柳衛(wèi)東

（武警工程大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710086）

模糊線性方程組的基本迭代解法

柳衛(wèi)東

（武警工程大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710086）

利用迭代法求解模糊線性方程組是一種重要的方法. 研究了模糊線性方程組的幾種基本迭代解法.在模糊線性方程組系數(shù)矩陣是擬對(duì)角占優(yōu)矩陣的條件下,得到了迭代法的收斂性定理.最后,給出了數(shù)值例子.

模糊線性方程組; 迭代法; 收斂

考慮模糊線性方程組[1]

的解,其中系數(shù)矩陣A為n階實(shí)矩陣,未知項(xiàng)x和右端項(xiàng)為模糊向量.

Friedman通過嵌入的方法,將求解n階模糊線性方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)2n階線性方程組

的求解問題[1].迭代法是求解線性方程組有效方法.熟知,對(duì)A進(jìn)行不同的分裂可以得到多種迭代方法. 基于此,求解模糊線性方程組的Jacobi、Gauss-Seidel、SOR和SSOR等迭代算法[2-4]相繼給出. 文[5]給出了求解模糊線性方程組的對(duì)稱超松弛迭代法(SAOR).

本文在嵌入方法的基礎(chǔ)上研究了方程組(1)和(2)系數(shù)矩陣A和S的關(guān)系,討論了模糊線性方程組的基本迭代法解法.在方程組(1)的系數(shù)矩陣A為擬對(duì)角占優(yōu)矩陣的條件下得到了算法的收斂性定理,擴(kuò)大了可利用基本迭代法求解的模糊線性方程組的范圍.最后,給出了數(shù)值例子.

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

先給出方程組(1)和(2)的系數(shù)矩陣的之間的一個(gè)關(guān)系.

定理 2.2如果(1)的系數(shù)矩陣A 是擬對(duì)角占優(yōu)矩陣且0 ＜ ω ≤ 1,則求解模糊線性方程組(2)的SOR 迭代法收斂.

證明由定理1知S為擬對(duì)角占優(yōu)矩陣,據(jù)引理1.3即得.

定理 2.3如果(1)的系數(shù)矩陣A是擬對(duì)角占優(yōu)矩陣,則求解模糊線性方程組(2)的Jacobi和Gauss- Seidel迭代法收斂.

證明由定理1知S為擬對(duì)角占優(yōu)矩陣,據(jù)引理1.4即得.

文[3]定理3.1給出了求解模糊線性方程組(2)的SOR迭代法收斂的必要條件是0<ω<2.如果加強(qiáng)條件為S是不可約的,則求解模糊線性方程組(2)的Jacobi和Gauss-Seidel迭代法收斂必要條件是S為擬對(duì)角占優(yōu)矩陣；當(dāng)0<ω≤1時(shí),求解模糊線性方程組(2)的SOR迭代法收斂的必要條件是S為擬對(duì)角占優(yōu)矩陣[7-8].

3 數(shù)值例子

4 結(jié)論

基于方程組(1)和(2)系數(shù)矩陣A和S的關(guān)系,討論了模糊線性方程組的基本迭代法解法.在方程組(1)的系數(shù)矩陣A為擬對(duì)角占優(yōu)矩陣的條件下，得到了迭代算法的收斂性定理. 為更好地利用迭代法求解模糊線性方程組，可以從兩個(gè)方面作進(jìn)一步地研究，其一，考慮推廣至其它的迭代算法譬如AOR,SSOR,SAOR等；其二，考慮(1)的系數(shù)矩陣為α-鏈嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣、雙嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣和嚴(yán)格雙α-對(duì)角占優(yōu)矩陣等情形.

[1] M FRIEDMAN,MANG MING, A KANDEL.Fuzzy LinearSystems[J]. Fuzzy Sets and Systems,1988, 96:201-209.

[2] T ALLAHVIRANLOO. Numerical Methods for Fuzzy System of Linear Equations[J].Appl Math Comput, 2004,155:493-502.

[3] T ALLAHVIRANLOO. Successive Over Relaxation Iterative Method for Fuzzy System of Linear Equations[J]. Appl Math Comput, 2005, 162: 189-196.

[4] WANG KE,ZHENG BING. Symmetric Successive Overrelaxation Methods for Fuzzy Linear System[J]. Appl Math Comput, 2006, 175: 891-901.

[5] 汪祥, 廖旦, 王瑞瑞. 求解模糊線性方程組的對(duì)稱加速超松馳迭代方法[J]. 南昌大學(xué)學(xué)報(bào):理科版, 2009, 33(2): 103-107.

[6] 程云鵬, 張凱院, 徐仲. 矩陣論[M]. 3版. 西安: 西北大學(xué)出版社,2006: 363-406.

[7] 蘇歧芳.擬對(duì)角占優(yōu)矩陣方程組迭代解法的收斂性[J]. 臺(tái)州學(xué)院學(xué)報(bào),2009, 27(3): 8-11.

[8] R K JAMES,W RIHA. Convergence Criteria for Successive Overrelaxation[J]. SIAM, Numerri, Anal, 1975, 12: 137-143.

The basic iterative solution of fuzzy linear systems

LIU Wei-dong
(School of Science, Engineering University of Armed Police Force, Xi’an 710086, P.R.C.)

Using the iterative method to solve fuzzy linear systems is an important method. In this paper, the basic iterative solution of fuzzy linear systems is studied. When the coefficient matrix of fuzzy linear systems is diagonally dominant matrices, convergence theorems are obtained. Finally, numerical examples are given.

fuzzy linear systems; iterative method; convergence

O241.6,O241.82

A

1003-4271(2014)04-0587-05

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.04.23

2014-06-15

柳衛(wèi)東（1975- ）,男, 漢族, 陜西千陽人, 講師, 主要研究方向?yàn)椴⑿兴惴? E-mail:liu624f@sina.com.