崔 旭，尹為民

(海軍工程大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

隨著電力系統(tǒng)的發(fā)展，由于自然災(zāi)害、設(shè)備老化及眾多人為因素，發(fā)生電力系統(tǒng)故障不可避免，電力系統(tǒng)故障對人類的生產(chǎn)、生活及國民經(jīng)濟等都會造成巨大的影響和損失，實現(xiàn)對電能質(zhì)量實時分析和監(jiān)控的要求也日益迫切。但隨著電能質(zhì)量監(jiān)測系統(tǒng)不斷提升導(dǎo)致其采樣數(shù)據(jù)量非常大，數(shù)據(jù)向控制中心上傳時，會增加傳輸時間，降低數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃?。這使電能質(zhì)量信號的存儲和傳輸面臨巨大的挑戰(zhàn)。數(shù)據(jù)壓縮作為解決海量信息存儲和傳輸?shù)闹渭夹g(shù)受到人們的極大關(guān)注。

實際電力采樣數(shù)據(jù)的壓縮方法可分為無損壓縮；有損壓縮以及無損有損相結(jié)合三大類。無損壓縮算法主要有Huffman 編碼、LZ77和LZSS壓縮算法、LZ78和LZW壓縮算法、算術(shù)編碼算法以及游程編碼等。有損壓縮主要有預(yù)測編碼、脈沖編碼以及變換域編碼算法，如傅立葉變換編碼算法、離散余弦編碼算法、小波和小波包編碼算法等。目前基于小波變換的數(shù)據(jù)壓縮方法有:多分辨率分析方法、小波(包)變換、最優(yōu)小波包基、提升小波變換、多小波、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等[6]。

基于小波變換的圖像壓縮編碼模型一般包含3個部分。首先，利用二維Mallat分解算法對原始圖像進行分解，假設(shè)分解成M層，則得到3M個高頻子圖與一個低頻子圖。其次，由于小波變換系數(shù)在幅度上還是連續(xù)的，需要對小波變換系數(shù)進行量化，其被量化以后產(chǎn)生符號流的每一個符號是對應(yīng)特定量化階層的標記，信息的損失一般發(fā)生在量化級；最后，由熵編碼把量化得到的符號流表示為比特流，以達到壓縮數(shù)據(jù)的目的。

1 小波的雙正交分解方法及EZW編碼

1.1 雙正交多分辨分析

(1)

上式也稱為雙正交條件。

在雙正交的多分辨分析下，雙尺度方程表示為

(2)

(5)

1.2 EZW算法

EZW[2]的全稱是“embedded coding using zerotrees of wavelet coefficients”(用小波系數(shù)的零樹進行嵌入式編碼)。對圖像進行二維小波變換之后，各子帶之間的數(shù)據(jù)可以看成是一個樹狀結(jié)構(gòu)。實驗表明：如果在粗尺度下(即圖像分解的高層)小波系數(shù)相對于給定閾值T來說不顯著，則在較細尺度(即圖像分解的較低層)下的同一個空間位置上，相同方向的所有小波系數(shù)相對于T來說都很可能不顯著。EZW算法通過多遍掃描編碼圖像，其中每遍掃描都包含以下的處理步驟：1)選擇閾值；2)小波系數(shù)與閾值Ti-1進行比較確定重要系數(shù)；3)對重要系數(shù)進行量化；4)重新排序；5)輸出編碼信號。多次循環(huán)掃描后完成算法。

2 實驗數(shù)據(jù)分析

電能質(zhì)量信號是一種周期信號，其波形呈現(xiàn)某種相似性，因而是一種冗余度較大、而信息熵較小的信號，從理論上來講，應(yīng)該具有較大的壓縮比。以往的一維數(shù)據(jù)壓縮方法大都沒有考慮到這種周期間冗余特性，因而壓縮比受到很大的限制，而使用二維壓縮方法可以消除周期之間的空間冗余[3]。本文算法的核心思想是將電能質(zhì)量信號按基頻周期分段組成二維矩陣，用電能質(zhì)量信號幅度值表示為圖像的灰度值，利用小波變換對信號進行分解，再利用小波系數(shù)的零樹進行嵌入式編碼，最終達到理想的壓縮比。

