毛艷

（西安文理學(xué)院 陜西 西安710065）

冪律（power-law）來自上世紀(jì)20年代對于英語單詞頻率的分析，語言學(xué)家發(fā)現(xiàn)單詞使用的頻率和它的使用優(yōu)先度是一個常數(shù)次冪的反比關(guān)系。冪律描述的是這樣一組數(shù)據(jù)，其第n個位置的秩（rank）是第1個位置的秩的1/n。對于一個純冪律分布，第一位與第二位之間的差距要大于第二位與第三位之間的差距，以此類推。冪律的最顯著特征就是，等級越高則越不均衡[1]。冪律有兩個通俗的定律，一是“長尾”理論，另一個是馬太效應(yīng)。微博宣傳的影響力具有很大彈性，與內(nèi)容質(zhì)量高度相關(guān)。其影響力基于用戶現(xiàn)有的被“關(guān)注”的數(shù)量。用戶發(fā)布信息的吸引力、新聞性越強，對該用戶感興趣、關(guān)注該用戶的人數(shù)也越多，影響力越大[2]。為了對以微博為代表的新型虛擬社區(qū)網(wǎng)絡(luò)上的信息傳播規(guī)律進(jìn)行研究，更好地探討表達(dá)話題和用戶兩個維度的相互聯(lián)系和作用，本文采用超網(wǎng)絡(luò)的研究方法，結(jié)合超圖的數(shù)學(xué)理論，建立超網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，驗證了微博討論數(shù)符合冪律的結(jié)論。

1 相關(guān)工作

隨著Web2.0的普及和深入，用戶的主觀能動性在網(wǎng)絡(luò)信息傳播中的重要性大大提升。微博在近幾年剛剛興起，用戶數(shù)量與日俱增，成為重要的社交平臺。

微博，即微型博客（MicroBlog）的簡稱，是一個基于用戶關(guān)系信息分享、傳播以及獲取平臺。用戶可以通過WEB、WAP等各種客戶端組建個人社區(qū)，以140字左右的文字更新信息，并實現(xiàn)即時分享。中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心（CNNIC）于2013年7月17日發(fā)布《第32次中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計報告》，報告顯示，2013年上半年，中國微博用戶從2.02億增至2.29億，增長約2 700萬人。該《報告》指出，中國互聯(lián)網(wǎng)的普及率增至44.1%，較2012年增加2.0%。

輿論在虛擬社區(qū)的傳播屬于復(fù)雜的社會現(xiàn)象，存在著眾多的隨機因素，很難完全重現(xiàn)其演進(jìn)狀況。針對其多層次性和社區(qū)性，可采用超網(wǎng)絡(luò)的研究方法，為虛擬社區(qū)網(wǎng)絡(luò)建立由多端子網(wǎng)絡(luò)組成的超網(wǎng)絡(luò)模型[3]，并以超圖理論為基礎(chǔ)研究超網(wǎng)絡(luò)模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和數(shù)值特征。

2 建模研究

超大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)運行的復(fù)雜性較高,超網(wǎng)絡(luò)模型可用來描述和表示網(wǎng)絡(luò)之間的相互作用和影響[3]。超網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)架為研究網(wǎng)絡(luò)之間的相互作用和影響提供了工具。它可以用一些數(shù)學(xué)工具對網(wǎng)絡(luò)上的流量、時間等變量進(jìn)行定量的分析和計算[4]。

在微博這個網(wǎng)絡(luò)中，在已生成的超網(wǎng)絡(luò)中，新加入的一個用戶和已有的若干個舊用戶通過話題評論或轉(zhuǎn)發(fā)生成超邊。

1)初始化 :假設(shè)初始時超網(wǎng)絡(luò)有 m0個用戶，V1，V2，V3，VM0以及包含這 m0個用戶的一條超邊 E1={V1，V2，V3…VM0}

2)超邊增長：在t時間內(nèi)，每次進(jìn)入一個新的用戶V，與m(m

3)優(yōu)先連接:從已有的超網(wǎng)絡(luò)中的用戶按照概率優(yōu)先選取m個用戶，與新加入的用戶結(jié)合生成超邊。每次選取連接的用戶 i的概率dH(i)等于用戶 i的超度dH(i)與超網(wǎng)絡(luò)中的已有用戶 j的超度 dH(j)總和比，即:

其中 dH(i)等于包含用戶 i的超邊的個數(shù)。經(jīng)過 t時刻后，超網(wǎng)絡(luò)中有t+1條超邊，m0+t個用戶，所有用戶的超度總和為 m0+t(m+1)。圖1顯示了 m0=3，m=2時超網(wǎng)絡(luò)動態(tài)演化的過程。

圖1 超網(wǎng)動態(tài)演化過程示意圖Fig.1 Chematic diagram of super dynamic evolution process

