一種基于模糊性理論的最優(yōu)保險決策模型

朱佳兵，王秋庭

(武漢科技大學理學院，湖北 武漢，430065)

模糊性是普遍存在的，而信息的模糊性對人類的選擇行為具有重要影響。為了更好地對信息模糊性進行分析，基于模糊性的模型相繼被提出，其中，比較著名的有Choquet期望效用模型[1]、α-極大極小期望效用模型[2]、光滑模糊厭惡模型(KMM Model)[3]等。

將信息模糊性引入保險市場研究則相對較晚，國外的研究主要集中在兩個方面。第一，考查模糊性對市場和市場參與者行為的影響。例如，Hogarth等[4]通過實驗觀察了保險人和再保險人對模糊性的行為反應(yīng)，結(jié)果表明投保人和保險人對模糊性是厭惡的，即在模糊性下，保險人向投保人收取的保費和投保人愿意支付的保費都要比 “純風險”情形下的保費高；Kunreuther等[5]對保險人的模糊性偏好與市場失效之間的關(guān)系進行了研究；Alary等[6]研究了模糊性厭惡對市場需求的影響，認為模糊性厭惡會導致對自我保險需求的增加和自我保護需求的減少；Etner等[7]研究了模糊性厭惡對醫(yī)療保險市場的影響，發(fā)現(xiàn)投保人對醫(yī)療保險的需求程度與其模糊性程度正相關(guān)。第二，研究模糊性下的最優(yōu)保險設(shè)計問題。例如，Gollier[8]在假定投保人為模糊厭惡的情況下，運用KMM模型得到最優(yōu)保險合同與模糊性結(jié)構(gòu)有關(guān)和模糊厭惡的投保人對最優(yōu)保險的承保范圍要比其他人低的結(jié)論；Huang等[9]研究發(fā)現(xiàn)，在模糊性條件下，競爭性保險均衡是逆向選擇還是正向選擇，取決于保險人對模糊性的厭惡程度。在我國，由于保險業(yè)起步較晚，目前的研究大部分還停留在基礎(chǔ)層面，國內(nèi)幾乎沒有關(guān)于模糊性下保險市場以及保險定價等問題的研究。

通過對大量文獻的分析發(fā)現(xiàn)，對于信息模糊性下的保險市場研究，大部分局限在對模糊性存在的實驗或?qū)嵶C研究，或者只考慮單邊模糊性或單個壟斷性保險人等方面，而對于雙邊模糊性條件下的保險市場研究相對較少。

本文將保險決策研究拓展到雙邊模糊性范疇，即保險人與投保人均面臨一定程度的模糊性情況。在假定投保人為風險厭惡、保險人為風險中性的條件下，探討兩者面臨相同的模糊性程度時的市場均衡問題，給出模糊性均衡保險市場中投保人的決策模型，通過對模型的求解，得到投保人的最優(yōu)保險決策。

1 模糊性理論概述

令Ω={ω1,…,ωn}為給定的自然狀態(tài)集，Σ為Ω上一代數(shù)，行為(隨機變量)ξ:Ω→為Ω中每一個狀態(tài)指定了一個結(jié)果，v(ω)為基本事件ω發(fā)生的概率。不存在模糊性時，就是指定給Ω的確定的先驗概率，依據(jù)主觀期望效用理論(SEU)，可以得到?jīng)Q策者對于行為的偏好關(guān)系集，從而得到?jīng)Q策者的最優(yōu)選擇。然而在實際中，決策者往往得不到相關(guān)事件的準確信息，獲取的信息多半具有模糊性，這樣就導致了決策者的行為無法用期望效用函數(shù)來描述。為了考慮信息的模糊性，Gilboa等[10]采取了如下方法：用已經(jīng)存在的不同專家意見或多個先驗概率表示信息的模糊性，用一不可加概率測度表示決策者的信任函數(shù)，用Choquet積分表示其偏好。 一不可加概率測度或容量v就是一集函數(shù)v∶Σ→，滿足v(?)=0；v(Ω)=1；?A,B∈Σ∶A?B，有v(A)≤v(B)。稱v是凸的，如果滿足v(A∪B)+v(A∩B)≥v(A)+v(B)。

給定凸的容量v，定義其核為：

Core(v)={p|①p為Ω上一測度；②?A?Ω,p(A)≥v(A)；③p(Ω)=v(Ω)}。

關(guān)于Core(v)，Huber等[11]給出如下性質(zhì)：

v=min{p|p∈Core(v)}

(1)

由上述定義和性質(zhì)可知，Core(v)實際上可以看成是決策者指定給Ω的可選概率分布，或者說是決策者對未知信息(模糊性程度)的估算(測度)，而v則是其核Core(v)中“最糟糕”情況下的概率分布。由此給出模糊性程度的定義。

