張景中

三角形中的一個(gè)點(diǎn)，居然導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)學(xué)家致電幾何學(xué)家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數(shù)學(xué)家得出很多不平凡的結(jié)論，這里面真的暗藏玄機(jī)？一個(gè)小小的圖形，卻是數(shù)學(xué)家的萬(wàn)花筒，只要稍微一動(dòng)，就會(huì)綻放光彩，如果信手拆開(kāi)，原來(lái)只不過(guò)是幾片涂有顏色的紙片而已……

一天，幾何學(xué)家佩多教授接到了某位經(jīng)濟(jì)學(xué)家打來(lái)的電話. 這位經(jīng)濟(jì)學(xué)家向他請(qǐng)教：如果正三角形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P，那么，不管P的位置在三角形內(nèi)如何變動(dòng)，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？

佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù). 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其實(shí)，那位經(jīng)濟(jì)學(xué)家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個(gè)初中二年級(jí)的學(xué)生就能給他滿意的答復(fù)，因?yàn)檫@個(gè)題目常常被選為平面幾何的習(xí)題！不過(guò)，它當(dāng)初還是數(shù)學(xué)家維維安尼的一條定理呢！

但是，這個(gè)小小的習(xí)題卻啟發(fā)我們：從平凡的事實(shí)出發(fā)，有時(shí)a能得到并不平凡的結(jié)論.

不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實(shí)和另一個(gè)平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結(jié)合，便得出一個(gè)有趣的結(jié)論.

就在三角形內(nèi)隨便放一個(gè)點(diǎn)，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當(dāng)然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面這個(gè)題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數(shù)學(xué)家想到了面積比，于是出了一些競(jìng)賽題 .

也許你不曾想到，三角形內(nèi)的這個(gè)點(diǎn)也是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)某些有名結(jié)論的源泉呢.

17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出過(guò)這么一個(gè)問(wèn)題：已知平面上有D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)，尋求一點(diǎn)P，使（PD+PE+PF）最小.

事實(shí)上，在圖1中，如果D，E，F(xiàn)恰巧是某個(gè)正三角形三邊上的點(diǎn)，當(dāng)PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時(shí)，P就是所要求的點(diǎn).

不信，另選一點(diǎn)Q比比看. （QD+QE+QF）當(dāng)然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會(huì)更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

這就表明P到D，E，F(xiàn)距離之和比任意另一點(diǎn)到這三點(diǎn)的距離都??！

如何確定點(diǎn)P呢？在圖1中，因?yàn)椤螧AC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個(gè)正三角形的外接圓交于不同于E的點(diǎn)P. 因?yàn)椤螪PE與∠S互補(bǔ)，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當(dāng)然∠DPF也是120°. 過(guò)D，E，F(xiàn)分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.

這樣，費(fèi)馬的問(wèn)題就被解決了，這是卡瓦利列首先發(fā)現(xiàn)的方法.

要補(bǔ)充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點(diǎn)便不會(huì)落在△DEF之內(nèi)，這時(shí)，P應(yīng)當(dāng)取在E點(diǎn).

三角形中一個(gè)點(diǎn)，這樣簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的圖形變出了多少花樣啊！數(shù)學(xué)家眼里，一個(gè)基本圖形就像孩子手里的萬(wàn)花筒，稍一轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)出現(xiàn)一種美麗的花朵圖案. 但拆開(kāi)來(lái)，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint

三角形中的一個(gè)點(diǎn)，居然導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)學(xué)家致電幾何學(xué)家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數(shù)學(xué)家得出很多不平凡的結(jié)論，這里面真的暗藏玄機(jī)？一個(gè)小小的圖形，卻是數(shù)學(xué)家的萬(wàn)花筒，只要稍微一動(dòng)，就會(huì)綻放光彩，如果信手拆開(kāi)，原來(lái)只不過(guò)是幾片涂有顏色的紙片而已……

一天，幾何學(xué)家佩多教授接到了某位經(jīng)濟(jì)學(xué)家打來(lái)的電話. 這位經(jīng)濟(jì)學(xué)家向他請(qǐng)教：如果正三角形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P，那么，不管P的位置在三角形內(nèi)如何變動(dòng)，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？

佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù). 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其實(shí)，那位經(jīng)濟(jì)學(xué)家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個(gè)初中二年級(jí)的學(xué)生就能給他滿意的答復(fù)，因?yàn)檫@個(gè)題目常常被選為平面幾何的習(xí)題！不過(guò)，它當(dāng)初還是數(shù)學(xué)家維維安尼的一條定理呢！

但是，這個(gè)小小的習(xí)題卻啟發(fā)我們：從平凡的事實(shí)出發(fā)，有時(shí)a能得到并不平凡的結(jié)論.

不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實(shí)和另一個(gè)平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結(jié)合，便得出一個(gè)有趣的結(jié)論.

就在三角形內(nèi)隨便放一個(gè)點(diǎn)，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當(dāng)然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面這個(gè)題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數(shù)學(xué)家想到了面積比，于是出了一些競(jìng)賽題 .