采用以上的增長和優(yōu)先連接機制所生成的超圖，由于每個時間步內(nèi)生成一個新節(jié)點，和網(wǎng)絡(luò)中已有的m個用戶結(jié)合生成超邊，每條超邊中元素的個數(shù)皆為 m+1，所以得到的是(m+1)均勻超圖。

每個節(jié)點的超度為 1，在 t時間步完成后超網(wǎng)絡(luò)中共包含了 t+1條超邊，m0+t個節(jié)點。 每個時間步內(nèi)，新增加的節(jié)點與已有的m個節(jié)點結(jié)合生成一條新的超邊。在選擇舊節(jié)點i的過程中，節(jié)點i有1次被選中的概率大致為

其中 dH(i)表示為節(jié)點 i的超度。 再令 dH(t)表示在 t時間步結(jié)束時節(jié)點i的超度，而節(jié)點i是在第ti時刻加入網(wǎng)絡(luò)的，因此，根據(jù)連續(xù)場理論[5]，把 dH(t)看作連續(xù)動力學(xué)函數(shù)，節(jié)點i的超度dH(t)應(yīng)該近似的滿足下述動力學(xué)方程:

分母求和是在t時刻超網(wǎng)絡(luò)中所有已有節(jié)點的超度的總和，當(dāng) m0較小，t較大時我們可得

因此

每個節(jié)點加入超網(wǎng)絡(luò)中時節(jié)點的超度的初始值dH(ti)=1，則解上式方程可得

由于超網(wǎng)絡(luò)中加入超邊中的節(jié)點是隨機選擇的，因此節(jié)點具有超度dH的概率為

假設(shè)在相同的時間間隔，添加新的節(jié)點i，則i應(yīng)該在t個新加入的節(jié)點服從均勻分布，即 ti值具有常數(shù)的概率密度p(ti)=1/t,從而代入上式得

于是，網(wǎng)絡(luò)的瞬時超度分布PH（dh,t）為

此超網(wǎng)絡(luò)模型的超度分布是獨立于時間的。說明節(jié)點的超度分布和BA網(wǎng)絡(luò)一樣仍然符合冪率分布，可由冪指數(shù)的冪函數(shù)γ=2+1/m近似描述這個結(jié)果。

3 研究方法

本文對2013年11月12日18時約60 000條微博話題進(jìn)行采樣，統(tǒng)計這些話題至18日18時的參與討論的用戶數(shù)。將統(tǒng)計的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類匯總，以“討論數(shù)”為縱軸，“話題數(shù)”為橫軸，建立對數(shù)坐標(biāo)系，程序代碼如下：

clc;

clear;

file=’E:course et6wan.xls’;

[data text]=xlsread(file);

x=data(:,1);

y=data(;.2);

loglog(data(;,1),data(:,2),’r*’);

hold on;

figure(1);

title(‘distribution functio’);

xlabel(‘討論數(shù)’);

ylabel(‘話題數(shù));

x=log10(x);

y=log10(y);

a=polyfit(x,y,1);

x=min(x):0.01:max(x);

y=polyval(a,x);

用matlab繪出的散點圖[6]結(jié)果如2所示。

圖2 微博話題數(shù)與討論數(shù)散點分布圖Fig.2 Micro-blog topic numbers and discuss several scatter distribution

4 結(jié)論

用戶參與討論的微博話題數(shù)符合冪律分布。在微博的話題數(shù)較少的時候，即系統(tǒng)規(guī)模不是很大的時候，某一話題被討論概率與超度的關(guān)系并沒有明顯的優(yōu)先連接趨勢，表現(xiàn)為散亂的點；隨著話題數(shù)的不斷添加，由于在選擇加入話題時，仍然遵循按節(jié)點的超度優(yōu)先連接機制，所以對于參與討論人數(shù)較多的話題呈現(xiàn)出一定趨勢的優(yōu)先連接，表現(xiàn)為非線性形式。隨著時間的增加(網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大)，超邊的度與節(jié)點的超度優(yōu)先連接機制的相關(guān)性會變得越來越明顯，超邊度分布最終趨于冪律，驗證了微博話題的討論人數(shù)符合冪律分布。

[1]胡海波，王林.冪律分布研究簡史[J].物理,2005,12(1):81-87.HU Hai-Bo,WANG Lin.The research history of the powerlaw distribution[J].Physics,2005,12(1):81-87.

[2]喻國明.微博：一種新傳播形態(tài)的考察——影響力模型和社會性應(yīng)用[M].北京：人民日報出版社,2011.

[3]胡海波,王科,徐玲，等.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論在線社會網(wǎng)絡(luò)分析[J].復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2008,2(1):57-62.HU Hai-Bo,WANG Ke,Xu Ling,et al.Analysis of online social networks based on complex network theory[J].Complex Systems and Complexity Science,2008,2(1):57-62.

[4]王志平，王眾托.超網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2008.

[5]王建方.超圖的理論基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社,2006.

[6]卓金武.MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的作用[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2011.