以電壓信號X(n)=Acos(100nTs)+0.03Acos(300nTs)+0.05Acos(500nTs)+0.03Acos(700nTs)為例，其中A=222,信號中含有3，5，7次諧波，每個周期采樣256個點，圖2為采樣8個周期的圖像。每組信號長度為256 個周期，以每個周期256 個采樣點作為二維矩陣的一行即可構(gòu)成一個 256×256的二維矩陣。通?？捎枚M制數(shù)字有限的精度來代表實數(shù)，即所有的實數(shù)都可以用一串二進制數(shù)字來表示，二進制數(shù)字表達式的右端每添加一位長，都會取得更好的精度。這樣，在允許的精度誤差內(nèi)，可以取有限的位長來表示信號的幅值。由此為了驗證方便，本文實驗中將原始數(shù)據(jù)統(tǒng)一保存為無壓縮的16位灰度位圖格式，如圖2所示(16位/樣本)。

圖1 實驗信號波形Fig.1 Experimental signal waveform

圖2 實驗數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二維灰度圖Fig.2 The two-dimensional gray scaleconverted by power quality data

3 小波性質(zhì)對電能質(zhì)量數(shù)據(jù)壓縮的影響

S.Mallat曾指出，在數(shù)據(jù)壓縮、信號去噪及快速計算等大多數(shù)小波應(yīng)用中，主要利用小波基可以用較少非零小波系數(shù)去有效逼近實際函數(shù)的能力，選擇小波基應(yīng)該是以最大量的產(chǎn)生接近于0的小波系數(shù)為最優(yōu)[4]。小波基的這種能力主要依賴于其數(shù)學(xué)特性：消失距、正則性、緊支性、對稱性和正交性等。下面就這5個方面討論其對數(shù)據(jù)壓縮的影響。

1)正交性、緊支性、對稱性

這3個性能可以放在一起進行討論。因為大部分正交小波基無限支集,與此相聯(lián)系的濾波器也是無限沖擊相應(yīng)(非緊支)，但自從Daubechies構(gòu)造了緊支集的正交小波基,便可以用濾波器分解圖像。若用小波來表示圖像,除了正交性的要求之外,還希望小波光滑,因為圖像大部分是光滑的(除少數(shù)邊緣外)。而且要求小波對應(yīng)的濾波器的長度應(yīng)盡可能短,以便加快運算速度。但較短的濾波器對應(yīng)的光滑度就小,二者互相矛盾。同時,希望濾波器是線性的,這樣它在形成錐形數(shù)據(jù)時不需要相位補償就能精確重建原圖。為了解決正交性和對稱性的矛盾,Cohenet等人把雙正交小波引進了信號處理,即它有2個小波,Ψ和它的對偶小波Ψ。雙正交小波降低了正交性的要求,保留了正交小波的一部分正交性,使之可達到相位保持及較短濾波器的要求。

2)正則性

指時間連續(xù)的小波Ψ(x)至少是連續(xù)的,是一階或二階連續(xù)可微。如果一個濾波器組正交,且收斂于具有緊支集的連續(xù)函數(shù)Ψ(x),我們說這些濾波器正則(regular)。離散小波變換與一般的子帶分解的區(qū)別除外觀上和解釋說明不一樣外,重要區(qū)別就在于小波濾波器必須正則。對小波濾波器,極限函數(shù)Ψ(x)的正則性越好,收斂于該極限就越快。

3)消失矩

其大小決定了用小波逼近光滑函數(shù)時的收斂率。當(dāng)圖像光滑時,越大的消失矩將導(dǎo)致越小的小波系數(shù),壓縮比就有可能提高;而對不光滑的圖像,將會有更多大的小波系數(shù)。因為一維電能質(zhì)量信號變換出的二維矩陣，其圖像相當(dāng)光滑，所以消失距才是提高電能質(zhì)量數(shù)據(jù)的壓縮比的主要影響因素。

