基于LoG 算子改進(jìn)的自適應(yīng)閾值小波去噪算法

董 雪，林志賢，郭太良

（福州大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，福建 福州350002）

1 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，以及各種數(shù)碼產(chǎn)品和電子設(shè)備的日益普及，人們習(xí)慣于通過(guò)圖像或者視頻的形式獲取事物的信息，但圖像傳輸過(guò)程中會(huì)受到各種噪聲干擾，導(dǎo)致圖像質(zhì)量降低［1］。因此，對(duì)圖像進(jìn)行降噪處理以提高圖像質(zhì)量就顯得尤為重要。傳統(tǒng)的小波閾值去噪算法由于閾值函數(shù)選取不恰當(dāng)，以致去噪效果較差，同時(shí)去噪過(guò)程中會(huì)造成圖像邊緣信息的丟失，導(dǎo)致圖像模糊［2］。人眼視覺(jué)系統(tǒng)理論顯示，人眼對(duì)于邊緣等細(xì)節(jié)信息較敏感，因此邊緣信息的丟失會(huì)導(dǎo)致圖像視覺(jué)質(zhì)量降低。

本文提出一種基于邊緣的自適應(yīng)閾值小波去噪改進(jìn)算法，首先利用LoG 算子提取圖像的邊緣信息。然后在分析、改進(jìn)傳統(tǒng)自適應(yīng)閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)圖像非邊緣部分的閾值函數(shù)加入一個(gè)閾值誤差修正系數(shù)；對(duì)圖像邊緣部分，通過(guò)將邊緣部分小波系數(shù)附近的能量和閾值相結(jié)合，提出一種新的閾值函數(shù)。最后利用改進(jìn)的閾值函數(shù)對(duì)圖像R、G、B 3個(gè)通道分別處理［3］。該算法能夠較好的保留圖像的邊緣特征，提升去噪后圖像的質(zhì)量。

2 基于LoG 算子的邊緣檢測(cè)

常用的邊緣檢測(cè)算子是直接對(duì)圖像邊緣進(jìn)行檢測(cè)得到突出邊緣信息的圖像，如Sobel算子，Prewitt算子，Canny算子，Roberts算子等，沒(méi)有考慮目標(biāo)圖像封閉的輪廓內(nèi)部包含的信息結(jié)構(gòu)的保留，因此不適用于提取含噪圖像的邊緣輪廓。LoG 算子將拉普拉斯銳化濾波器和高斯平滑濾波器結(jié)合起來(lái)，先對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理去掉噪聲，再進(jìn)行邊緣檢測(cè)，對(duì)噪聲有一定抑制作用，因此本文選擇用LoG 算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)，提取邊緣信息。

用LoG 算子提取邊緣信息時(shí)，首先對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理，然后用拉普拉斯算子對(duì)平滑圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)，最后得到邊緣圖像，具體過(guò)程如下所示：

（1）假設(shè)原始圖像為f（x，y），對(duì)其進(jìn)行平滑處理得到圖像g（x，y）：

其中：h（x，y）為平滑函數(shù)：

（2）平滑后的圖像g（x，y）相較于原始圖像f（x，y）會(huì)變模糊，標(biāo)準(zhǔn)差δ決定圖像的模糊程度。

再次對(duì)g（x，y）采用拉普拉斯算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)［4］，即：

2g（x，y）為拉普拉斯算子：

3 改進(jìn)的自適應(yīng)閾值小波去噪算法

3.1 數(shù)學(xué)模型以及算法介紹

傳統(tǒng)的基于邊緣的小波閾值去噪算法基本思路是：首先，用邊緣檢測(cè)算子對(duì)含噪圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)；其次，對(duì)圖像邊緣部分和非邊緣進(jìn)行小波分解，得到兩組小波系數(shù)，分別比較小波系數(shù)與閾值的大小；然后，利用閾值函數(shù)得到新的小波系數(shù)；最后，通過(guò)小波反變換，得到重構(gòu)圖像［5］。其算法框架如圖1所示。

傳統(tǒng)的算法由于邊緣檢測(cè)算子選取不恰當(dāng)，導(dǎo)致邊緣檢測(cè)圖像中比較粗糙，為后續(xù)去噪帶來(lái)一定難度。同時(shí)，傳統(tǒng)算法在邊緣部分圖像的閾值選取中，忽略了小波系數(shù)附近的能量對(duì)圖像的影響，造成圖像邊緣信息丟失，以致圖像模糊［6］。因此，本文對(duì)傳統(tǒng)的自適應(yīng)閾值小波去噪算法進(jìn)行了改進(jìn)，為了保留圖像的所有細(xì)節(jié)信息，不再直接對(duì)圖像進(jìn)行處理，而是先將圖像分解成R、G、B 3個(gè)通道，然后分別處理這3個(gè)通道。改進(jìn)的算法在采用對(duì)噪聲有一定抵抗能力的LoG 算子提取邊緣信息的基礎(chǔ)之上，將邊緣部分小波系數(shù)附近的能量與修正閾值相結(jié)合，得到改進(jìn)的閾值函數(shù)。本文提出的改進(jìn)算法思路整體框架如圖2所示。

