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      “恒成立”與“能成立”問(wèn)題辨析

      2014-03-10 15:40:02苗孟義
      關(guān)鍵詞:恒成立實(shí)數(shù)最值

      苗孟義

      提問(wèn): 有道題是這樣的:“已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2-bx (a,b∈R).令h(x)=f(x)+g(x).當(dāng)a=,b≥2時(shí),若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的值”.

      “對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立”這句話,我不是太理解,究竟意味著什么呢?

      回答: 這位同學(xué)的困惑其實(shí)是由于不理解恒成立的含義造成的. “恒成立”和“能成立”問(wèn)題是一類(lèi)非常典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 只有先準(zhǔn)確理解其含義,才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

      恒成立,要求自變量在給定區(qū)間內(nèi)可取任意值,即給定區(qū)間內(nèi)所有x均能滿足條件.

      能成立,要求滿足條件的自變量在給定區(qū)間內(nèi)存在,即給定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)x能滿足條件即可.

      我們?cè)賮?lái)看題目,“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立”,就是要求區(qū)間[1,2]上所有的實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2)都能夠使f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立.也就是說(shuō)f(x1)-f(x2)的最小值要大于g(x1)-g(x2)的最大值,即f(x1)-f(x2)min>g(x1)-g(x2)max.

      對(duì)于我省高考中常見(jiàn)的恒成立與能成立問(wèn)題,存在以下結(jié)論(結(jié)論均建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下):

      ①對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≤g(x)恒成立[f(x)-g(x)]max≤0;

      ②對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≥g(x)恒成立[f(x)-g(x)]min≥0;

      ③若存在x∈D,使不等式f(x)≤g(x)能成立[f(x)-g(x)]min≤0;

      ④若存在x∈D,使不等式f(x)≥g(x)能成立[f(x)-g(x)]max≥0.

      例1 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-bx,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1,2],f(x)≤g′(x)恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

      解析: 令φ(x)=f(x)-g′(x)=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1,2],所以φ′(x)=-1≤0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減.要使f(x)≤g′(x)在x∈[1,2]上恒成立,只需φ(x)max≤0,即φ(1)=b-1≤0.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(-∞,1].

      例2 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-bx,若存在實(shí)數(shù)x∈[1,2],使不等式f(x)≥g′(x)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

      解析: 令φ(x)=f(x)-g′(x)=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1,2],所以φ′(x)=-1≤0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減.要使f(x)≥g′(x)在x∈[1,2]能成立,只需φ(x)max≥0,即φ(1)=b-1≥0,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[1,+∞).

      有時(shí)題目中會(huì)包含兩個(gè)自變量,要求分析兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系恒成立或能成立的條件.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析,我們可以得到以下幾個(gè)結(jié)論(結(jié)論同樣建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下):

      ⑤對(duì)任意x∈D1,任意X∈D2,不等式f(x)≤g(X)恒成立f(x)max≤g(X)min.

      如圖1所示,要使f(x)≤g(X)恒成立,則給定區(qū)間D2內(nèi)函數(shù)g(X)的圖象要恒在給定區(qū)間D1內(nèi)函數(shù)f(x)的圖象上方,即f(x)max≤g(X)min.同理,以下結(jié)論同學(xué)們可以參照結(jié)論⑤自行推導(dǎo).

      ⑥對(duì)任意x∈D1,若存在X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)max≤g(X)max.

      ⑦若存在x∈D1,對(duì)任意X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)min≤g(X)min.

      ⑧若存在x∈D1,存在X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)min≤g(X)max.

      解答恒成立與能成立問(wèn)題,首先要理解其含義,只有準(zhǔn)確理解了含義,才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的正確轉(zhuǎn)化.上述結(jié)論是比較常用的,但因?yàn)閱?wèn)題形式千變?nèi)f化,題目亦??汲P拢虼嗽谄匠5挠?xùn)練中需要不斷領(lǐng)悟和總結(jié),提高這類(lèi)題的解答能力.

      對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≤g(x)恒成立[f(x)-g(x)]max≤0;

      對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≥g(x)恒成立[f(x)-g(x)]min≥0;

      若存在x∈D,使不等式f(x)≤g(x)能成立[f(x)-g(x)]min≤0;

      若存在x∈D,使不等式f(x)≥g(x)能成立[f(x)-g(x)]max≥0.

