毛曉曄， 邵志華， 舒 送， 范 鑫,3， 丁 虎， 陳立群

(1.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200444；2.中國(guó)人民解放軍第5720工廠，安徽 蕪湖 241007；3.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，合肥 230026)

管路系統(tǒng)是保障飛機(jī)飛行安全的最重要系統(tǒng)之一，其振動(dòng)問(wèn)題在使役過(guò)程中十分突出。飛機(jī)管路系統(tǒng)經(jīng)常發(fā)生各種類(lèi)型的故障，主要表現(xiàn)為管路系統(tǒng)振動(dòng)故障，影響飛行安全，造成嚴(yán)重?fù)p失[1-2]。Gao等[3]綜述了2020年以前關(guān)于飛機(jī)管道故障以及減振的相關(guān)研究進(jìn)展：根據(jù)美國(guó)統(tǒng)計(jì)，燃油、空氣和液壓管路系統(tǒng)的故障占飛機(jī)部件故障總數(shù)的50%～60%；據(jù)俄羅斯統(tǒng)計(jì)，燃油、潤(rùn)滑油和液壓系統(tǒng)故障也占飛機(jī)故障總數(shù)的50%以上；近年來(lái)，我國(guó)飛機(jī)液壓管路系統(tǒng)也發(fā)生了多起振動(dòng)故障，這些問(wèn)題一直困擾著飛機(jī)設(shè)計(jì)者。

關(guān)于飛機(jī)液壓管路建模方法已有大批學(xué)者展開(kāi)了廣泛研究，常見(jiàn)的管道模型大致分為三種[4]，分別是Euler-Bernoulli模型[5]，Timoshenko模型[6-7]以及殼模型[8-9]。基于這些模型，可以研究管道的受迫激勵(lì)[10-11]，參激共振[12-13]等動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題。這些管道模型理論研究表明：對(duì)于短粗管道，必須使用Timoshenko模型描述管道動(dòng)力學(xué)；對(duì)于大管徑薄壁管道，則必須使用殼模型；而對(duì)于長(zhǎng)徑比較大的細(xì)長(zhǎng)管道，則一般使用Euler-Bernoulli模型進(jìn)行分析。不管哪種模型，在軸向流速達(dá)到臨界值后，管道的直線平衡位形會(huì)失穩(wěn)發(fā)生分岔現(xiàn)象[14-15]。在屈曲狀態(tài)下，管道會(huì)變?yōu)楸举|(zhì)非線性，并且會(huì)產(chǎn)生雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱間跳躍的劇烈振動(dòng)[16-17]。而這種流速改變結(jié)構(gòu)本征特性的現(xiàn)象已經(jīng)被美國(guó)航空航天局NASA實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[18]。工程中，除了流速會(huì)引起管道屈曲，管道上存在的壓力也會(huì)改變結(jié)構(gòu)本征特性。例如環(huán)境溫度升高造成管道熱膨脹而產(chǎn)生軸向壓力，安裝操作中施加的旋緊壓力以及管道尺寸偏差帶來(lái)的壓力等，這些壓力都可能導(dǎo)致管道產(chǎn)生屈曲，因此對(duì)于管道的壓力不容忽視。

以上研究都是基于單跨管道進(jìn)行的，在很多實(shí)際工況下，較長(zhǎng)的管道需要在中部安裝卡箍或夾具，這些往往都是彈性約束，建模時(shí)可以簡(jiǎn)化成具有一定剛度的彈簧[19-21]。例如，Gao等[22]提出了一種針對(duì)飛機(jī)長(zhǎng)距離多支承液壓管路振動(dòng)分析的模型, 通過(guò)引入人工彈簧模擬邊界條件，提出了一種有效的管道模型簡(jiǎn)化求解方法，而且研究結(jié)果表明，該方法能夠顯著降低計(jì)算成本，且具有足夠的計(jì)算精度；而趙小穎等[23]在建模時(shí)直接將彈性支承力用Delta函數(shù)表示在結(jié)構(gòu)控制方程中。不過(guò)，他們對(duì)于多跨結(jié)構(gòu)的屈曲以及屈曲穩(wěn)定性并未討論。

