山西醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計教研室（030001） 喬 楠 梁洪川 張海霞 趙俊琴 王 聰 王 彤

半相依Poisson回歸模型及其在衛(wèi)生服務需求調查中的應用*

山西醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計教研室（030001） 喬 楠 梁洪川 張海霞 趙俊琴 王 聰 王 彤△

半相依回歸（seemingly unrelated regression，SUR）也稱為似乎不相關回歸，它基于多元回歸模型，在參數(shù)估計過程中考慮了方程間的相關性信息，改進了方程的估計效率。1962年Zellner首次將其運用在線性模型框架中［1］，1975年Gallant將半相依線性回歸擴展到非線性［2］，許多學者的不斷深入研究使其在經濟、醫(yī)學、工業(yè)和社會科學等多個領域得到廣泛運用和發(fā)展。

在國內醫(yī)學領域中，關于SUR已經在應變量與自變量間為線性或非線性關系時進行了理論方法的探討和應用［3-4］。但在實際應用中有時會遇到結果變量為多個離散變量計數(shù)資料的情況，例如在經濟計量學研究中，管理者可能會對經濟主體同時作出的多元離散經濟決策感興趣；在醫(yī)療衛(wèi)生領域內，醫(yī)務工作者希望了解某種疾病的多個離散指標的相互關系及其影響因素。統(tǒng)計領域內對因變量為多元連續(xù)分布資料的研究由來已久，但對因變量為多元離散分布資料的應用相對較少。本文針對多元離散變量計數(shù)資料，以澳大利亞衛(wèi)生服務需求問題為例，擬合半相依Poisson回歸模型，闡明半相依廣義線性模型的原理與方法，同時完成R軟件實現(xiàn)，為多元離散數(shù)據(jù)分析提供一種參考。

模型原理與方法

1.基本模型

（1）半相依廣義線性模型

半相依廣義線性模型（seemingly unrelated generalized linearmodel）從模型結構上與多元廣義線性模型相比，只在于半相依模型中某些方程的某些解釋變量對應的回歸系數(shù)為0。由此，我們可以考慮對多元廣義線性模型的參數(shù)進行限制，使得對應的回歸系數(shù)為0，從而將多元廣義線性模型推廣到半相依廣義線性模型。

其表示形式，記為

其中yi為（n×1）向量，對應于yi的n個觀測值；Z為由n個觀測和k個不同的解釋變量構成的（n×k）矩陣；Hi是以0或1為元素的（k×ki）階選擇矩陣（或稱為限制矩陣）；βi為（ki×1）未知參數(shù)向量；ei＝（e1i，e2i，…，eni）為（n×1）隨機誤差向量。

（2）Poisson回歸模型

Poisson回歸屬廣義線性模型指數(shù)分布族，其模型連接函數(shù)多采用對數(shù)函數(shù)。Poisson回歸模型的一般形式可寫為

其中因變量yi服從參數(shù)為λi的Poisson分布：xi表示某一事件觀測的發(fā)生數(shù)，βi是解釋向量xi對應的回歸系數(shù)。

（3）半相依Poisson回歸模型

在因變量為離散變量的半相依廣義線性回歸中，當各方程自變量均相同時其廣義最小二乘估計仍優(yōu)于分別對各方程進行估計的傳統(tǒng)方法，因此我們可首先使用多元Poisson回歸擬合模型，然后剔除參數(shù)為零的自變量，再擬合半相依廣義線性回歸模型。

2.參數(shù)估計

半相依回歸模型的參數(shù)估計方法是由多元回歸模型中推廣而來。在多元回歸模型中，給定樣本Y＝（y1，…，yn），我們可以寫出yi的記分函數(shù)

兩者有關系F（β）＝E（Fobs（β）），當聯(lián)接函數(shù)取自然聯(lián)接函數(shù)時F（β）＝Fobs（β）。令記分函數(shù)s（β）＝0可得參數(shù)的漸近正態(tài)估計由于此處的似然方程通常都是非線性的，所以方程的解必須借助迭代法。給定某初值Fisher記分迭代法的公式為

對于半相依廣義線性模型，將模型誤差的方差-協(xié)方差矩陣Wi作為權重，采用迭代最小二乘估計方法，參數(shù)估計的準則是極小化以下目標函數(shù)

采用迭代最小二乘法可使我們很方便地使用線性回歸中的已有程序。在F（β）滿足正定的情況下，通常迭代只需進行幾次即可收斂。當不收斂的情況出現(xiàn)，一般是由于初值選擇不理想所致，或者是由于在假定的參數(shù)空間中不存在極大似然值。對于前一種情況可變換初值，多試幾次，或者采用修正迭代法依次取λ＝1，0.9，…，0.5，直到獲得收斂；對于后一種，則要懷疑模型設定的合理性了。

實例分析

數(shù)據(jù)來自于1977-1978年澳大利亞衛(wèi)生服務調查資料［7］，為探討衛(wèi)生服務需求情況，收集了5190位居民的兩周就診數(shù)和兩日處方數(shù)的數(shù)據(jù)，欲分析兩日就診數(shù)和兩日處方數(shù)與性別、年齡、年收入和是否參保的關系。

