陳婕，李開明

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京210094)

并聯(lián)機(jī)床是以空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)的新一代加工設(shè)備，它是基于機(jī)床技術(shù)、機(jī)器人技術(shù)和現(xiàn)代數(shù)控技術(shù)相結(jié)合而出現(xiàn)的新型機(jī)床［1］。自20世紀(jì)90年代中期出現(xiàn)以來，已引起了越來越多的專家和學(xué)者的關(guān)注。并聯(lián)機(jī)床的靈巧度反映了關(guān)節(jié)動(dòng)作向操作動(dòng)作的映射能力，是度量機(jī)床在加工過程中動(dòng)力學(xué)性能的主要指標(biāo)，也是確定刀具位置的關(guān)鍵因素［2］，因此靈巧度的研究對于并聯(lián)機(jī)床的設(shè)計(jì)和實(shí)用性具有重要意義。

SALISBURY 等人提出采用逆雅可比矩陣的最大與最小奇異值的比值即逆雅可比矩陣的條件數(shù)來衡量并聯(lián)機(jī)床的靈巧度。文中對3-(2SPS)并聯(lián)機(jī)床的靈巧度進(jìn)行了研究，利用MATLAB 分析了靈巧度在工作空間的變化規(guī)律。

1 3-(2SPS)并聯(lián)機(jī)床機(jī)床描述

圖1所示為3-(2SPS)并聯(lián)機(jī)床的結(jié)構(gòu)簡圖。該機(jī)床由3 組平行驅(qū)動(dòng)桿(A1a1//A2a23、A3a23//A4a45、A5a45//A6a6)、動(dòng)平臺(tái)(a1a23a45a6)以及定平臺(tái)(A1A2A5A6)組成。平行桿兩端與上下平臺(tái)之間采用球鉸鏈鉸接，桿組A1a1、A2a23、A5a45、A6a6在同一平面A1A2A5A6內(nèi)，鉸接點(diǎn)A3、A4與平面A1A2A5A6的距離為u。3 組平行桿由伺服電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)，以改變動(dòng)平臺(tái)在一定空間內(nèi)的位置和姿態(tài)。動(dòng)平臺(tái)a1a23a45a6為等腰梯形，上底和腰長為d，底角為β。定平臺(tái)鉸接點(diǎn)安裝距離為d，即A1A2= A3A4= A5A6=a1a23=a23a45=a45a6=d。

圖1 3-(2SPS)并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)簡圖

2 逆雅可比矩陣

逆雅可比(Jacobin)矩陣反映了關(guān)節(jié)空間速度與末端操作器速度的映射關(guān)系，也稱為一階運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)。求解逆雅可比矩陣是分析機(jī)床性能的基本要求。

如圖2所示，C1、C2、C3分別是A1A2、A3A4、A5A6的中點(diǎn)，C'2是C2在A1A2A5A6平面內(nèi)的投影，三角形C1C'2C3為等腰直角三角形，其外接圓圓心為O，半徑為R。在定平臺(tái)上以O(shè) 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系O－xyz，z 軸沿OC1方向，y 軸在A1A2A5A6平面內(nèi)且垂直于z 軸，x 軸方向由右手定則判定。動(dòng)平臺(tái)上以a1a6的中點(diǎn)O'為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系O'－x'y'z'，z'軸沿O'a1方向，y'軸在a1a23a45a6平面內(nèi)且垂直于z'軸，x'軸方向由右手定則判定。

圖2 定、動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)幾何關(guān)系

四邊形a1a23a45a6的邊a1a6的中點(diǎn)為O'。β =30°，偏置u = 500 mm，O'相對于定平臺(tái)的坐標(biāo)為(x，y，z)，得機(jī)床的位姿反解方程為:

其中:li為伸縮桿的長度，i=1，2，…，6;

伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)兩根平行桿同步伸縮，所以該機(jī)床只能沿著x、y、z 3 個(gè)坐標(biāo)軸平動(dòng)，而不能繞著3 個(gè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其逆雅可比矩陣的公式如式(4)所示:

由式(1)—(4)得:

由公式可以看出逆Jacobin 矩陣與機(jī)床的實(shí)際操作速度無關(guān)，只和機(jī)床的尺寸參數(shù)和位形有關(guān)［3］，基于這個(gè)特點(diǎn)，該矩陣對機(jī)床的靈巧度研究有很大的幫助。

3 靈巧度分析

靈巧度是衡量操作空間隨著關(guān)節(jié)空間變化而變化的敏感度。靈巧度有3 個(gè)度量指標(biāo)［4］:逆Jacobin 矩陣的條件數(shù)、最小奇異值和可操作性，分別反映機(jī)床的各向同性、響應(yīng)速度和可操作性。一般情況下，各向同性最能體現(xiàn)機(jī)床的靈巧度規(guī)律，文中在此只對機(jī)床的各向同性進(jìn)行研究。

操作空間速度向關(guān)節(jié)空間映射時(shí)存在如式(6)所示的關(guān)系:

式中:v 是關(guān)節(jié)輸入速度，u 是末端操作手的速度。

由式(6)可得:

由矩陣的相容性可知:

實(shí)際控制過程中在工作空間內(nèi)，雅可比矩陣J 是可逆的，則同式(8)得:

由式(8)、式(9)可得:

這里采用矩陣的譜范數(shù)得出雅可比矩陣的條件數(shù)m，令m=‖J‖·‖J－1‖=n1/n2，n1、n2分別為逆雅可比矩陣的最大、最小特征值?？梢钥闯?當(dāng)條件數(shù)大，則u 微小變化將引起v 較大的變化，即機(jī)床穩(wěn)定性差;當(dāng)條件數(shù)小，則u 有微小的變化，v 變化也很小，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性好。由條件數(shù)的定義可知，條件數(shù)變化范圍是1 到正無窮，所以當(dāng)m =1時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性最好。當(dāng)機(jī)床出現(xiàn)奇異位形時(shí)，條件數(shù)為無窮，這時(shí)v 處于失控的狀態(tài)，即使u 不改變，v 也可能改變。在控制的過程中，不僅要保證機(jī)床有較好的靈巧度，同時(shí)也要避免奇異位形的出現(xiàn)。

4 仿真分析

給定桿間距d =350 mm，三角形C1C2C3的外接圓半徑R = 620 mm，驅(qū)動(dòng)桿的長度變化范圍li=650 ～1 200 mm，下面將采用MATLAB 取稍大于工件空間的矩形區(qū)域進(jìn)行仿真，得出不同截面下3-(2SPS)并聯(lián)機(jī)床的條件數(shù)即各向同性度uzf 的變化曲線，其中－500 mm≤x ≤500 mm、0 ≤y ≤500 mm、－500 mm≤z≤500 mm。由于仿真空間并沒有排除可能出現(xiàn)奇異位形的空間，仿真出的曲線有條件數(shù)為0 的情況，不利于曲線的分析，所以采用條件數(shù)的倒數(shù)進(jìn)行仿真，其變化范圍是0 到1。

從圖3(a)可知:在y =350 mm 處，逆雅可比矩陣的特征值出現(xiàn)為0 的情況。圖3(b)表明，機(jī)床的各向同性度變化比較平緩。對比圖3(c)和圖3(d)可知:y 增大時(shí)，出現(xiàn)奇異位形的位置朝著x 軸的負(fù)方向移動(dòng)。由圖3(e)和圖3(f)可知:雖然z變化，但是出現(xiàn)奇異位形的位置沒有改變，隨著z 的增加，各向同性度在整體上增加了，運(yùn)動(dòng)精度提高?？傮w而言，當(dāng)3 組平行桿處于同一平面時(shí)，機(jī)床會(huì)出現(xiàn)奇異位形，離奇異位形越近的區(qū)域，靈巧度越差，在后續(xù)的控制中，應(yīng)該有效地避開這樣的位置。

圖3 各截面各向同性度的分布

5 結(jié)論

通過仿真得出了該并聯(lián)機(jī)床各向同性度的分布規(guī)律，也反映出機(jī)床可能出現(xiàn)奇異位形的區(qū)域。在具體工作時(shí)，應(yīng)控制刀具在靈巧度較好的工作空間中運(yùn)動(dòng)，并且進(jìn)行機(jī)床工件坐標(biāo)系定位時(shí)，也可以根據(jù)靈巧度的分布情況將工件放置在理想的位置。同時(shí)可以對該機(jī)床的尺寸參數(shù)作進(jìn)一步的優(yōu)化，使機(jī)床具有最佳的傳動(dòng)性能。

【1】李長河，蔡光起.并聯(lián)機(jī)床發(fā)展與國內(nèi)外研究現(xiàn)狀［J］.青島理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，29(1):7－13.

【2】黃田，汪勁松.Stewart 并聯(lián)機(jī)器人局部靈活度與各向同性條件解析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，1999，35(5):41－46.

【3】黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)床學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

【4】陳修龍，趙永生，鹿玲.并聯(lián)機(jī)床的靈巧度評價(jià)指標(biāo)及其應(yīng)用［J］.光學(xué)精密工程，2007，15(2):237－242.

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【6】王瑜.5-UPS/PRPU 并聯(lián)機(jī)床工件定位系統(tǒng)的開發(fā)［D］.秦皇島:燕山大學(xué)，2005.