本文僅考慮壓力對(duì)管道屈曲的影響，并且低速流體對(duì)結(jié)構(gòu)本征特性的影響并不顯著，因此建模過(guò)程中暫時(shí)忽略流體作用，將管道簡(jiǎn)化為帶中間彈性約束的梁模型。以分段以及整體兩種方式，建立結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)控制方程。通過(guò)對(duì)比兩種模型，證實(shí)整體梁模型的精確性。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了雙跨梁的靜力學(xué)屈曲分岔現(xiàn)象，并得到了彈性約束對(duì)結(jié)構(gòu)屈曲臨界狀態(tài)的影響作用。

1 數(shù)學(xué)模型

對(duì)于雙跨梁，有兩種建模方式。由于梁是一個(gè)連續(xù)體，可以將中間支撐所帶來(lái)的約束力作為梁上的集中力考慮；同時(shí)，也可以將梁分為兩段考慮，將中間支撐約束作為邊界考慮。第一種方法所建立的模型簡(jiǎn)潔，用集中力表達(dá)支撐約束；第二種方法所建立的模型精細(xì)，用邊界連續(xù)性條件表達(dá)梁的整體性?？紤]到計(jì)算簡(jiǎn)潔，本工作將使用第一種模型進(jìn)行分析計(jì)算，用第二種模型驗(yàn)證第一種模型的精確性。

1.1 整體梁建模

整體梁分析模型，如圖1所示。靜態(tài)梁兩端鉸支點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，中間位置有一剛度為k的彈性支撐。梁的材料密度為ρ，橫截面積為A，楊氏模量為E，橫截面關(guān)于中性層的截面慣性矩記為I。梁受到軸向壓力P，建立該梁的面內(nèi)振動(dòng)模型，令梁上任意處的橫向位移記為w(x,t)，軸向位移記為u(x,t)。

圖1 整體梁分析模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the continuous beam model

根據(jù)能量法建立運(yùn)動(dòng)方程。其中，T為梁的動(dòng)能，U1為梁的勢(shì)能，U2為中間支撐彈簧勢(shì)能。則系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能積分表達(dá)式分別為

(1)

式中：δ表示狄拉克函數(shù)；下標(biāo)中量符號(hào)之前的逗號(hào)表示該量符號(hào)的偏導(dǎo)數(shù)；動(dòng)能表達(dá)式包含梁縱向運(yùn)動(dòng)和橫向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。梁的勢(shì)能U1中，第一項(xiàng)是由中性面拉伸產(chǎn)生的勢(shì)能，第二項(xiàng)是彎曲所產(chǎn)生的勢(shì)能，第三項(xiàng)是與軸向壓力P有關(guān)的拉壓勢(shì)能。

將式(1)代入Hamilton變分原理

(2)

式中,ζ表示指定時(shí)間間隔內(nèi)的變化量。

結(jié)合縱向位移遠(yuǎn)小于橫向位移，可降維得到考慮幾何非線性的梁的積分-偏微分控制方程

(3)

以及對(duì)應(yīng)的邊界條件

w(0,t)=w(L,t)=0,

w,xx(0,t)=w,xx(L,t)=0

(4)

忽略非線性項(xiàng)可得派生系統(tǒng)為

(5)

由于該模型受簡(jiǎn)支邊界條件約束，可以假設(shè)上述方程的解為

(6)

代入控制方程得到

(7)

記式(7)等號(hào)左邊為Gn(x,t)，則n階Galerkin截?cái)嗫蓪?xiě)為

(8)

以此得到n個(gè)含有未知數(shù)qi(t)的常微分方程組，再令其中

qi(t)=Qieiωt，i=1,2,…,n

(9)

化簡(jiǎn)后可得到方程組矩陣為

(H+K)Q=0

(10)

式中：H表示n階對(duì)角矩陣；K為n階剛度矩陣；Q為n階列向量。

(11)

(12)

(13)

(14)

若使式(10)有非零解，則系數(shù)矩陣H+K行列式值必然等于0。代入模型參數(shù)，對(duì)于給定的軸向壓力P和約束剛度k，即可得到相對(duì)應(yīng)的頻率ω。