消失距、正則性、緊支性、對稱性和正交性對數(shù)據(jù)壓縮的具體影響如圖3所示。

圖3 消失距、正則性、緊支性、對稱性和正交性對數(shù)據(jù)壓縮的影響Fig.3 The impact of the vanishing moment,the regularity properties, the compact support,the symmetry and the orthogonally to the data compressed

4 實驗小波的構(gòu)造

參照上面幾點,現(xiàn)設(shè)計分解端消失矩為6, 而重構(gòu)端消失矩為4的小波[5], 在雙正交的多分辨分析下，雙尺度方程表示為

(6)

(8)

求得它們的解是:

(9)

根據(jù)雙正交情形的濾波器設(shè)計的算法，濾波器對構(gòu)成的極小矩陣(Minimal Matirx)的階數(shù)是18。于是構(gòu)造一個18階的2-循環(huán)矩陣，可以獲得一個方程組如下：

(10)

以上方程組是一個非線性方程組，可以使用Matlab得到如下2組解。

abtuvwx06360469-0337150810417948-04887598-00770234-001124030056126003826386-0242786318766971-06674903-051447120167490300761226

所以可以得到兩組9/11(這里指對應(yīng)的濾波器的長度)濾波器。

0±1±2±3±4±5hi1-1327025-047198703637860118434-0053827h i1054113303433520061156000028000218310009922hi207366600345605-005446400079480039687h i208995060476803-0093505-0136706-00026950013457

上面第2組9/11小波的圖像如圖4所示。通過圖形可以看出, 第2組的數(shù)學(xué)性質(zhì)更好, 其壓縮效果也更好。

5 仿真結(jié)果

5.1 評價的標準

開發(fā)和實現(xiàn)有損圖像壓縮要有一種標準度量，用來衡量與原始圖像相比較的重建圖像的質(zhì)量。采用均方誤差(MSE)、峰值信噪比(PSNR)、壓縮比(CR)、像素位數(shù)(BPP)作為壓縮性能的度量，其中像素位數(shù)指的是編碼一個像素點所需要的比特位(Bit-Per-Pixel)。設(shè)圖像和重建圖像的像素分別表示為f(j,k)和f^(j,k)(其中1≤i≤n)其他3個指標定義如下：

均方誤差

峰值信噪比

壓縮比

CR=ScompressedSoriginal。

式中：Scompressed為壓縮后信號數(shù)據(jù)大?。籗original為原始數(shù)據(jù)大小。

5.2 不同小波壓縮性能的比較

利用9/11小波與EZW算法相結(jié)合，對前文所述的諧波信號進行壓縮仿真，即先進行小波分解，再將分解系數(shù)矩陣通過EZW進行熵編碼。影響實驗結(jié)果的有3個因素：1)小波的選擇，2)小波分解的層數(shù)，3)EZW算法的循環(huán)次數(shù)。而在實際應(yīng)用中，需要考慮在盡可能提高壓縮比率的情況下，盡量滿足實時性。在使用相同小波的情況下，小波分解層數(shù)的大小影響最終壓縮比，EZW算法的循環(huán)次數(shù)影響編碼重建圖像的質(zhì)量。目前，DSP 的運算速度已達百兆以上，經(jīng)過測試對256×256的二維矩陣進行5層小波分解計算，消耗時間在468～524 ms之間，因此從數(shù)量級的角度來看5層小波分解完全能夠滿足對電能質(zhì)量監(jiān)測網(wǎng)的實時性要求，同理分析將EZW算法的循環(huán)次數(shù)選為6次。表1列出了相應(yīng)的仿真結(jié)果。

表1采用不同小波基的數(shù)據(jù)壓縮結(jié)果

Tab.1 The data compression results using different wavelet

MSEMaxErrorPSNRBPPCR/%9/1121562447900252032Haar201634250900508063Db428114336400254032Sym3490914312200228029Bior33456512315400235029