      提問(wèn): 有道題是這樣的:“已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2-bx (a,b∈R).令h(x)=f(x)+g(x).當(dāng)a=,b≥2時(shí),若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的值”.

      “對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立”這句話,我不是太理解,究竟意味著什么呢?

      回答: 這位同學(xué)的困惑其實(shí)是由于不理解恒成立的含義造成的. “恒成立”和“能成立”問(wèn)題是一類(lèi)非常典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 只有先準(zhǔn)確理解其含義,才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

      恒成立,要求自變量在給定區(qū)間內(nèi)可取任意值,即給定區(qū)間內(nèi)所有x均能滿足條件.

      能成立,要求滿足條件的自變量在給定區(qū)間內(nèi)存在,即給定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)x能滿足條件即可.

      我們?cè)賮?lái)看題目,“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立”,就是要求區(qū)間[1,2]上所有的實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2)都能夠使f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立.也就是說(shuō)f(x1)-f(x2)的最小值要大于g(x1)-g(x2)的最大值,即f(x1)-f(x2)min>g(x1)-g(x2)max.

      對(duì)于我省高考中常見(jiàn)的恒成立與能成立問(wèn)題,存在以下結(jié)論(結(jié)論均建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下):

      ①對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≤g(x)恒成立[f(x)-g(x)]max≤0;

      ②對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≥g(x)恒成立[f(x)-g(x)]min≥0;

      ③若存在x∈D,使不等式f(x)≤g(x)能成立[f(x)-g(x)]min≤0;

      ④若存在x∈D,使不等式f(x)≥g(x)能成立[f(x)-g(x)]max≥0.

      例1 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-bx,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1,2],f(x)≤g′(x)恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

      解析: 令φ(x)=f(x)-g′(x)=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1,2],所以φ′(x)=-1≤0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減.要使f(x)≤g′(x)在x∈[1,2]上恒成立,只需φ(x)max≤0,即φ(1)=b-1≤0.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(-∞,1].

      例2 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-bx,若存在實(shí)數(shù)x∈[1,2],使不等式f(x)≥g′(x)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

      解析: 令φ(x)=f(x)-g′(x)=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1,2],所以φ′(x)=-1≤0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減.要使f(x)≥g′(x)在x∈[1,2]能成立,只需φ(x)max≥0,即φ(1)=b-1≥0,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[1,+∞).

      有時(shí)題目中會(huì)包含兩個(gè)自變量,要求分析兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系恒成立或能成立的條件.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析,我們可以得到以下幾個(gè)結(jié)論(結(jié)論同樣建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下):

      ⑤對(duì)任意x∈D1,任意X∈D2,不等式f(x)≤g(X)恒成立f(x)max≤g(X)min.

      如圖1所示,要使f(x)≤g(X)恒成立,則給定區(qū)間D2內(nèi)函數(shù)g(X)的圖象要恒在給定區(qū)間D1內(nèi)函數(shù)f(x)的圖象上方,即f(x)max≤g(X)min.同理,以下結(jié)論同學(xué)們可以參照結(jié)論⑤自行推導(dǎo).

      ⑥對(duì)任意x∈D1,若存在X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)max≤g(X)max.

      ⑦若存在x∈D1,對(duì)任意X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)min≤g(X)min.

      ⑧若存在x∈D1,存在X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)min≤g(X)max.

      解答恒成立與能成立問(wèn)題,首先要理解其含義,只有準(zhǔn)確理解了含義,才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的正確轉(zhuǎn)化.上述結(jié)論是比較常用的,但因?yàn)閱?wèn)題形式千變?nèi)f化,題目亦??汲P拢虼嗽谄匠5挠?xùn)練中需要不斷領(lǐng)悟和總結(jié),提高這類(lèi)題的解答能力.

      對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≤g(x)恒成立[f(x)-g(x)]max≤0;

      對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≥g(x)恒成立[f(x)-g(x)]min≥0;

      若存在x∈D,使不等式f(x)≤g(x)能成立[f(x)-g(x)]min≤0;

      若存在x∈D,使不等式f(x)≥g(x)能成立[f(x)-g(x)]max≥0.

