余的狀態(tài)方程與其他變量也用同樣的方法進(jìn)行處理，這種處理方法能簡(jiǎn)化復(fù)雜系統(tǒng)。N關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)可將各關(guān)節(jié)作為一個(gè)反演控制的子系統(tǒng)，為每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)虛擬控制量，使關(guān)節(jié)位置誤差信號(hào)為零。反演控制與滑?？刂频慕Y(jié)合可增加系統(tǒng)的魯棒性，增強(qiáng)抗干擾能力。反演控制可認(rèn)為是一種自適應(yīng)控制，SMC(Sliding Mode Control)是一種魯棒控制方法，二者的結(jié)合可以發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)。
定理1 考慮被控對(duì)象式(2)，若選取反演控制律
則系統(tǒng)漸進(jìn)跟蹤有界參考信號(hào)xd，且系統(tǒng)全局穩(wěn)定。其中k＞0，c＞0，h＞0，ρ＞0。
證明 設(shè)關(guān)節(jié)的期望位置為xd，則關(guān)節(jié)的位置誤差和速度誤差分別為
又定義誤差其中α1是x1的估計(jì)，反演控制是一種閉環(huán)反饋控制［8，9］，α1是作為系統(tǒng)的控制輸入，因此設(shè)計(jì)目的是取合適的α1，使e2為零。
定義中間虛擬控制量為α1=ce1，c＞0。
選擇Lyapunov函數(shù)
設(shè)計(jì)傳統(tǒng)滑模面
利用Lyapunov法證明誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。選擇Lyapunov函數(shù)
這里F為所有不確定項(xiàng)之和。
為滿足˙V2＜0，取等效控制項(xiàng)
為補(bǔ)償一定干擾，滑模控制可增加切換控制項(xiàng)τvss，該項(xiàng)由系統(tǒng)慣性項(xiàng)、滑模面及符號(hào)函數(shù)等構(gòu)成。二關(guān)節(jié)剛性機(jī)器人反演滑模控制器設(shè)計(jì)為
其中τvss=-M-1h(s+ρsgn(s))，h和ρ為正的常數(shù)構(gòu)成的列向量。
所以，定理1得證。
3 多模型控制
多模型控制的機(jī)理是時(shí)刻檢測(cè)系統(tǒng)的性能指標(biāo)，從而選擇更為適合當(dāng)前環(huán)境的模型，并產(chǎn)生一個(gè)更為合適的控制信號(hào)。所以多模型控制可分成檢測(cè)部分和控制部分。
1)多模型控制的檢測(cè)部分。檢測(cè)部分由預(yù)先設(shè)定好的多個(gè)模型和切換機(jī)構(gòu)組成。多個(gè)模型的建立，一般是依據(jù)被控對(duì)象在不同的工作環(huán)境中(如溫度變化、外界擾動(dòng)等因素)對(duì)系統(tǒng)本身的影響有所不同，從而建立了多個(gè)適應(yīng)不同環(huán)境的模型。切換機(jī)構(gòu)的作用是決定哪個(gè)模型更適合當(dāng)前的被控對(duì)象，從而切換到那個(gè)模型上去。目前已有很多方法確定更為適合的當(dāng)前模型，即切換標(biāo)準(zhǔn)。應(yīng)用最多的是系統(tǒng)誤差最小法，即系統(tǒng)誤差最小的模型就是當(dāng)前最優(yōu)模型。
目前已有多種性能指標(biāo)函數(shù)用作切換標(biāo)準(zhǔn)，筆者結(jié)合文獻(xiàn)［10，11］選擇帶遺忘因子的 PID(Proportion-Integral-Differential)型性能指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上做一定的改進(jìn)，增加PID權(quán)值
加上遺忘因子是為了不斷減小老數(shù)據(jù)的權(quán)值，所以，之前的數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響將逐漸減少。
2)控制部分?？刂撇糠植捎梅囱莼？刂破?，即式(10)所示的控制器，控制部分整體框圖如圖2所示。控制器采用n個(gè)獨(dú)立的等效控制器ueq1，…，ueqn，每個(gè)控制器擁有不同的等效控制τeq的增益γ1，…，γn，且等效控制器的增益γ1，…，γn都是針對(duì)預(yù)先設(shè)計(jì)的模型單獨(dú)設(shè)計(jì)。其中輸入信號(hào)為關(guān)節(jié)位置信號(hào)q及其導(dǎo)數(shù)˙q。滑模面選擇傳統(tǒng)的線性滑模面s=ke1+e2，k＞0。模型1～模型n為預(yù)先設(shè)計(jì)的多關(guān)節(jié)機(jī)器人模型，與模型為并列關(guān)系。每個(gè)模型的輸出為關(guān)節(jié)位置向量及其導(dǎo)數(shù)向量，分別為q1，˙q1，…，qn，˙qn。當(dāng)性能指標(biāo)函數(shù)Ji(t)檢測(cè)到某時(shí)刻最小的輸出誤差時(shí)，系統(tǒng)選擇該誤差所對(duì)應(yīng)的模型。