1.2 分段梁建模

雙跨耦合模型，如圖2所示。

圖2 雙跨耦合模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of the double-span beam model

考慮到雙跨梁為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，可選取一側(cè)用能量法進(jìn)行建模。一邊鉸支、一邊彈性約束的復(fù)雜邊界梁對(duì)應(yīng)的動(dòng)能、勢(shì)能為

(15)

根據(jù)Hamilton變分原理得到的復(fù)雜邊界約束梁的控制方程為

(16)

忽略其中的非線性項(xiàng)，得到派生方程

ρAwn,tt+EIwn,xxxx+Pwn,xx=0,n=1,2

(17)

記左邊梁為1，右邊梁為2，則w1表示1梁的橫向位移，w2表示2梁的橫向位移，兩者控制方程相同。

兩段梁對(duì)應(yīng)的邊界條件和耦合連續(xù)條件為

w1,xx(0,t)=0,w1(0,t)=0,

(18)

通過(guò)分離變量法，設(shè)控制方程的解為

wn(x,t)=φn(x)eiωt,n=1,2

(19)

將其代入控制方程得到

EIφn(x),xxxx-ρAω2φn(x)+Pφn(x),xx=0

n=1,2

(20)

設(shè)上述4階常微分方程的解為

φn(x)=Aneλ1x+Bneλ2x+Cneλ3x+Dneλ4x

n=1,2

(21)

其中參數(shù)λ1,2,3,4為

(22)

將控制方程的解代入邊界條件和連續(xù)條件，可以化簡(jiǎn)得到

MNT=0

(23)

式中:M為8階系數(shù)矩陣;N為8階列向量。

N=[A1B1C1D1A2B2C2D2]

(24)

其中

(25)

若方程有非零解則需要使系數(shù)矩陣M行列式為0，由此得到關(guān)于剛度k，壓力P以及頻率ω的關(guān)系式。給定中間約束剛度k，便可得到固有頻率ω隨軸向壓力的變化。

3 模型驗(yàn)證

由式(18)可見(jiàn)，分段梁模型在中間支撐處可以嚴(yán)格表達(dá)剪力的突變，因此該模型精度更高。不過(guò)，該模型涉及到非齊次邊值問(wèn)題，動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解復(fù)雜。而整體梁模型雖然不能?chē)?yán)格表達(dá)中間支撐處的剪力突變，但是合理的截?cái)嚯A數(shù)將會(huì)使該模型足夠接近真實(shí)條件。這里將從固有頻率的角度，對(duì)整體梁模型進(jìn)行驗(yàn)證，模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型材料尺寸參數(shù)Tab.1 Parameters of the beam

整體梁在計(jì)算固有頻率時(shí)采用了Galerkin截?cái)?，首先有必要討論其自身截?cái)嗍諗啃?，再將收斂的結(jié)果與分段梁得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。圖3展示了4階和6階截?cái)鄺l件下，不同中間支撐剛度所對(duì)應(yīng)的固有頻率隨軸力的變化，可見(jiàn)在所關(guān)注剛度范圍內(nèi)，4階截?cái)嘁呀?jīng)具備較高的收斂性。

圖3 整體梁模型的截?cái)嗍諗啃訤ig.3 The truncation convergence of the continuous beam model

在整體梁自身截?cái)嗍諗啃缘玫津?yàn)證后，圖4(a)～(d)對(duì)比分段梁模型和4階截?cái)嗾w梁模型所得到的不同剛度條件下，前4階固有頻率與軸力之間的關(guān)系。觀察到雖然兩種建模方式不同，但是兩種模型得到的頻率幾乎完全擬合，這說(shuō)明收斂的整體梁模型具有合理的精度表達(dá)中間支撐剛度所引起的梁固有特性的改變。

(a) ω1隨軸力的變化

(b) ω2隨軸力的變化

(c) ω3隨軸力的變化

(d) ω4隨軸力的變化

(e) Pcr隨支撐剛度的變化圖4 兩種梁模型的對(duì)比驗(yàn)證Fig.4 Comparison and verification of the two beam models