      提問(wèn): 有道題是這樣的:“已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2-bx (a,b∈R).令h(x)=f(x)+g(x).當(dāng)a=,b≥2時(shí),若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的值”.

      “對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立”這句話,我不是太理解,究竟意味著什么呢?

      回答: 這位同學(xué)的困惑其實(shí)是由于不理解恒成立的含義造成的. “恒成立”和“能成立”問(wèn)題是一類(lèi)非常典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 只有先準(zhǔn)確理解其含義,才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

      恒成立,要求自變量在給定區(qū)間內(nèi)可取任意值,即給定區(qū)間內(nèi)所有x均能滿足條件.

      能成立,要求滿足條件的自變量在給定區(qū)間內(nèi)存在,即給定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)x能滿足條件即可.

      我們?cè)賮?lái)看題目,“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立”,就是要求區(qū)間[1,2]上所有的實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2)都能夠使f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立.也就是說(shuō)f(x1)-f(x2)的最小值要大于g(x1)-g(x2)的最大值,即f(x1)-f(x2)min>g(x1)-g(x2)max.

      對(duì)于我省高考中常見(jiàn)的恒成立與能成立問(wèn)題,存在以下結(jié)論(結(jié)論均建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下):

      ①對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≤g(x)恒成立[f(x)-g(x)]max≤0;

      ②對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≥g(x)恒成立[f(x)-g(x)]min≥0;

      ③若存在x∈D,使不等式f(x)≤g(x)能成立[f(x)-g(x)]min≤0;

      ④若存在x∈D,使不等式f(x)≥g(x)能成立[f(x)-g(x)]max≥0.

      例1 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-bx,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1,2],f(x)≤g′(x)恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

      解析: 令φ(x)=f(x)-g′(x)=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1,2],所以φ′(x)=-1≤0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減.要使f(x)≤g′(x)在x∈[1,2]上恒成立,只需φ(x)max≤0,即φ(1)=b-1≤0.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(-∞,1].

      例2 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-bx,若存在實(shí)數(shù)x∈[1,2],使不等式f(x)≥g′(x)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

      解析: 令φ(x)=f(x)-g′(x)=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1,2],所以φ′(x)=-1≤0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減.要使f(x)≥g′(x)在x∈[1,2]能成立,只需φ(x)max≥0,即φ(1)=b-1≥0,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[1,+∞).

      有時(shí)題目中會(huì)包含兩個(gè)自變量,要求分析兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系恒成立或能成立的條件.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析,我們可以得到以下幾個(gè)結(jié)論(結(jié)論同樣建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下):

      ⑤對(duì)任意x∈D1,任意X∈D2,不等式f(x)≤g(X)恒成立f(x)max≤g(X)min.

      如圖1所示,要使f(x)≤g(X)恒成立,則給定區(qū)間D2內(nèi)函數(shù)g(X)的圖象要恒在給定區(qū)間D1內(nèi)函數(shù)f(x)的圖象上方,即f(x)max≤g(X)min.同理,以下結(jié)論同學(xué)們可以參照結(jié)論⑤自行推導(dǎo).

      ⑥對(duì)任意x∈D1,若存在X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)max≤g(X)max.

      ⑦若存在x∈D1,對(duì)任意X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)min≤g(X)min.

      ⑧若存在x∈D1,存在X∈D2,使不等式f(x)≤g(X)成立f(x)min≤g(X)max.

      解答恒成立與能成立問(wèn)題,首先要理解其含義,只有準(zhǔn)確理解了含義,才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的正確轉(zhuǎn)化.上述結(jié)論是比較常用的,但因?yàn)閱?wèn)題形式千變?nèi)f化,題目亦??汲P?,因此在平常的訓(xùn)練中需要不斷領(lǐng)悟和總結(jié),提高這類(lèi)題的解答能力.

      對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≤g(x)恒成立[f(x)-g(x)]max≤0;

      對(duì)任意x∈D,不等式f(x)≥g(x)恒成立[f(x)-g(x)]min≥0;

      若存在x∈D,使不等式f(x)≤g(x)能成立[f(x)-g(x)]min≤0;

      若存在x∈D,使不等式f(x)≥g(x)能成立[f(x)-g(x)]max≥0.

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