馬小霞，顏曉琳，陳汝棟

（1.焦作大學(xué) 基礎(chǔ)部，河南焦作 454003；2.天津工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300387）

二維變系數(shù)拋物型方程的一個高階ADI差分格式

馬小霞1，顏曉琳2，陳汝棟2

（1.焦作大學(xué) 基礎(chǔ)部，河南焦作 454003；2.天津工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300387）

針對二維變系數(shù)拋物型方程，構(gòu)造出了一個高精度、恒穩(wěn)定的交替方向隱式（ADI）差分格式，格式的截斷誤差階達O（τ2+h4）.通過數(shù)值實驗，驗證了理論分析的正確性和差分格式的精確性與有效性.

拋物型方程；ADI格式；截斷誤差；恒穩(wěn)定

拋物型方程在處理廢料污染、滲透、驅(qū)動、海水入侵以及半導(dǎo)體等工程實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，因此研究其高精度、高穩(wěn)定和計算量較小的數(shù)值解法具有重要的意義.用有限差分方法研究這類問題的數(shù)值方法目前已做了許多工作[1-5].但這些工作大多是對常系數(shù)而言的.文獻[4]中對二維變系數(shù)拋物型方程數(shù)值方法僅對系數(shù)依賴于一個變量的情況進行了研究，本文的研究是對系數(shù)依賴于兩個變量的情形進行的.應(yīng)用Taylor展開、算子方法[6]以及粘結(jié)系數(shù)法[7]得到了一個高精度（截斷誤差階達O（τ2+h4））、恒穩(wěn)定的ADI格式.格式的建立和穩(wěn)定性分析都比文獻 [4]簡單得多，文末的數(shù)值實驗證明了本文理論分析的正確性和所得格式的精確性與有效性.

1 差分格式的建立

考慮如下的二維變系數(shù)非齊次拋物型方程初邊值問題

其中：0＜c1≤a（x，y）≤c2；Γ為Ω的邊界.

設(shè)τ=Δt=T/N為時間步長，h=Δx=Δy=1/M為空間步長，N、M均為正整數(shù).表示在節(jié)點（jh， kh，nτ）處的網(wǎng)函數(shù)值，微分方程問題（1）—（3）的解函數(shù)為u（x，y，t），并記u（jh，kh，nτ）=u（j，k，n），由Taylor展開式

在（j，k，n+1）處考慮方程（1），根據(jù)粘結(jié)系數(shù)法[7]有

適當選取這些參數(shù)使得式（9）—式（11）成立.由于

即式（9）—式（11）的3個式子均成立，由式（8）、（14）、（16）和（17）得：

2 穩(wěn)定性分析

為對格式（22）—（23）進行穩(wěn)定性分析，可將過渡層變量消去，即得格式（19），故兩格式有相同的截斷誤差和穩(wěn)定性質(zhì).

因為差分格式關(guān)于初值穩(wěn)定一定可以推出關(guān)于右端穩(wěn)定，故只對齊次格式進行討論，根據(jù)穩(wěn)定性分析的Fourier方法[21]，令

將上式代入格式（19）式的齊次形式中，經(jīng)計算整理，并利用關(guān)系式

由s1的取值范圍可知，

所以|G（s1，s2）|根據(jù)Von neumann條件知格式（19）也即格式（22）—（23）恒穩(wěn)定.綜合上節(jié)與本節(jié)的論述，并根據(jù)Lax的穩(wěn)定性與收斂性等價原理可得：

定理 本文的ADI格式恒穩(wěn)定且以o（τ2+h4）的收斂階收斂.

3 數(shù)值實驗

在區(qū)域D：{0≤x，y≤1，t≥0}上對初值邊問題

用本文格式求數(shù)值解并與精確解u（x，y，t）=e-2tsin（x+y），相比較，取h=1/10，τ=rh2=r/100，r=1/2計算到n=200時的結(jié)果如表1所示.

表1 各種算法計算結(jié)果與精確解數(shù)值比較表Tab.1 Comparative table of algorithms results and exact numerical solutions

由表1結(jié)果看出，對所取的r，本文格式解與精確解均有很好的吻合，這與理論分析完全一致.

4 結(jié)束語

本文構(gòu)造了二維變系數(shù)拋物型方程的ADI格式，數(shù)值例子表明，它具有易于計算（能三對角追趕法求解）、精度高（較現(xiàn)有格式）、無條件穩(wěn)定等特點.本文構(gòu)造出的格式可以推廣到任意維變系數(shù)拋物型方程，對當前關(guān)于變系數(shù)拋物型方程差分格式的構(gòu)造與研究有重要的理論和實踐意義.

[1]DAI Weizhong，NASSAR Raja.A Second-order ADI scheme for three-dimensional parabolic differential equations[J].Numer Math，1964（6）：428-453.

[2]DAI Weizhong，NASSAR Raja.Compact ADI method for solving parabolic differential equations[J].Numer Methods Partial Differential Eq，2002（18）：129-142.

[3] 孫志忠，李雪玲.反應(yīng)擴散方程的緊交替方向差分格式[J].計算數(shù)學(xué)，2005，19（2）：209-224.

[4] 孫志忠，李雪玲.二維變系數(shù)反應(yīng)擴散方程的緊交替方向差分格式[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2006，28（1）：83-95.

[5] 馬菊意，楊輝.二維拋物型方程的一個高精度PC格式[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，25（2）：373-376.

[6]余德浩，湯華中.微分方程數(shù)值解法[M].北京：科學(xué)出版社，2003：102-174.

[7] 戴嘉尊，邱建賢.微分方程數(shù)值解法[M].南京：東南大學(xué)出版社，2003：91-93

[8]李立康，於崇華，朱政華.微分方程數(shù)值方法[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1999：208-213.

A high accuracy ADI difference scheme for solving two-dimension variable coefficients parabolic equation

MA Xiao-xia1，YAN Xiao-lin2,CHEN Ru-dong2
（1.Department of Basic Course，Jiaozuo University，Jiaozuo 454003，China；2.School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

A high accuracy alternation direction implicit scheme(ADI)for solving the two-dimensional parabolic equations is presented,and the scheme is absolutely stable and the truncation error is O（τ2+h4）.The experiments show the scheme is effective and advantage，and the theory is right by a numerical example.

parabolic equation；ADI difference scheme；truncation error；absolutely stable

O241.82

A

1671-024X（2014）01-0077-04

2013-05-31

國家自然科學(xué)基金（11071279）；河南省教育廳自然科學(xué)基礎(chǔ)研究基金（2008B110016）

馬小霞（1969—），女，碩士，講師.

陳汝棟（1956—），男，教授，碩士生導(dǎo)師.E-mail：chenrd@tjpu.edu.cn