也許你不曾想到，三角形內(nèi)的這個(gè)點(diǎn)也是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)某些有名結(jié)論的源泉呢.

17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出過(guò)這么一個(gè)問(wèn)題：已知平面上有D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)，尋求一點(diǎn)P，使（PD+PE+PF）最小.

事實(shí)上，在圖1中，如果D，E，F(xiàn)恰巧是某個(gè)正三角形三邊上的點(diǎn)，當(dāng)PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時(shí)，P就是所要求的點(diǎn).

不信，另選一點(diǎn)Q比比看. （QD+QE+QF）當(dāng)然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會(huì)更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

這就表明P到D，E，F(xiàn)距離之和比任意另一點(diǎn)到這三點(diǎn)的距離都小！

如何確定點(diǎn)P呢？在圖1中，因?yàn)椤螧AC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個(gè)正三角形的外接圓交于不同于E的點(diǎn)P. 因?yàn)椤螪PE與∠S互補(bǔ)，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當(dāng)然∠DPF也是120°. 過(guò)D，E，F(xiàn)分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.

這樣，費(fèi)馬的問(wèn)題就被解決了，這是卡瓦利列首先發(fā)現(xiàn)的方法.

要補(bǔ)充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點(diǎn)便不會(huì)落在△DEF之內(nèi)，這時(shí)，P應(yīng)當(dāng)取在E點(diǎn).

三角形中一個(gè)點(diǎn)，這樣簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的圖形變出了多少花樣??！數(shù)學(xué)家眼里，一個(gè)基本圖形就像孩子手里的萬(wàn)花筒，稍一轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)出現(xiàn)一種美麗的花朵圖案. 但拆開(kāi)來(lái)，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint

三角形中的一個(gè)點(diǎn)，居然導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)學(xué)家致電幾何學(xué)家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數(shù)學(xué)家得出很多不平凡的結(jié)論，這里面真的暗藏玄機(jī)？一個(gè)小小的圖形，卻是數(shù)學(xué)家的萬(wàn)花筒，只要稍微一動(dòng)，就會(huì)綻放光彩，如果信手拆開(kāi)，原來(lái)只不過(guò)是幾片涂有顏色的紙片而已……

一天，幾何學(xué)家佩多教授接到了某位經(jīng)濟(jì)學(xué)家打來(lái)的電話. 這位經(jīng)濟(jì)學(xué)家向他請(qǐng)教：如果正三角形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P，那么，不管P的位置在三角形內(nèi)如何變動(dòng)，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？

佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù). 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其實(shí)，那位經(jīng)濟(jì)學(xué)家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個(gè)初中二年級(jí)的學(xué)生就能給他滿意的答復(fù)，因?yàn)檫@個(gè)題目常常被選為平面幾何的習(xí)題！不過(guò)，它當(dāng)初還是數(shù)學(xué)家維維安尼的一條定理呢！

但是，這個(gè)小小的習(xí)題卻啟發(fā)我們：從平凡的事實(shí)出發(fā)，有時(shí)a能得到并不平凡的結(jié)論.

不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實(shí)和另一個(gè)平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結(jié)合，便得出一個(gè)有趣的結(jié)論.

就在三角形內(nèi)隨便放一個(gè)點(diǎn)，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當(dāng)然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面這個(gè)題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數(shù)學(xué)家想到了面積比，于是出了一些競(jìng)賽題 .

也許你不曾想到，三角形內(nèi)的這個(gè)點(diǎn)也是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)某些有名結(jié)論的源泉呢.

17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出過(guò)這么一個(gè)問(wèn)題：已知平面上有D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)，尋求一點(diǎn)P，使（PD+PE+PF）最小.

事實(shí)上，在圖1中，如果D，E，F(xiàn)恰巧是某個(gè)正三角形三邊上的點(diǎn)，當(dāng)PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時(shí)，P就是所要求的點(diǎn).

不信，另選一點(diǎn)Q比比看. （QD+QE+QF）當(dāng)然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會(huì)更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

這就表明P到D，E，F(xiàn)距離之和比任意另一點(diǎn)到這三點(diǎn)的距離都??！

如何確定點(diǎn)P呢？在圖1中，因?yàn)椤螧AC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個(gè)正三角形的外接圓交于不同于E的點(diǎn)P. 因?yàn)椤螪PE與∠S互補(bǔ)，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當(dāng)然∠DPF也是120°. 過(guò)D，E，F(xiàn)分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.

這樣，費(fèi)馬的問(wèn)題就被解決了，這是卡瓦利列首先發(fā)現(xiàn)的方法.

要補(bǔ)充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點(diǎn)便不會(huì)落在△DEF之內(nèi)，這時(shí)，P應(yīng)當(dāng)取在E點(diǎn).

三角形中一個(gè)點(diǎn)，這樣簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的圖形變出了多少花樣?。?shù)學(xué)家眼里，一個(gè)基本圖形就像孩子手里的萬(wàn)花筒，稍一轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)出現(xiàn)一種美麗的花朵圖案. 但拆開(kāi)來(lái)，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint