基于變分偏微分方程的紅外圖像增強(qiáng)算法研究

趙文達(dá)，趙 建，韓希珍，續(xù)志軍

（1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

1 引 言

隨著紅外成像技術(shù)的發(fā)展，紅外圖像在遙感探測、醫(yī)療衛(wèi)生、公共安全、交通運(yùn)輸以及軍事等領(lǐng)域取得了越來越廣泛的應(yīng)用。但由于紅外探測器件的光敏響應(yīng)的不均勻性，系統(tǒng)的非線性以及受外界環(huán)境的干擾，使得紅外圖像具有噪聲大，目標(biāo)邊緣模糊和紋理細(xì)節(jié)不清楚的缺點(diǎn)。因此，需要對紅外圖像進(jìn)行增強(qiáng)，使圖像適合計(jì)算機(jī)的識別和系統(tǒng)跟蹤應(yīng)用［1－3］。

已有的圖像增強(qiáng)算法很多［4－6］，主要分為空域法和頻域法兩類?？沼蚍ㄊ侵苯訉D像像素灰度進(jìn)行操作，主要包括直接灰度變換、空域?yàn)V波和直方圖處理等。該方法運(yùn)算量小實(shí)時性好，缺點(diǎn)是不能從頻率角度反映圖像各部分的區(qū)別，圖像分辨力差。頻域法是對圖像進(jìn)行傅里葉變換后對其頻譜再進(jìn)行分析操作，然后通過反變換獲得處理后的結(jié)果，主要包括傅里葉變換和小波變換等。該方法具有很好的頻率處理能力，但計(jì)算量大實(shí)時性差。近年來，基于變分偏微分方程的圖像處理技術(shù)以其精度高、將圖像轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型便于處理等優(yōu)點(diǎn)倍受青睞。該技術(shù)將圖像看作是連續(xù)區(qū)域進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，求解時將其轉(zhuǎn)化為隨時間變化的離散格式。并將圖像離散為間距很小的網(wǎng)格，如梯度、散度等偏微分算子采用差分法進(jìn)行表述。

本文將變分偏微分方程理論用于紅外圖像的增強(qiáng)，主要是構(gòu)造一個隨著梯度值增大而減小的函數(shù)（≥1）作為原圖像梯度場的系數(shù)，增強(qiáng)微弱的有用細(xì)節(jié)，突出圖像的邊緣。從變換后的梯度場重建出增強(qiáng)的圖像采用變分偏微分方程理論，并對該算法采用有限差分法進(jìn)行求解。最后通過與現(xiàn)有的直方圖均衡和平臺直方圖均衡算法做主觀和客觀比較，驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性。

2 紅外圖像的變分偏微分增強(qiáng)

結(jié)合變分偏微分方程思想，本文在圖像的梯度域，通過增強(qiáng)圖像的梯度場來達(dá)到增強(qiáng)圖像邊緣和細(xì)節(jié)的目的。對于

的紅外圖像，圖像中某點(diǎn)p 的梯度定義：

梯度值代表灰度變化的速度，矢量的方向代表灰度朝哪個方向變化。圖像的每個像素點(diǎn)的梯度總和組成了梯度矢量場［7］。

圖像梯度值大的地方，紋理細(xì)節(jié)看上去就比較清楚。所以，重建圖像的梯度場時，在梯度值小的微弱細(xì)節(jié)，增加梯度值，增強(qiáng)微弱細(xì)節(jié)，在梯度值比較大的邊緣區(qū)域，適當(dāng)增加梯度值，使圖像邊緣更加突出。因此，構(gòu)造一個隨著梯度值增大而減小的函數(shù)g（｜I｜）作為原圖像梯度場的系數(shù)，得到如下重建的梯度場T：

圖1 梯度場增強(qiáng)系數(shù)與梯度值關(guān)系Fig.1 Relationship between gradient field enhancement coefficient and gradient value

通過圖1的梯度值與函數(shù)的關(guān)系可以看出：當(dāng)梯度值非常小時，梯度場增強(qiáng)系數(shù)最大，可以增強(qiáng)圖像的微弱細(xì)節(jié)；隨著梯度值的增加，梯度場增強(qiáng)系數(shù)逐漸減小，最后趨向于1，防止了大的梯度值被過分增大，從而增強(qiáng)的圖像看上去比較柔和。選擇不同的梯度門限r(nóng)1、r2、r3和r4的值，可以控制梯度場增強(qiáng)的大小即圖像對比度的大小。

從變換之后的梯度場中重建出增強(qiáng)圖像，即是尋找增強(qiáng)的圖像u（x，y），使如下的泛函最小：

其中：T 為重建的梯度場。

3 泛函的求解

常見的求解泛函極值的方法主要有：變分法，遺傳算法，最大值原理等，但在圖像處理應(yīng)用中，變分法最為常用。記F（x，y，u，ux，uy）為被積函數(shù)，則

