羅永貴, 徐 波, 游泰杰

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽 550001)

1 預(yù)備知識

通常一個有限半群S的秩定義為rank(S)=min{|A|:A?S,〈A〉=S}.如果S是由冪等元集E(S)生成的,那么S的冪等元秩定義為idrankS=min{|A|:A?E(S)?S,〈A〉=S}.半群S與它的子半群V之間的相關(guān)秩定義為r(S,V)=min{|A|:A?S,A∩V=?,〈A∪V〉=S}.對于有限半群的生成集、秩、冪等元秩及其相關(guān)秩的研究一直以來都是半群理論研究中的熱點之一[1-14].

H(n,r)={α∈Hn:|Imα|≤r}, 1≤r≤n-1,

本文在文獻[1-5]的基礎(chǔ)上繼續(xù)考慮保降序且保序有限奇異變換半群Hn的雙邊星理想H(n,r)的秩、冪等元秩及其相關(guān)秩,證明了如下主要結(jié)果.

定理3設(shè)自然數(shù)n≥3,則有

r(H(n,r),H(n,l))=

設(shè)P、Q是自然序集Xn的非空子集,若對?a∈P,b∈Q有a

其中,每個Ai(1≤i≤k)都是凸集,A1

為敘方便,這里引用Green*-等價關(guān)系[15].不難驗證,在半群H(n,r)中L*、R*、J*具有如下刻劃:對?α,β∈H(n,r)有

(α,β)∈L*?Imα=Imβ,

(α,β)∈R*?kerα=kerβ,

(α,β)∈J*?|Imα|=|Imβ|.

本文未定義的術(shù)語及符號參見文獻[16-18].

2 定理的證明

為完成定理的證明先給出若干引理與推論.

引理1[1]設(shè)α∈H(n,r)?Hn,則下列條件等價:

1)α是冪等元;

2) 對?t∈Imα有t=min{x:x∈tα-1};

3)α|Im α是恒等變換.

證明以下分2種情形加以證明.

情形1當(dāng)k=1時,令

情形2當(dāng)2≤k≤r≤n-1,若α的標(biāo)準(zhǔn)表示如下:

其中,每個Ai(1≤i≤k)都是凸集,A1

對1≤i≤k,記ti=minAi.由于a1=1∈A1.以下分2種子情形討論.

情形2.1如果a2∈A2,將考慮a3∈A3或a3?A3.如果a2?A2,注意到α∈H(n,r)及引理1,必有a2∈A1.令

情形2.2對1≤m≤i-1有am∈Am.如果ai∈Ai,將考慮ai+1∈Ai+1或ai+1?Ai+1.如果ai?Ai,注意到α∈H(n,r)及引理1,必有ai∈Ai-1.令

證明以下分2種情形加以證明.

情形3由引理2的情形1知

其中,每個Ai(1≤i≤k)都是凸集,A1

情形4.1若存在i∈{1,2,…,k-1,k}使得|Ai|≥3.可以選擇b∈Ai使得b≠ai且b≠maxAi.令

情形4.2若存在m,p∈{1,2,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}使得m≠p,|Am|≥2且|Ap|≥2.令

引理4設(shè)α,β∈H(n,r),若(α,β),(α,αβ)∈J*,則(αβ,β)∈L*,(α,αβ)∈R*.

證明設(shè)α,β∈H(n,r),若(α,β),(α,αβ)∈J*,則|Imα|=|Imβ|=|Imαβ|.再由Im(αβ)?Imβ,kerα?ker (αβ)與Xn的有限性知,Im(αβ)=Imβ,kerα=ker(αβ),即(αβ,β)∈L*,(α,αβ)∈R*.

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