圖2 機(jī)器人多模型控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Block diagram of multi-model back-stepping sliding mode control
4 仿真實(shí)例
采用二關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)作為仿真對(duì)象，動(dòng)態(tài)模型如下［12］
該仿真試驗(yàn)共采用3個(gè)模型，具體系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，控制器參數(shù)如表2所示。圖3為關(guān)節(jié)1、2的軌跡跟蹤圖，從圖3可以看出，即使增加較強(qiáng)的隨機(jī)干擾，關(guān)節(jié)也能很快跟蹤設(shè)定的軌跡。圖4～圖6分別為3個(gè)模型的控制輸入。
表1 二關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 The parameters of two-link robot
表2 控制器參數(shù)表Tab.2 The parameters of controllers
圖3 關(guān)節(jié)1、2的位置跟蹤輸入Fig.3 Desired and actual trajectory for joint 1 and 2
圖4 模型1的控制輸入Fig.4 Input applied to model 1
圖5 模型2的控制輸入Fig.5 Input applied to model 2
圖6 模型3的控制輸入Fig.6 Input applied to model 3
5 結(jié) 語(yǔ)
筆者針對(duì)當(dāng)今機(jī)器人控制熱點(diǎn)問(wèn)題提出了一種機(jī)器人多模型反演滑?？刂撇呗?，并對(duì)傳統(tǒng)多模型控制的PID型切換指標(biāo)進(jìn)行了改進(jìn)，形成了帶權(quán)值和遺忘因子的PID型切換指標(biāo)。針對(duì)傳統(tǒng)的反演控制中采用先前估計(jì)虛擬控制輸入作為當(dāng)前控制輸入的問(wèn)題，定義滑模面并得出虛擬控制輸入，從而消除了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模態(tài)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，簡(jiǎn)化了控制律，并應(yīng)用Lyapunov定理證明了所提方案的合理性。最后利用二關(guān)節(jié)機(jī)器人作為控制對(duì)象，仿真驗(yàn)證了控制方案的有效性。筆者的研究對(duì)多自由度機(jī)器人控制的推廣應(yīng)用也有一定的參考價(jià)值。
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［3］XIA Yuanqing，F(xiàn)U Mengyin，SHI Peng，et al.Adaptive Backstepping Controller Design for Stochastic Jump Systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2010，54(12):2853-2859.
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［5］王海洋，王江，李紅利，等.基于Termiral滑模的Hindmarsh-Rose神經(jīng)元放電同步控制［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2011，49(6):1087-1094.WANG Haiyang，WANG Jiang，LI Hongli，et al.Unidirectional Synchronization for Hindmarsh-Rose Neurons via Terminal Sliding Mode Control［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2011，49(6):1087-1094.
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多模型控制引入了一個(gè)監(jiān)控機(jī)制，當(dāng)被控對(duì)象發(fā)生大的跳變時(shí)，監(jiān)督機(jī)構(gòu)能快速識(shí)別其變化并做出決策，使控制器能有效控制對(duì)象［6］。多模型控制通常設(shè)定一個(gè)指標(biāo)函數(shù)(例如誤差信號(hào))，隨時(shí)測(cè)試該指標(biāo)函數(shù)的優(yōu)劣，如果指標(biāo)函數(shù)呈現(xiàn)向不好的方向傾斜，則控制器將會(huì)切換到更加合適的模型，以便使控制指標(biāo)更優(yōu)。因此，如果在不同的工作環(huán)境下，機(jī)器人模型可近似獲得，多模型控制是一個(gè)獲得較高控制品質(zhì)的途徑。筆者針對(duì)機(jī)器人工作環(huán)境多變的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種基于反演和滑模相結(jié)合的多模型控制器，并對(duì)多模型控制的指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。
1 機(jī)器人數(shù)學(xué)模型
拉格朗日方程得到描述N關(guān)節(jié)的機(jī)械人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程［7］
圖1 二自由度機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Two-link robotic manipulator
其中M(q)為廣義慣性力矩陣，C(q，˙q)為哥氏力和離心力項(xiàng)，G(q)為重力或廣義彈性力，f為干擾或不確定項(xiàng)，y為系統(tǒng)輸出，q=［q1，…，qn］T為 N 個(gè)關(guān)節(jié)的端點(diǎn)位置向量。
式(1)所描述的N關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式可寫成
其中取關(guān)節(jié)的位置及位置的導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量x1=q，x2=˙q。
由于N關(guān)節(jié)的機(jī)械人系統(tǒng)為自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，控制目標(biāo)迫使各個(gè)關(guān)節(jié)端點(diǎn)位置跟蹤上一個(gè)有界的參考輸入信號(hào)xd=［x1d，…，xnd］T，其約束條件是qd和q的N-1階導(dǎo)數(shù)存在，廣義慣性力矩陣M(q)為有界、非奇異矩陣。
2 反演滑模控制器的設(shè)計(jì)
反演控制方法是將單變量控制方案應(yīng)用到多變量控制系統(tǒng)。它首先處理一個(gè)變量而假定其他變量可以任意分配;然后，其余的狀態(tài)方程與其他變量也用同樣的方法進(jìn)行處理，這種處理方法能簡(jiǎn)化復(fù)雜系統(tǒng)。N關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)可將各關(guān)節(jié)作為一個(gè)反演控制的子系統(tǒng)，為每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)虛擬控制量，使關(guān)節(jié)位置誤差信號(hào)為零。反演控制與滑?？刂频慕Y(jié)合可增加系統(tǒng)的魯棒性，增強(qiáng)抗干擾能力。反演控制可認(rèn)為是一種自適應(yīng)控制，SMC(Sliding Mode Control)是一種魯棒控制方法，二者的結(jié)合可以發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)。
定理1 考慮被控對(duì)象式(2)，若選取反演控制律
則系統(tǒng)漸進(jìn)跟蹤有界參考信號(hào)xd，且系統(tǒng)全局穩(wěn)定。其中k＞0，c＞0，h＞0，ρ＞0。
證明 設(shè)關(guān)節(jié)的期望位置為xd，則關(guān)節(jié)的位置誤差和速度誤差分別為
又定義誤差其中α1是x1的估計(jì)，反演控制是一種閉環(huán)反饋控制［8，9］，α1是作為系統(tǒng)的控制輸入，因此設(shè)計(jì)目的是取合適的α1，使e2為零。
定義中間虛擬控制量為α1=ce1，c＞0。
選擇Lyapunov函數(shù)
設(shè)計(jì)傳統(tǒng)滑模面
利用Lyapunov法證明誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。選擇Lyapunov函數(shù)
這里F為所有不確定項(xiàng)之和。
為滿足˙V2＜0，取等效控制項(xiàng)
為補(bǔ)償一定干擾，滑模控制可增加切換控制項(xiàng)τvss，該項(xiàng)由系統(tǒng)慣性項(xiàng)、滑模面及符號(hào)函數(shù)等構(gòu)成。二關(guān)節(jié)剛性機(jī)器人反演滑模控制器設(shè)計(jì)為
其中τvss=-M-1h(s+ρsgn(s))，h和ρ為正的常數(shù)構(gòu)成的列向量。
所以，定理1得證。
3 多模型控制
多模型控制的機(jī)理是時(shí)刻檢測(cè)系統(tǒng)的性能指標(biāo)，從而選擇更為適合當(dāng)前環(huán)境的模型，并產(chǎn)生一個(gè)更為合適的控制信號(hào)。所以多模型控制可分成檢測(cè)部分和控制部分。