當(dāng)軸力足夠大時(shí)，固有頻率會(huì)變?yōu)?，此時(shí)發(fā)生屈曲失穩(wěn)。圖4(e)則對(duì)比了兩種模型分析得到的臨界軸力，可見(jiàn)中間約束剛度的增加首先會(huì)提高臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的屈曲力，但是當(dāng)剛度達(dá)到一定大小以后，這種對(duì)臨界軸力的放大作用消失，最終收斂于半長(zhǎng)簡(jiǎn)支梁的臨界屈曲壓力。

由于已經(jīng)驗(yàn)證了4階截?cái)嗾w梁模型的收斂性和精度，可以在4階截?cái)嗷A(chǔ)上推導(dǎo)出一階屈曲軸力為

(26)

當(dāng)彈簧約束剛度為0時(shí)，可退化得到壓桿的Euler定理Pcr=π2EI/L2；而當(dāng)約束剛度足夠大時(shí)，一階臨界壓力為Pcr=4π2EI/L2。

2 屈曲位形

如果梁所受軸向壓力超過(guò)臨界屈曲值，就會(huì)發(fā)生屈曲失穩(wěn)，表現(xiàn)為直線平衡位形失去穩(wěn)定，固有頻率變?yōu)?。在非線性項(xiàng)的作用下，梁會(huì)出現(xiàn)曲線平衡位形，也叫非平凡靜平衡位形。第1章已經(jīng)驗(yàn)證了整體梁模型的精確性，由于計(jì)算簡(jiǎn)潔，本章將以該模型為基礎(chǔ)，計(jì)算不同中間支撐剛度下，雙跨梁的屈曲位形變化。

由于位形函數(shù)只與空間坐標(biāo)有關(guān)，因此忽略控制方程中顯含時(shí)間的項(xiàng)與激振力項(xiàng)，整理可得位形滿(mǎn)足的方程為

(27)

以及對(duì)應(yīng)的邊值條件

(28)

(29)

分別取n=4，6進(jìn)行截?cái)?，將?29)代入式(27)中，方程兩端同時(shí)乘以權(quán)函數(shù)sin(jπx/L)，并對(duì)x進(jìn)行從0～L的積分，得到關(guān)于系數(shù)Bk(k=1…n)的n階方程組。為了便于不同剛度下的對(duì)比，選取軸向力P=101%Pcr，剛度和對(duì)應(yīng)壓力值的選取參數(shù)如表2所示，模型其他參數(shù)值見(jiàn)表1。

表2 模型彈性支承剛度和對(duì)應(yīng)的壓力值Tab.2 The bearing stiffness and the pressure

聯(lián)立n個(gè)截?cái)喾匠?，?jì)算參數(shù)B1～Bn的取值，便可得到不同剛度、不同截?cái)嚯A數(shù)所對(duì)應(yīng)的屈曲位形系數(shù)。

2.1 截?cái)嗍諗啃噪S支撐剛度的變化

第一章已經(jīng)通過(guò)對(duì)比驗(yàn)證得到，在自身收斂的條件下，整體梁模型可以擁有合理的精度近似描述中間支撐剛度引起的剪力突變。因此，在計(jì)算屈曲位形時(shí)，依然必須對(duì)截?cái)嗟氖諗啃赃M(jìn)行判定。然而，由于式(27)中非線性項(xiàng)的存在，過(guò)大的收斂階數(shù)下，軟件直接計(jì)算位形系數(shù)會(huì)變得非常困難。不過(guò)，考慮到屈曲位形的解必然存在，高階截?cái)嘁矁H僅是對(duì)低階截?cái)嗟男拚?，于是考慮利用4階截?cái)嗟奈恍蜗禂?shù)作為迭代初值，使用牛頓迭代法，進(jìn)行高階截?cái)辔恍蜗禂?shù)的計(jì)算。

記截?cái)嗪蟮玫降膎個(gè)關(guān)于位形系數(shù)B=(B1,B2,…,Bn)T的多元非線性代數(shù)方程為F=(f1,f2,…,fn)T，寫(xiě)為矩陣形式