圖1 傳統(tǒng)的自適應(yīng)閾值小波去噪算法框架Fig.1 Frame of traditional self－adaptive algorithm

圖2 改進(jìn)的算法整體框架圖Fig.2 Whole frame of improved algorithm

為了進(jìn)一步解釋算法的具體過(guò)程，本文將含噪圖像模型定義為：

其中：g（i，j）表示含噪圖像，f（i，j）表示未加噪的大小為M×N 的原始圖像，x（i，j）表示高斯噪聲［7］。

將含噪圖像g（i，j）分解成R、G、B 3個(gè)通道的灰色圖像，分別對(duì)各個(gè)通道用LoG 算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)，得到邊緣圖像，然后對(duì)含噪圖像和邊緣圖像進(jìn)行相同尺度的小波分解，得到兩組小波系數(shù)Wj，k和Wj，k1。將得到的兩組小波系數(shù)相減得 到非邊緣圖像的小波系數(shù)Wj，k2，其次對(duì)邊緣圖像的小波系數(shù)和非邊緣圖像的小波系數(shù)分別用不同的改進(jìn)的閾值函數(shù)處理，得到兩組新的小波系數(shù)＾Wj，k1和＾Wj，k2，將 新 得 到 的 兩 組 小 波 系 數(shù) 對(duì) 應(yīng) 相加，得到一組去噪圖像的小波系數(shù)＾Wj，k，將得到的小波系數(shù)進(jìn)行小波反變換，分別得到R、G、B 3個(gè)通道的重構(gòu)圖像［8］。最后將R、G、B 3個(gè)通道的灰色重構(gòu)圖像合成，得到去噪圖像p（i，j）。

3.2 改進(jìn)算法最佳閾值及閾值函數(shù)的選取

硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)是小波閾值去噪中最常見(jiàn)的閾值函數(shù)。其表現(xiàn)形式為：

硬閾值函數(shù)：

軟閾值函數(shù)：

式中：Wj，k為含噪圖像經(jīng)小波變換后得到的小波系數(shù)，＾Wj，k為經(jīng)閾值處理后得到的小波系數(shù)，λ 表示閾值。

但上述閾值函數(shù)在消除圖像中的噪聲時(shí)，經(jīng)常把圖像中的有效信息當(dāng)作噪聲消除掉，以致圖像失真。針對(duì)該問(wèn)題，本文提出一種改進(jìn)算法，分別對(duì)非邊緣部分和邊緣部分使用新的閾值函數(shù)：

（1）對(duì)于圖像非邊緣部分，本文在軟閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)。對(duì)大于閾值的小波系數(shù)，軟閾值函數(shù)只是求取小波系數(shù)與閾值的差值，雖然能夠有效去除噪聲，但是對(duì)圖像本身有效信息的小波系數(shù)造成了較大誤差，以致圖像信息的丟失，造成圖像模糊［9］，因此本文提出的改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)閾值增加了一個(gè)閾值誤差修正系數(shù)，利用其與修正閾值之間的差值對(duì)其進(jìn)行誤差修正，以減少失真。改進(jìn)后的閾值函數(shù)定義為：

式中：s為閾值誤差修正系數(shù)，為0.5～1的常數(shù)。

該式中，對(duì)于非邊緣平滑部分，大于閾值的小波系數(shù)直接對(duì)小波系數(shù)作修正處理，小于閾值的小波系數(shù)直接為0。

（2）對(duì)于圖像邊緣部分，簡(jiǎn)單對(duì)小波系數(shù)誤差修正不能保證圖像輪廓的清晰，繼續(xù)對(duì)閾值函數(shù)改進(jìn)。由于小波變換后的高頻子圖集中了圖像的邊緣、輪廓對(duì)應(yīng)位置的大部分能量，所以要考慮到小波系數(shù)附近的能量Ej，k，比較其與修正閾值的關(guān)系，若大于修正閾值的能量，直接求取小波系數(shù)附近能量與收縮閾值差的絕對(duì)值，再求取與1的差值，然后與小波系數(shù)相乘得到新的小波系數(shù)；小于修正閾值的小波系數(shù)直接設(shè)為0。定義改進(jìn)后的閾值函數(shù)為：

其中：a表示控制小波系數(shù)收縮程度，為0.5～1的常數(shù)［10］。Ej，k表示圖像邊緣部分各個(gè)方向小波系數(shù)附近的能量，表達(dá)式為：

對(duì)于閾值λ的選取，本文選擇通用閾值，因?yàn)樗谡龖B(tài)高斯噪聲模型下，針對(duì)多維獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨向無(wú)窮時(shí)，大于該閾值的系數(shù)含有噪聲信號(hào)的概率趨于零：

其中：σ表示標(biāo)準(zhǔn)噪聲方差［11］。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將本文算法與小波閾值去噪算法在Matlab環(huán)境中編程實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。其中閾值函數(shù)中閾值誤差修正系數(shù)s＝0.6，邊緣部分閾值函數(shù)中小波系數(shù)收縮程度α＝0.7，LoG 算子中δ＝2，模板選用最常用的5×5LoG 算子模板，如圖4所示。