由表1可以看出，雖然Sym3與Bior3.3小波可以達到最低的壓縮比，但是綜合考慮重建數(shù)據(jù)準確率的情況下，其性能不夠優(yōu)秀。現(xiàn)對MSE差距最大的2個小波9/11小波與Haar小波進行簡要分析。圖5為采用Haar小波進行二維小波變換后的圖像，圖6為其對應(yīng)的直方圖。圖7為采用9/11小波進行二維小波變換后的圖像，圖8為其對應(yīng)的直方圖。

圖5 二維電能質(zhì)量信號經(jīng)過haar小波分解后的圖像(5層)Fig.5 The haar wavelet decomposition of the image of the two-dimensional power quality signal(5layer)

圖6 二維電能質(zhì)量信號Haar小波分解后的圖像的直方圖(5層)Fig.6 The haar wavelet decomposition of the histogram of the two-dimensional power quality signal(5layer)

圖7 二維電能質(zhì)量信號經(jīng)過9/11小波分解后的圖像(5層)Fig.7 The 9/11 wavelet decomposition of the image of the two-dimensional power quality signal(5layer)

圖8 二維電能質(zhì)量信號9/11小波5層分解后的圖像的直方圖(5層)Fig.8 The 9/11 wavelet decomposition of the histogram of the two-dimensional power quality signal(5layer)

由圖5～圖8可以看出，2種小波對二維電能質(zhì)量信號進行小波變換后圖像的直方圖有很大差異，采用9/11小波的直方圖更集中，而采用haar小波的直方圖存在相對比較的非零點。因為小波變換后系數(shù)的零點越多，越能達到更高的壓縮比，這也是消失距這一屬性對壓縮性能影響的很好體現(xiàn)。圖9顯示了相應(yīng)小波還原后圖像與原圖像的對比。

圖9 重建圖像與原始圖像對比Fig.9 Reconstruction of the image with the original image contrast

5.3 實驗結(jié)果誤差分析

經(jīng)過以上實驗可知，二維電能質(zhì)量諧波信號采用9/11雙正交小波分解與EZW算法相結(jié)合的壓縮方法可以達到0.32%的壓縮率(小波分解層數(shù)為5，EZW算法循環(huán)層數(shù)為6)。圖10和圖11就解壓信號與原信號的相對誤差進行了分析，因為信號是多周期的采樣數(shù)據(jù)，所以只需觀測第1周期的相對誤差。

圖10 二維相對誤差Fig.10 Two-dimensional relative error

圖11 壓縮信號與原信號的相對誤差(第1周期)Fig.11 Relative error of the compressed signal and the original signal(first cycle)

圖12 原始信號與解壓信號對比圖(第1周期)Fig.12 The original signal and the decompressed signal contrast(first cycle)

從圖中可以看到，經(jīng)過壓縮還原的信號的精度完全滿足要求。圖12為還原信號與原始信號的對比圖。

6 結(jié) 語

在分析現(xiàn)有電能質(zhì)量擾動數(shù)據(jù)壓縮算法的基礎(chǔ)上，為了充分利用二維矩陣數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，采用二維電能質(zhì)量數(shù)據(jù)與EZW編碼方法相結(jié)合的壓縮轉(zhuǎn)換方案。在分析了小波的數(shù)學(xué)特性(消失距、正則性、緊支性、對稱性和正交性)各方面對數(shù)據(jù)壓縮的影響后，將9/11小波用于電能質(zhì)量數(shù)據(jù)的壓縮試驗，在對數(shù)據(jù)進行5層二維小波分解并且EZW編碼算法循環(huán)次數(shù)為6的條件下，在滿足誤差精度的前提下，達到了0.32%的壓縮比。仿真證明此種方法可以有效壓縮電能質(zhì)量的諧波數(shù)據(jù)，并且滿足實時性要求。此外，因為二維數(shù)據(jù)壓縮可以極大壓縮周期間數(shù)據(jù)的冗余度，所以如果加長采樣周期，如每個周期采樣256點，采樣512個周期組成256×512的矩陣，通過這種方式可以進一步提高壓縮比。

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