F(B)=0

(30)

代入牛頓迭代公式，則有

B(k+1)=B(k)-J[F(B(k))]-1F(B(k)),

k=1,2,…,n

(31)

其中J[F(B(k))]-1是式(30)的Jacobian矩陣的逆矩陣，記

(32)

當(dāng)滿(mǎn)足ε<1×10-10時(shí)，輸出結(jié)果B，計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 高階屈曲位形系數(shù)計(jì)算流程圖Fig.5 Flow chart for calculating higher order flexural configuration coefficients

從4階截?cái)嗲蟮玫那恍伍_(kāi)始計(jì)算,系數(shù)如表3所示。可見(jiàn)對(duì)于一階屈曲位形，僅有奇數(shù)階模態(tài)上存在非0系數(shù)；而對(duì)于二階屈曲位形，僅二階模態(tài)上存在非0系數(shù)。4階截?cái)嗨玫降那皟呻A屈曲位形如圖6所示，每階屈曲位形都存在對(duì)稱(chēng)的兩組解，為圖形清晰，后續(xù)屈曲位形圖形僅畫(huà)出其中一組結(jié)果。

(b) 第二階正負(fù)屈曲位形圖6 4階截?cái)嗵幚聿煌瑒偠茸饔孟虑皟呻A臨界屈曲位形Fig.6 The first and the second order critical buckling configuration with different stiffness under the fourth order truncation treatment

表3 前兩階屈曲位形系數(shù)(截?cái)嚯A數(shù)n=4)Tab.3 Coefficients of the first and the second order buckling configurations (truncation order n=4)

除4階截?cái)嗲蟮玫囊浑A正位形的位形系數(shù)B1～B4，其他系數(shù)初值均取0，以此作為初值。利用上述迭代方法，可以得到不同剛度、不同截?cái)嚯A數(shù)下的位形系數(shù)，得到的位形曲線如圖7所示?？梢钥吹剑瑒偠萲=1 000時(shí)，12階截?cái)嗫蓾M(mǎn)足其收斂性；剛度k=2 000時(shí)，16階截?cái)嗫蓾M(mǎn)足位形收斂性。可見(jiàn)，對(duì)于一階屈曲位形，約束剛度越大，對(duì)收斂階數(shù)的要求會(huì)越高。

(a) k=0

(b) k=1 000 N/m

(c) k=2 000 N/m圖7 不同截?cái)嚯A數(shù)下第一階屈曲位形Fig.7 Comparison of the first order buckling configurations under different truncation orders

同樣，取4階截?cái)嗲蟮玫亩A位形系數(shù)中的一組作為初值，其他系數(shù)初值也依然設(shè)置為0，經(jīng)迭代后，得到不同剛度系數(shù)、不同截?cái)嚯A數(shù)下的二階位形系數(shù)，如圖8所示。顯然，二階屈曲位形上，截?cái)嗟氖諗啃圆皇苤虚g剛度變化的影響。并且，即便使用更高的截?cái)嚯A數(shù)，二階位形系數(shù)中也僅二階模態(tài)系數(shù)不為0，即二階屈曲位形僅需二階模態(tài)即可嚴(yán)格表達(dá)。

(a) k=0

b) k=3 000 N/m圖8 不同截?cái)嚯A數(shù)下第二階屈曲位形對(duì)比Fig.8 Comparison of the second order buckling configuration under different truncation orders

2.2 屈曲位形隨支撐剛度的變化

圖9將不同剛度下收斂的屈曲位形進(jìn)行對(duì)比，可以看到，剛度對(duì)前兩階的屈曲位形影響都很大。隨著剛度增加，二階位形會(huì)受到彈性約束而減小，一階屈曲位形會(huì)變大。特別對(duì)于一階屈曲位形，隨著約束剛度的增加，原本只有一階系數(shù)項(xiàng)非0的屈曲位形，逐漸受到三階系數(shù)項(xiàng)的作用而遠(yuǎn)離半周期正弦函數(shù)，而且剛度越大，這種改變?cè)矫黠@。而剛度在達(dá)到3 000 N/m時(shí)，一階屈曲位形產(chǎn)生本質(zhì)性改變，表現(xiàn)出反曲現(xiàn)象。這需要對(duì)位形的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，以厘清這些復(fù)雜現(xiàn)象的真實(shí)性。

