何巧玲， 阿布都熱西提·阿布都外力

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 新疆 烏魯木齊 830046)

1 熱傳導(dǎo)方程及差分格式的構(gòu)造

考慮熱傳導(dǎo)方程

(1)

式中：u=u(x,t)是擴(kuò)散過程中某種物質(zhì)的濃度，或者固體產(chǎn)熱過程中在x處t時(shí)刻的溫度；f(x),g(t),h(t)是已知函數(shù).

(2)

2 新差分格式的引入

熱傳導(dǎo)方程的顯示格式為

即得

(3)

由(3)式可得

(4)

(1)1

(5)

此法為熱傳導(dǎo)方程顯示的五點(diǎn)差分格式.

3 五點(diǎn)差分格式的穩(wěn)定性

即

即

(1+r)vn+1=[r2cos2kh+2(r-r2)coskh+1-r+r2]vn

令coskh=t,t∈[-1,1]，則

(1+r)vn+1=(2r2t2+2(r-r2)t+1-r)vn

于是格式(5)的穩(wěn)定性條件為r≤3.

4 關(guān)于收斂性定理

證明格式(5)U(xj,tn)在(xj,tn)對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行泰勒展開

(6)

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

對(duì)定解問題

(i)τ=0.008,h=0.0 167,從圖(1)可以看到C-N格式(2)雖然是無條件穩(wěn)定的，但在不連續(xù)的邊界附近有振動(dòng).當(dāng)然，理論上講，C-N格式對(duì)某些參數(shù)的選取會(huì)出現(xiàn)計(jì)算不穩(wěn)定、編程復(fù)雜、計(jì)算量大等缺點(diǎn).

(ii)τ=0.008,h=0.0 334，從圖(2)可以看到修正C-N格式(5)滿足穩(wěn)定性條件為r≤3，在不連續(xù)的邊界附近圖像很光滑且沒有任何振動(dòng)，修正C-N格式不會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象，節(jié)省計(jì)算工作量而且利用格式本身就可以計(jì)算出第一時(shí)間層上的值，這就克服了隱格式解線性方程組的缺點(diǎn).求解熱傳導(dǎo)方程的顯修正C-N格式豐富了數(shù)值求解熱傳導(dǎo)方程的理論方法.

圖1 t=0.01時(shí)，C-N格式的計(jì)算結(jié)果和準(zhǔn)確值比較 圖2 t=0.01時(shí)，修正C-N格式的計(jì)算結(jié)果和準(zhǔn)確值比較

本文提出了一種修正Crank-Nicolson法，是r≤3顯格方法．結(jié)果表明，該方法具有計(jì)算簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，是求解熱傳導(dǎo)方程的有效實(shí)用方法．

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