通常，兩日就診數(shù)和兩日處方數(shù)可假定服從Poisson分布，所以可以使用Poisson回歸模型擬合數(shù)據(jù)。從邏輯上兩日就診數(shù)和兩日處方數(shù)存在相關關系，因此，我們可以使用兩因變量的相關信息以獲得有效的估計。使用R軟件的VGAM程序包進行分析，模型擬合結果見表1。

由多元Poisson回歸模型擬合結果可看到，是否參保對兩周就診數(shù)差別無影響，而年收入的多少對兩日處方數(shù)差別無影響。

將是否參保和年收入變量分別從方程1和方程2剔除，則擬合半相依Poisson回歸模型結果見表2。

從表2擬合結果可見，與多元Poisson回歸模型擬合結果相比較，是否參保對兩日處方數(shù)的影響無統(tǒng)計學意義。對于兩周就診數(shù)來說，女性就診數(shù)高于男性，其OR值為1.241；年齡越高，兩周就診數(shù)越高，每5歲的OR值為3.449；年收入越高，其兩周處方數(shù)反而越低，每1000澳元OR值為0.758。對于兩日處方數(shù)，女性處方數(shù)高于男性，其OR值為1.811；年齡越高，兩周就診數(shù)越高，每5歲的OR值為21.029。另外不同年收入對兩日處方數(shù)的影響無統(tǒng)計學意義，是否參保對兩周就診數(shù)和兩日處方數(shù)的影響均無統(tǒng)計學意義。這樣我們可以得到最終的預測模型。

表1 多元Poisson回歸模型參數(shù)估計結果

表2 半相依Poisson回歸模型參數(shù)估計結果

表3給出按傳統(tǒng)的處理方法對各方程分別用Poisson回歸模型擬合的結果。

從表1～3可見，對各方程分別用Poisson回歸模型擬合得到的參數(shù)的標準誤均大于多元Poisson回歸和半相依Poisson回歸模型參數(shù)的標準誤，說明這兩種模型的參數(shù)估計效率高于傳統(tǒng)方法。在本例，半相依Poisson回歸模型與多元Poisson回歸模型的參數(shù)估計結果并不一致，一是前者估計參數(shù)的標準誤小于后者估計參數(shù)的標準誤；另外，在多元Poisson回歸模型中，是否參保對兩日處方數(shù)的影響有統(tǒng)計學意義，但在半相依Poisson回歸模型，是否參保對兩日處方數(shù)的影響無統(tǒng)計學意義。從估計參數(shù)的標準誤大小來看，半相依Poisson回歸模型的參數(shù)估計效率高于多元Poisson回歸模型。本例中是否參保變量由兩種估計方法得到的95%可信區(qū)間均非常接近于0，其專業(yè)價值尚需進一步研究確認。

表3 各方程分別用Poisson回歸模型擬合的參數(shù)估計結果

討 論

本文從廣義多元線性模型出發(fā)，討論了當因變量為多元分類變量時模型建模的一般理論。在指數(shù)分布族內，導出了廣義多元線性模型的記分函數(shù)，從而得出參數(shù)估計的迭代最小二乘法；當每一方程因變量由不同影響因素決定時，我們可以通過對自變量對應參數(shù)施加限制，使其參數(shù)為零得到半相依廣義線性回歸模型。以1977-1978年澳大利亞衛(wèi)生服務調查數(shù)據(jù)為例，擬合半相依Poisson回歸模型，說明其擬合的基本過程及優(yōu)點。

由于算法復雜，目前能夠實現(xiàn)半相依廣義線性回歸分析的軟件非常少，一般的軟件只是提供了其中的一種或幾種模型，如Gauss軟件的CML模塊只實現(xiàn)了半相依泊松回歸模型分析。在由Yee［6］等編寫的R程序包VGAM中，提供了眾多的離散多元因變量分析模型，包括廣義多元線性模型、半相依廣義線性回歸模型、向量廣義可加模型等。

1.Zellner A.An efficientmethod of estimating seem ingly unrelated regressions and tests for aggregation bias.JAm Statist Assoc，1962，57：348-368.

2.Gallant AR.seemingly unrelated nonlinear regressions.Journal of Econometics，1975，3：35-50.

3.梁洪川，韓宏，郎素萍，等.似乎不相關回歸模型及其在老年認知問題中的應用.中國衛(wèi)生統(tǒng)計，2005，22（6）：362-364.

4.趙俊康，梁洪川.非線性半相依回歸模型在生長曲線研究中的應用.中國衛(wèi)生統(tǒng)計，2012，29（3）：348-350.

5.Cameron A，Trivedi P.Regression Analysis of Count Data.Oxford University Press，1998.

6.Yee TW.VGAM：Vector Generalized Linear and Additive Models.R package version0.6-7.http：//www.stat.auckland.ac.nz/～yee，2005.

（責任編輯：劉 壯）

*：國家自然科學基金項目（81072385）；全國統(tǒng)計科研計劃重點項目（2009LZ033）

△通信作者：王彤