陳 莉

(陜西理工學(xué)院 物理與電信工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

0 引 言

小波變換具有較好的多分辨率特性，它可以將圖像以不同尺度進(jìn)行分解，利用小波變換將圖像變換到頻域，不僅可以將圖像分解成低頻、水平方向高頻、垂直方向高頻和對角方向高頻信息，而且可以將圖像進(jìn)行不同尺度不同分辨率的分解，得到不同尺度的小波分解系數(shù)，因此小波變換已在圖像處理技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用[1-3]，現(xiàn)有的利用小波變換進(jìn)行圖像處理的方法是對小波分解后得到的不同尺度的小波系數(shù)分別進(jìn)行處理，由于各層尺度不同，要將處理后的每層小波系數(shù)進(jìn)行逐級重構(gòu)恢復(fù)圖像，而每一級的重構(gòu)都會包含上一層的低頻和高頻信息，不利于低頻信息和高頻信息的分離和集中處理。

本文對圖像進(jìn)行多尺度小波分解后沒有對各分辨率下不同尺度的小波系數(shù)進(jìn)行處理，而是對分解后的不同尺度不同頻率的小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)，這樣就將尺度不同的各層低頻和高頻信息轉(zhuǎn)換成尺寸大小相同的低頻和高頻信息，由于尺寸相同，可以根據(jù)圖像增強(qiáng)的需要，集中提取各層低頻或高頻重構(gòu)信息，采用增強(qiáng)技術(shù)集中處理，充分分離低頻和高頻信息，提高圖像增強(qiáng)質(zhì)量。這一思想不僅利用小波變換把圖像低頻和高頻信息進(jìn)行了分離，又進(jìn)一步利用單支重構(gòu)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了對各分辨率下頻率信息的集中處理。

1 小波變換及小波分解與重構(gòu)的快速算法(mallat算法)

1.1 連續(xù)小波變換的定義

將任意L2(R)空間中的函數(shù)f(t)在小波基下展開，稱為f(t)的連續(xù)小波變換[4]：

(1)

逆變換：

(2)

1.2 離散小波的定義

離散小波定義[5]：

(3)

離散小波變換中f(t)和小波信號Ψ*(t)沒有被離散，仍然是時間的連續(xù)變量，離散的變量是位移值τ和尺度值a。

1.3 信號的分解與重構(gòu)快速算法(mallat算法)

1.3.1 信號的分解

信號的分解公式[6]：

(4)

(5)

式(4)為低頻信號的分解過程，xi+1,k為第i+1級離散低頻分解信號，是由上一級(第i級)低頻信號xi,k分解而來，從濾波器的設(shè)計(jì)角度考慮：h為低通濾波器；式(5)為高頻細(xì)節(jié)信息的分解過程，di+1,k為第i+1級離散高頻細(xì)節(jié)分解信號，是由上一級(第i級)高頻信號di,k分解而來，從濾波器的設(shè)計(jì)角度考慮：g為高通濾波器。

1.3.2 信號的重構(gòu)

信號的重構(gòu)公式為：

(6)

第i級低頻信號xi,n由第(i+1)級低頻信號xi+1,k和高頻信號di+1,k按式(6)重建得到；h為低通濾波器，g為高通濾波器[6]。

1.4 二維圖像的小波多尺度分解與逐級重構(gòu)

1.4.1 小波多尺度分解

小波多尺度分解的思想是對圖像進(jìn)行不同尺度的分解，既可以大尺度觀察圖像粗略特征，也可以小尺度觀察圖像細(xì)節(jié)特征[6-7]。

圖1 圖像小波分解示意圖

1.4.2 在MATLAB下對圖像進(jìn)行小波分解

對256×256的lena.bmp圖像用syms4小波作2層分解，分解后得到小波系數(shù)如圖2所示?？梢钥吹皆紙D像的大小為256×256；做一層分解后低頻信息ca1(LL(1))的大小為131×131,它代表圖像輪廓信息,集中了圖像大部分能量，水平方向高頻細(xì)節(jié)信息ch1(HL(1))的大小為131×131，垂直方向高頻細(xì)節(jié)信息cv1(LH(1))的大小為131×131，對角方向高頻細(xì)節(jié)信息cd1(HH(1))的大小為131×131，這些高頻信息描述了圖像各方向上的細(xì)節(jié)信息；二層分解后低頻信息ca2(LL(2))的大小為69×69，水平方向高頻細(xì)節(jié)信息ch2(HL(2))的大小為69×69，垂直方向高頻細(xì)節(jié)信息cv2(LH(2))的大小為69×69，對角方向高頻細(xì)節(jié)信息cd2(HH(2))的大小為69×69，各層分解后小波系數(shù)大小不同。

(a)原始圖像 (b)一層分解 (c)二層分解 圖2 MATLAB下圖像的2層小波分解圖

2 利用小波變換及其單支重構(gòu)實(shí)現(xiàn)的圖像增強(qiáng)方法

在多尺度分解的基礎(chǔ)上，直接對分解小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)，得到維數(shù)相同的各層重構(gòu)圖。如需要得到圖像低頻增強(qiáng)信息，只需對各層低頻重構(gòu)信息進(jìn)行處理并線性疊加，便可得到所需低頻信息，且該圖像各尺度上的高頻信息被濾除；相反，如需要得到高頻細(xì)節(jié)信息，只需對各層高頻信息進(jìn)行處理并線性疊加，便可得到所需高頻增強(qiáng)圖像，且各尺度低頻信息被濾除。

2.1 對分解后各尺度小波系數(shù)在MATLAB下的單支重構(gòu)實(shí)現(xiàn)方法

實(shí)現(xiàn)步驟：

(1)對256×256 lena.bmp圖像利用sym4小波進(jìn)行2層分解，得到小波分解結(jié)構(gòu)(c,l)，利用wavedec2函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

(2)提取一層分解小波系數(shù)：131×131低頻系數(shù)、131×131水平方向高頻系數(shù)、131×131垂直方向高頻系數(shù)、131×131對角方向高頻系數(shù)；提取二層分解小波系數(shù)：69×69低頻系數(shù)、69×69水平方向高頻系數(shù)、69×69垂直方向高頻系數(shù)、69×69對角方向高頻系數(shù)，利用appcoef2函數(shù)提取二層分解低頻系數(shù)，appcoef1函數(shù)提取一層分解低頻系數(shù)，detcoef2函數(shù)提取二層分解各個方向高頻小波系數(shù)，detcoef1函數(shù)提取一層分解各方向高頻小波系數(shù)。

(3)根據(jù)以上小波分解結(jié)構(gòu)和提取的小波系數(shù)使用wrcoef2對第二層分解小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)，利用wrcoef1對第一層分解小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)，得到的各層重構(gòu)信息，其尺寸與原始圖像尺寸大小相同，均為256×256，在MATLAB下仿真結(jié)果如圖3所示。

2.2 分段線性增強(qiáng)

分段線性增強(qiáng)的主要思想是對圖像實(shí)現(xiàn)分段增強(qiáng)處理，這一思想常被用于對原始圖像的灰度值進(jìn)行處理，本文采用這一方法對各層重構(gòu)信息進(jìn)行處理，公式如下[9]：

(7)

公式(7)的輸入值y(x,y)不是圖像灰度值而是圖像各層單支重構(gòu)值，mf表示單支重構(gòu)信息y(x,y)的最大值，式(7)的算法表示各單支重構(gòu)信息y(x,y)的取值范圍由[a,b]擴(kuò)展到了[c,d],實(shí)現(xiàn)了[a,b]的行拉伸，對[0,a]和[b,mf]的抑制。通過對式(7)中的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，改變線段的斜率，可以實(shí)現(xiàn)對任意單支重構(gòu)信息區(qū)間進(jìn)行拉伸或抑制，從而凸顯出圖像中感興趣的區(qū)域。

2.3 圖像增強(qiáng)處理的實(shí)現(xiàn)步驟

(a)第一層低頻重構(gòu) (b)第一層水平高頻重構(gòu)

(c)第一層垂直高頻重構(gòu) (d)第一層對角高頻重構(gòu)圖3 一層小波系數(shù)的單支重構(gòu)圖

(a)原始圖像 (b)一層低頻增強(qiáng)圖像

(c)二層低頻增強(qiáng)圖像 (d)各層增強(qiáng)后低頻圖像線性疊加圖4 低頻信息增強(qiáng)圖像

(1)在MATLAB下對圖像進(jìn)行多尺度小波分解，得到不同尺度下的低頻系數(shù)(ca1,ca2,ca3,…)，水平方向高頻系數(shù)(ch1,ch2,ch3,…)，垂直方向高頻系數(shù)(cv1,cv2,cv3,…)，對角方向高頻系數(shù)(cd1,cd2,cd3,…)。

(2)對分解后系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)，得到各尺度下單支重構(gòu)值：低頻各尺度單支重構(gòu)(a1,a2,a3,…)；水平方向各尺度單支重構(gòu)(h1,h2,h3,…)；垂直方向各尺度單支重構(gòu)(v1,v2,v3,…)；對角方向各尺度單支重構(gòu)(d1,d2,d3,…)。

(3)對低頻重構(gòu)值進(jìn)行分段線性增強(qiáng)并對增強(qiáng)后值進(jìn)行加權(quán)平均。對處理后的各層重構(gòu)值進(jìn)行線性疊加可得到處理后圖像，該圖像的低頻信息得到了增強(qiáng)，充分分離高頻信息。

(4)對各層各方向高頻信息進(jìn)行分段線性增強(qiáng)后加權(quán)平均，將處理后各層各頻率重構(gòu)值進(jìn)行線性疊加，可得到高頻信息增強(qiáng)圖像，該圖像只保留細(xì)節(jié)信息。充分分離低頻信息，細(xì)節(jié)信息將得到增強(qiáng)。

(5)對各層低頻重構(gòu)值進(jìn)行分段線性增強(qiáng)并對增強(qiáng)后值進(jìn)行加權(quán)平均，對各層各方向高頻信息進(jìn)行分段線性增強(qiáng)后加權(quán)平均，對處理后的各層重構(gòu)值進(jìn)行線性疊加可得低頻和高頻信息均得到增強(qiáng)的圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

對256×256 lena.bmp圖像用sym4小波做2層分解，對各層小波分解系數(shù)做單支重構(gòu)得到各層不同頻率重構(gòu)信息，實(shí)驗(yàn)中首先提取各層低頻重構(gòu)信息，對其做線性分段增強(qiáng)，得到如圖4所示一層低頻增強(qiáng)圖像，二層低頻增強(qiáng)圖像，再將增強(qiáng)后各層低頻重構(gòu)信息線性疊加得到如圖4(d)所示各層低頻集中處理增強(qiáng)圖像，從圖4中可以看出集中處理后的低頻增強(qiáng)圖像其增強(qiáng)效果優(yōu)于一層和二層低頻增強(qiáng)圖像。

提取各層高頻細(xì)節(jié)對其分別做分段線性增強(qiáng)，得到如圖5所示一層和二層各方向高頻細(xì)節(jié)增強(qiáng)圖像，對其線性疊加，得到如圖5(g)所示的各層高頻邊緣細(xì)節(jié)集中處理增強(qiáng)圖像，可以看出經(jīng)過增強(qiáng)處理后圖像高頻細(xì)節(jié)信息得到明顯增強(qiáng)。

(a)一層水平高頻增強(qiáng)圖像 (b)一層垂直高頻增強(qiáng)圖像 (c)一層對角高頻增強(qiáng)圖像

(d)二層水平高頻增強(qiáng)圖像 (e)二層垂直高頻增強(qiáng)圖像 (f)二層對角高頻增強(qiáng)圖像

(g)各層增強(qiáng)后高頻圖像線性疊加

對各層低頻和高頻信息同時做如上所述增強(qiáng)處理可得到如圖6所示低頻高頻同時增強(qiáng)圖像，與原始圖像對比增強(qiáng)后圖像的輪廓和細(xì)節(jié)信息得到增強(qiáng)，且效果明顯。

(a)原始圖像 (b)低頻高頻同時增強(qiáng)圖像圖6 低頻、高頻信息同時增強(qiáng)圖像

4 結(jié)束語

算法在處理的過程中將高頻信息和低頻信息充分分離出來，有效提高了不同頻率成分圖像的增強(qiáng)效果；把在空域采用的分段線性增強(qiáng)技術(shù)應(yīng)用到對小波單支重構(gòu)值的處理上，達(dá)到了對各尺度高頻或低頻信息增強(qiáng)的目的，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：算法具有很高的靈活度，既可以對圖像低頻信息增強(qiáng)，又可以對圖像高頻邊緣細(xì)節(jié)信息增強(qiáng)。

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