(a) 第一階正屈曲位形

(b) 第二階正屈曲位形圖9 不同剛度作用下前兩階收斂屈曲位形對(duì)比Fig.9 Comparison of the first and second order convergent buckling configuration under different stiffness

3 位形穩(wěn)定性分析

第二章對(duì)屈曲位形的計(jì)算中，不同支撐剛度條件下都會(huì)出現(xiàn)多組屈曲位形系數(shù)的實(shí)數(shù)解，不過(guò)它們并不一定都是穩(wěn)定的，本章將對(duì)前兩階屈曲位形的穩(wěn)定性進(jìn)行討論。以收斂的截?cái)嚯A數(shù)，計(jì)算屈曲位形穩(wěn)定性隨中間支撐剛度的變化。

3.1 穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)判斷

為進(jìn)一步研究屈曲穩(wěn)態(tài)構(gòu)型周?chē)恼駝?dòng)特性，首先作如下坐標(biāo)變換

(33)

將式(33)代入控制方程(3)，并結(jié)合屈曲平衡方程(27)，得到關(guān)于v(x,t)的非平凡位形基礎(chǔ)上的振動(dòng)控制方程

(34)

(35)

選取符合邊界條件的多自由度橫向位移表達(dá)式

(36)

將式(36)代入式(35)，兩端同乘以sin(jπx/L)并進(jìn)行對(duì)應(yīng)收斂階數(shù)的截?cái)?，得到非平凡位形上的n階未擾系統(tǒng)方程組

(37)

將式(37)改寫(xiě)為

(38)

其中

y=q

(39)

進(jìn)而求得該系統(tǒng)的2n階Jocabian矩陣

(40)

式中：E為n階單位矩陣；M為系數(shù)矩陣，是關(guān)于參數(shù)P，k，E，L，I，ρ以及B1～Bn的n階對(duì)稱(chēng)矩陣。

根據(jù)λE-J得到矩陣J的特征方程，以及對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)系數(shù)，解出特征值λn。利用常微分方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定性知識(shí)可知，當(dāng)該平衡點(diǎn)的一系列特征值中存在正實(shí)部時(shí)，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。

圖10、圖11以及圖12分別給出了中間支撐剛度為1 000 N/m、3 000 N/m以及100 000 N/m時(shí)平凡位形以及前兩階非平凡位形的特征值穩(wěn)定性分析。從圖10可以看出，隨著軸力的增加，平凡位形在超過(guò)臨界軸力后失穩(wěn)，而一階非平凡位形變得穩(wěn)定；與此同時(shí)，二階非平凡位形特征值雖然會(huì)產(chǎn)生變化，但正實(shí)部一直存在，即在中間支撐剛度為1 000 N/m時(shí)，二階非平凡位形一直是不穩(wěn)定的。

(a) 直線位形穩(wěn)定性

(b) 一階非平凡位形穩(wěn)定性

(c) 二階非平凡位形穩(wěn)定性圖10 k=1 000 N/m時(shí)位形穩(wěn)定性隨軸力的變化Fig.10 Stability of the configuration solutions changing with the axial force while the bearing stiffness is 1 000 N/m

(a) 直線位形穩(wěn)定性

(b) 一階非平凡位形穩(wěn)定性

(c) 二階非平凡位形穩(wěn)定性圖11 k=3 000 N/m時(shí)位形穩(wěn)定性隨軸力的變化Fig.11 Stability of the configuration solutions changing with the axial force while the bearing stiffness is 3 000 N/m

(a) 直線位形穩(wěn)定性

(b) 一階非平凡位形穩(wěn)定性

(c) 二階非平凡位形穩(wěn)定性圖12 k=100 000 N/m時(shí)位形穩(wěn)定性隨軸力的變化Fig.12 Stability of the configuration solutions changing with the axial force while the bearing stiffness is 100 000 N/m