1)多模型控制的檢測(cè)部分。檢測(cè)部分由預(yù)先設(shè)定好的多個(gè)模型和切換機(jī)構(gòu)組成。多個(gè)模型的建立，一般是依據(jù)被控對(duì)象在不同的工作環(huán)境中(如溫度變化、外界擾動(dòng)等因素)對(duì)系統(tǒng)本身的影響有所不同，從而建立了多個(gè)適應(yīng)不同環(huán)境的模型。切換機(jī)構(gòu)的作用是決定哪個(gè)模型更適合當(dāng)前的被控對(duì)象，從而切換到那個(gè)模型上去。目前已有很多方法確定更為適合的當(dāng)前模型，即切換標(biāo)準(zhǔn)。應(yīng)用最多的是系統(tǒng)誤差最小法，即系統(tǒng)誤差最小的模型就是當(dāng)前最優(yōu)模型。
目前已有多種性能指標(biāo)函數(shù)用作切換標(biāo)準(zhǔn)，筆者結(jié)合文獻(xiàn)［10，11］選擇帶遺忘因子的 PID(Proportion-Integral-Differential)型性能指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上做一定的改進(jìn)，增加PID權(quán)值
加上遺忘因子是為了不斷減小老數(shù)據(jù)的權(quán)值，所以，之前的數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響將逐漸減少。
2)控制部分?？刂撇糠植捎梅囱莼？刂破?，即式(10)所示的控制器，控制部分整體框圖如圖2所示。控制器采用n個(gè)獨(dú)立的等效控制器ueq1，…，ueqn，每個(gè)控制器擁有不同的等效控制τeq的增益γ1，…，γn，且等效控制器的增益γ1，…，γn都是針對(duì)預(yù)先設(shè)計(jì)的模型單獨(dú)設(shè)計(jì)。其中輸入信號(hào)為關(guān)節(jié)位置信號(hào)q及其導(dǎo)數(shù)˙q。滑模面選擇傳統(tǒng)的線性滑模面s=ke1+e2，k＞0。模型1～模型n為預(yù)先設(shè)計(jì)的多關(guān)節(jié)機(jī)器人模型，與模型為并列關(guān)系。每個(gè)模型的輸出為關(guān)節(jié)位置向量及其導(dǎo)數(shù)向量，分別為q1，˙q1，…，qn，˙qn。當(dāng)性能指標(biāo)函數(shù)Ji(t)檢測(cè)到某時(shí)刻最小的輸出誤差時(shí)，系統(tǒng)選擇該誤差所對(duì)應(yīng)的模型。
圖2 機(jī)器人多模型控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Block diagram of multi-model back-stepping sliding mode control
4 仿真實(shí)例
采用二關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)作為仿真對(duì)象，動(dòng)態(tài)模型如下［12］
該仿真試驗(yàn)共采用3個(gè)模型，具體系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，控制器參數(shù)如表2所示。圖3為關(guān)節(jié)1、2的軌跡跟蹤圖，從圖3可以看出，即使增加較強(qiáng)的隨機(jī)干擾，關(guān)節(jié)也能很快跟蹤設(shè)定的軌跡。圖4～圖6分別為3個(gè)模型的控制輸入。
表1 二關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 The parameters of two-link robot
表2 控制器參數(shù)表Tab.2 The parameters of controllers
圖3 關(guān)節(jié)1、2的位置跟蹤輸入Fig.3 Desired and actual trajectory for joint 1 and 2
圖4 模型1的控制輸入Fig.4 Input applied to model 1
圖5 模型2的控制輸入Fig.5 Input applied to model 2
圖6 模型3的控制輸入Fig.6 Input applied to model 3
5 結(jié) 語(yǔ)
筆者針對(duì)當(dāng)今機(jī)器人控制熱點(diǎn)問(wèn)題提出了一種機(jī)器人多模型反演滑?？刂撇呗?，并對(duì)傳統(tǒng)多模型控制的PID型切換指標(biāo)進(jìn)行了改進(jìn)，形成了帶權(quán)值和遺忘因子的PID型切換指標(biāo)。針對(duì)傳統(tǒng)的反演控制中采用先前估計(jì)虛擬控制輸入作為當(dāng)前控制輸入的問(wèn)題，定義滑模面并得出虛擬控制輸入，從而消除了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模態(tài)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，簡(jiǎn)化了控制律，并應(yīng)用Lyapunov定理證明了所提方案的合理性。最后利用二關(guān)節(jié)機(jī)器人作為控制對(duì)象，仿真驗(yàn)證了控制方案的有效性。筆者的研究對(duì)多自由度機(jī)器人控制的推廣應(yīng)用也有一定的參考價(jià)值。
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