圖3中，（a）表示未加噪的原始圖像，（b）表示對(duì)原始圖像200×100截圖加入均值為0，方差為0.02的高斯噪聲后的圖像［12］，（c）表示硬閾值處理圖像，（d）表示軟閾值處理圖像，（e）表示傳統(tǒng)的自適應(yīng)算法處理圖像［6］，（f）表示本文提出的改進(jìn)的自適應(yīng)算法處理圖像。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，硬閾值算法圖像中帽子、眼睛的輪廓雖然比較清晰，但是在保留圖像信息的同時(shí)大部分噪聲也被保留，圖像畫(huà)面過(guò)于粗糙。軟閾值算法和傳統(tǒng)的自適應(yīng)算法圖像中帽子、眼睛看起來(lái)過(guò)于模糊，輪廓不夠清晰，而改進(jìn)的自適應(yīng)算法圖像中，帽子、眼睛的輪廓非常清晰，而且加入的噪聲都被消除掉，邊緣細(xì)節(jié)也比較明顯［13］。

圖3 Lena圖像各種去噪算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Experimental results of Lena image with various denoising algorithm

圖4 5×5LoG 算子模板Fig.4LoG Template of 5×5

4.2 算法數(shù)據(jù)分析

為了進(jìn)一步檢測(cè)改進(jìn)的自適應(yīng)算法的優(yōu)越性，分別用均方差MSE、峰值信噪比PSNR、平均絕對(duì)誤差MAE 等標(biāo)準(zhǔn)來(lái)客觀的評(píng)價(jià)圖像的質(zhì)量［14］。PSNR 反映去噪后的圖像與原圖像的吻合程度，一般情況下，PSNR 的值越高，表示失真越小，圖像質(zhì)量越高。MAE是所有單個(gè)觀測(cè)值與算術(shù)平均值的偏差的絕對(duì)值的平均，數(shù)值越小，圖像越接近。本文采用最常用的MSE、PSNR、MAE的公式，分別如式（12）～（14）所示。

其中：M、N 分別表示圖像的長(zhǎng)、寬。f（i，j）表示經(jīng)處理過(guò)的圖像，p（i，j）表示原始圖像。

在Matlab環(huán)境中比較4.1節(jié)中未加噪原始圖像M×N 截圖與經(jīng)算法處理后圖像的MSE、PSNR、MAE值［15］，其中M＝200，N＝100，結(jié)果如表1所示。

表1 200×100點(diǎn)陣Lena圖像去噪算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表Tab.1 Comparison of denoising effects in different methods with Lena image

表2 720×576點(diǎn)陣Barbara圖像去噪實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表Tab.1 Comparison of denoising effects in different methods with Barbara image

表1 中，改進(jìn)的自適應(yīng)算法的PSNR 值為26.05，高于硬閾值算法23.22%，軟 閾值算 法13.11%，傳統(tǒng)自適應(yīng)算法12.09%，MAE 值為9.47，低 于 硬 閾 值 算 法45.5%，軟 閾 值 算 法25.79%，傳統(tǒng)自適應(yīng)算法22%。

繼續(xù)在Matlab 環(huán)境中比較720×576 點(diǎn)陣Barbara 圖像與經(jīng)算法處理后圖像的 MSE、PSNR、MAE值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 中，改進(jìn)的自適應(yīng)算法的PSNR 值為28.98，高于硬閾值算法33.30%，軟 閾值算 法9.03%，傳 統(tǒng) 自 適 應(yīng) 算 法9.40%，MAE 值 為6.98，低 于 硬 閾 值 算 法56.84%，軟 閾 值 算 法21.49%，傳統(tǒng)自適應(yīng)算法21.58%。

綜上數(shù)據(jù)表示，經(jīng)改進(jìn)的自適應(yīng)算法處理的圖像與未加噪之前的圖像相比吻合度最高，失真最小，進(jìn)一步證明了改進(jìn)的自適應(yīng)算法的優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

本文提出一種改進(jìn)的自適應(yīng)閾值小波去噪算法：在軟閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)圖像非邊緣部分的閾值函數(shù)加入一個(gè)閾值修正系數(shù)；對(duì)圖像邊緣部分，通過(guò)將小波系數(shù)附近的能量應(yīng)用到自適應(yīng)閾值函數(shù)中，構(gòu)建新的閾值函數(shù)；最后對(duì)圖像的R、G、B 3 個(gè)通道分別處理，保留圖像的所有細(xì)節(jié)信息。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和算法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明，采用該算法對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理，消噪后圖像與含噪圖像的PSNR 值高于傳統(tǒng)自適應(yīng)算法12.09%；MAE 值 低 于 傳 統(tǒng) 自 適 應(yīng) 算 法22%。可以更好的解決邊緣信息容易丟失的問(wèn)題，保留圖像的細(xì)節(jié)信息，改善圖像的質(zhì)量，提高去噪效果。

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