從圖11可以看出，當(dāng)中間支撐剛度較大時(shí)，平凡位形在超過(guò)臨界軸力后變得不穩(wěn)定，而二階非平凡位形變得穩(wěn)定。此時(shí)，雖然一階非平凡位形特征值產(chǎn)生變化，但是正實(shí)部一直存在，一階非平凡位形不穩(wěn)定。

從圖12可以看出，當(dāng)中間剛度近似于無(wú)窮大以后，位形的穩(wěn)定性情況與剛度達(dá)到3 000 N/m時(shí)變化相同，屈曲以后從直線位形直接過(guò)渡到二階非平凡靜平衡位形達(dá)到穩(wěn)定，說(shuō)明此時(shí)穩(wěn)定性不再隨剛度產(chǎn)生變化。

由以上對(duì)比可以得知，雖然非平凡位形有高階多解，但是給定軸向壓力和約束剛度下能夠滿(mǎn)足穩(wěn)定的位形有且僅有只有一組(非平凡位形上下對(duì)稱(chēng)，意義相同)。剛度較小時(shí)，壓力達(dá)到臨界值會(huì)由穩(wěn)定的直線位形叉形分岔到穩(wěn)定的一階非平凡位形。而在剛度較大時(shí)，臨界壓力作用下會(huì)使梁由直線位形直接分岔至穩(wěn)

定的二階非平凡位形；而發(fā)生這一轉(zhuǎn)換的剛度臨界值即為式(26)推導(dǎo)得到的k=45EIπ4/28L3，代入?yún)?shù)后，此模型下的數(shù)值約是k=2 113 N/m。

3.2 一階非平凡位形穩(wěn)定性的物理解釋

對(duì)于不同支撐剛度條件下，一階非平凡位形的穩(wěn)定性可以從物理角度進(jìn)行解釋。對(duì)一階非平凡位形函數(shù)求二階導(dǎo)，即可得到屈曲位形的曲率表達(dá)式。如圖13所示，剛度為0、1 000 N/m以及2 000 N/m時(shí)，其曲率在整個(gè)梁上任一點(diǎn)均是同號(hào)的。但是剛度達(dá)到3 000 N/m時(shí)，中間位置曲率出現(xiàn)異號(hào)。從不同支撐剛度下一階非平凡位形曲率的變化可以判斷，當(dāng)中點(diǎn)處曲率等于0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的支撐剛度為臨界剛度。超過(guò)該剛度后，一階非平凡位形失穩(wěn)，而平凡位形會(huì)直接分岔至二階非平凡位形。

圖13 不同剛度下一階非平凡位形的二階導(dǎo)數(shù)Fig.13 Second derivatives of the first-order nontrivial configurations with different bearing stiffness

4 結(jié) 論

以上工作通過(guò)兩種建模方式得到了帶中間彈性支撐的軸向受壓雙跨梁的運(yùn)動(dòng)控制方程，并在連續(xù)梁模型的基礎(chǔ)上，對(duì)中間支撐剛度的影響進(jìn)行了詳細(xì)研究，得到以下結(jié)論：

(1) 連續(xù)梁模型的模態(tài)雖然處處連續(xù)可導(dǎo)，但經(jīng)過(guò)足夠多的模態(tài)疊加，連續(xù)梁模型可以以合理的精度描述中間支撐處的剪力突變。

(2) 一階屈曲位形隨支撐剛度的增加遠(yuǎn)離半周期正弦函數(shù)，并且需要使用更高階截?cái)嗖拍苁褂眠B續(xù)梁模型得到收斂的屈曲位形。當(dāng)中間支撐剛度超過(guò)臨界值后，一階屈曲位形失穩(wěn)，物理表現(xiàn)為屈曲位形曲率出現(xiàn)異號(hào)。

(3) 二階屈曲位形截?cái)嗍諗啃圆皇苤虚g支撐剛度影響，僅使用單周期正弦函數(shù)即可精確描述二階屈曲位形。而當(dāng)支撐剛度超過(guò)臨界值后，二階屈曲位形變得穩(wěn)定，此時(shí)中間彈性支撐等同于節(jié)點(diǎn)。