式中：T＝（T1，T2）， 為梯 度 算 子，u＝（ux，uy），x，y 表示偏微分的變量。根據(jù)變分法原理［8］可知，泛函E（u）取極值時有

上式中存在許多微分算子，在數(shù)字圖像處理中須對其離散化求解。有限差分法是對待此類問題的常用方法，首先對圖像進(jìn)行等間隔采樣［10］，本文取采樣步長Δx，Δy 為1。拉普拉斯算子應(yīng)用向前差分，散度應(yīng)用向后差分。

時間偏微分：

空間偏微分：

拉普拉斯算子應(yīng)用：

散度采用向后差分近似：

結(jié)合公式（8）～（12）可得公式（7）的迭代過程如下

在以上數(shù)值計(jì)算過程中，采用時域有限差分法，通過對圖像的迭代來找到最優(yōu)效果的增強(qiáng)圖像。有限差分法高效簡單，通常通過有限次數(shù)的迭代就可找到視覺效果好的圖像。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

對比于直方圖均衡、平臺直方圖均衡［11］算法，本文做了大量的實(shí)驗(yàn)來證明本文算法的優(yōu)越性，選擇其中兩組有代表性的圖像進(jìn)行說明。在算法中，取ε＝4，r1＝0.005，r2＝100，r3＝20，r4＝15，Δt＝1，迭代次數(shù)n＝15。處理結(jié)果如圖2、圖3所示。

通過圖2可以看出：直方圖均衡化可以有效地調(diào)節(jié)圖像的亮度，但會使圖像“過亮”，而且會使一些灰度相近、分布較少的灰度值的細(xì)節(jié)信息被抹去，如圖2的車輪；平臺直方圖均衡化給圖像細(xì)節(jié)的提升留出了空間，使圖像的亮度比較均勻，但平臺值很難確定，實(shí)驗(yàn)中的平臺值使圖2（c）中遠(yuǎn)處的樹林比較清晰，但車仍然模糊；經(jīng)過本文算法增強(qiáng)后，圖像的微弱細(xì)節(jié)得以增強(qiáng)，如圖2中的車輪、遠(yuǎn)處的樹林。圖3為含有較大噪聲的圖片，通過對比可以看出，圖片（b）和（c）噪聲明顯，而本文算法對原圖像的噪聲并沒有過分放大，如圖片（d）左上角的天空。

圖2 紅外原圖及其經(jīng)過各種增強(qiáng)算法后的對比.（a）原圖；（b）直方圖均衡化；（c）平臺直方圖均衡化；（d）本文算法.Fig.2 Contrast between Infrared original image and various enhancement algorithms.（a）Original image；（b）Histogram equalization；（c）Platform histogram equalization；（d）The algorithm.

圖3 紅外原圖及其經(jīng)過各種增強(qiáng)算法后的對比.（a）原圖；（b）直方圖均衡化；（c）平臺直方圖均衡化；（d）本文算法.Fig.3 Contrast between infrared original image and various enhancement algorithms.（a）Original image；（b）Histogram equalization；（c）Platform histogram equalization；（d）The algorithm.

本文采用灰度平均梯度值（GMG）作為客觀評價標(biāo)準(zhǔn)。表達(dá)式為：

GMG 是將一幅圖像長M 和寬N 方向上的相鄰像素的灰度值分別做差，然后求平方和，最后求均方根。它能反應(yīng)圖像的紋理特征變化和圖像的對比度，其值越大就說明圖像越清晰?，F(xiàn)計(jì)算上面2組圖的GMG，結(jié)果如表1所示。

表1 4幅紅外圖像的GMGTab.1 GMG of four infrared images

5 結(jié) 論

提出一種基于變分偏微分方程理論的紅外圖像增強(qiáng)方法。該方法首先將原圖像變換到梯度域，然后構(gòu)造一個隨著梯度值增大而減小的函數(shù)（≥1）作為原圖像梯度場的系數(shù)，增強(qiáng)圖像微弱的有用細(xì)節(jié)，突出圖像的邊緣，最后通過變分偏微分方程理論從變換后的梯度場重建出增強(qiáng)的圖像?？紤]到噪聲可能會被同時放大，在梯度場的變換中對噪聲進(jìn)行了限幅。實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，本文算法將原圖像的灰度平均梯度3.885和2.385分別增加到9.693和7.618，提高了2～3 倍，對增強(qiáng)紅外圖像的邊緣和微弱有用信息效果明顯，避免了直方圖均衡類算法丟失一些灰度相近且分布較少的微弱細(xì)節(jié)信息的缺點(diǎn)，為圖像識別和跟蹤應(yīng)用提供了高質(zhì)量的圖像信息。

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