定義1設(shè)決策者1和決策者2可選的先驗概率集分別為A和B，若A?B，則稱決策者2比決策者1面臨更多的模糊性。

若A=B，即決策者1和決策者2面臨相同的模糊性，由式(1)可知，他們指定在原狀態(tài)空間Ω上各狀態(tài)的先驗概率是相等的。

當模糊性存在時，關(guān)于決策者對行為ξ的評價U(ξ)，文獻[10]給出了如下定理。

(2)

和

(3)

同時隨機變量ξ對相應(yīng)的不可加概率測度v的Choquet積分可以表示為:

(4)

式中：Ti=T{ωi},T={ω1,…,ωn}。所有不可加概率測度組成的集合V為對自然數(shù)運算的一個線性空間。

2 模糊性下的保險市場模型

保險實際上是一種風險管理方式，而風險最終只可能有兩種狀態(tài)：發(fā)生或不發(fā)生，投保人根據(jù)對風險的評估來決定買何種保險。故本文對所研究的保險市場作如下假定：

(1)保險市場中有足夠多的保險人和投保人，同時市場是均衡的，也就是說市場上提供了多種保險產(chǎn)品供投保人選擇。

(2)市場只有兩種可能的狀態(tài)，或者說Ω={Accident, No-accident}，簡寫為Ω={A, N}。

(3)保險人與投保人關(guān)于“風險發(fā)生幾率”的信息是模糊的，即無法知道風險發(fā)生的客觀概率。

對保險人來說，通過風險的匯聚，可以對同質(zhì)的風險進行識別。所以，一般來說被保險人對風險的厭惡程度更強。本文假定，保險人為風險中性的，投保人為風險厭惡的。

m({A})=v({A}),m({N})=v({N})

(5)

m({A,N})=v(Ω)-v({A})-v({N})=

1-v({A})-v({N})

(6)

設(shè)投保人和保險人的初始財富值分別為w0和w1，投保標的價值為d。投保人提供的保險合同為(P,I)，表示保險人向投保人收取保費P，當損失d發(fā)生時，對投保人給予賠付Ι，Ι為非負數(shù)。記(ξ(A),ξ(N)) 和(ξ′(A),ξ′(N))分別為保險人和投保人在風險發(fā)生或者不發(fā)生后的財富值，u(w)為期望效用函數(shù)。購買保險(P,I)后，投保人的財富值

ξ(A)=w0-d+I-P,ξ(N)=w0-P

(7)

由式(4)知：

=u(ξ(A))m({A})+u(ξ(N))m({N})+

m({A,N})min[u(ξ(A)),u(ξ(N))]

(8)

對保險人來說，他希望通過出售保險來使收益最大化。出售保險(P,I)的Choquet期望效用為

=u(ξ′(A))m({A})+u(ξ′(N))m({N})+

m({A,N})min[u(ξ′(A)),u(ξ′(N))]

(9)

式中：ξ′(A)=w1-I+P,ξ′(N)=w1+P。

由保險人為風險中性可知u(w)=w，代入式(9)，化簡得 ：

U′=w1+P-(1-vN)I

(10)

對于均衡市場，通常是零期望賠付的，即U′-w1=0，所以有

(11)

均衡市場下，投保人選擇最優(yōu)保險的問題實際上就是最大化其Choquet期望效用問題，即求解如下最優(yōu)化問題：

(12)

3 模型求解

因投保人為風險厭惡的，可知其效用函數(shù)的導數(shù)u″<0和u′>0，故效用函數(shù)u是單增的。

易知，當I>d時，u(ξ(A))>u(ξ(N))；當I

最優(yōu)化問題(12)可化為

(13)

將式(7)和式(11)代入上式，有

(14)

對P求導，有

(15)

由于模糊性的存在，故

m({A,N})=1-vA-vN>0

(16)

所以

(17)

又因為當P>(1-vN)d時，

(18)

(19)

隨著模糊性程度的增加，即m({A,N})的增加，保險人和被保險人認為損失發(fā)生的概率m({A})和不發(fā)生的概率m({N})會相應(yīng)地減少。由前面的分析知道，保險公司向投保人收取的保費P將會增加，而所支付的賠付I則會減少。盡管如此，當損失發(fā)生時，投保人依然會得到全額賠付，只不過隨著投保人模糊性程度的增加，其凈收益會相應(yīng)地減少而已。

4 結(jié)語

本文在引入模糊性的基礎(chǔ)上討論了一個簡單均衡保險市場模型下的投保人最優(yōu)決策問題。通過分析得出，在保險人與投保人面臨模糊性程度相同的情況下，足額保險為投保人的最優(yōu)選擇，同時隨著模糊性程度的增加，投保人需要繳納的保費會相應(yīng)地增加，而凈收益會相應(yīng)地減少。

本文考慮了保險人與投保人模糊性程度相同的情況，但并未對兩者模糊性程度不同的情況進行分析，這一點還有待于拓展。再者，保險市場與再保險市場都涉及到風險管理問題，但不同于保險市場的是，再保險市場要解決的主要是對已知風險的再轉(zhuǎn)移情況，能否以及怎樣將模糊性理論應(yīng)用到再保險市場也是值得進一步研究的。

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