張素霞, 胡鋼

(西安理工大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710054)

1 基本模型

當(dāng)前，隨著全球一體化格局的逐漸形成，人類共同面臨著許多已有及新發(fā)傳染病長期而嚴(yán)峻的威脅，對傳染病發(fā)病機(jī)理、傳染規(guī)律和防治策略研究的重要性日益突出，同時(shí)也成為我國疾病控制工作面臨的新的問題和挑戰(zhàn)。目前對傳染病控制問題研究的重要性日益突出，而對一些具體實(shí)施的預(yù)防控制策略的效果分析是復(fù)雜而困難的工作。通過建立恰當(dāng)數(shù)學(xué)模型我們能夠?yàn)榧膊》乐螞Q策提供理論基礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù)，更有利于疾病控制策略的研究。在很多實(shí)際問題中，非線性系統(tǒng)的控制問題都顯示了重要性及復(fù)雜性的特點(diǎn)，從而使其成為了控制問題的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。目前在工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)和生物等很多領(lǐng)域，最優(yōu)控制理論被廣泛利用并發(fā)揮了重要的作用，而在對傳染病動力學(xué)的研究過程中，將最優(yōu)控制問題作為傳染病數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要研究內(nèi)容也已出現(xiàn)[1-4]，本研究將利用理論分析和數(shù)值模擬研究一類傳染病模型的動力學(xué)性態(tài)，并考慮控制疾病傳播的一些措施和效果。

2 模型建立

基于流行病倉室建模的思想,筆者將整個(gè)人口N(t)劃分為3個(gè)倉室：易感者(S(t))、染病者(I(t))和恢復(fù)者(R(t))，其中t為時(shí)間。根據(jù)疾病感染進(jìn)程，一個(gè)易感者通過與染病者的有效接觸而被感染，從而轉(zhuǎn)移至染病者倉室，由于宿主體內(nèi)免疫系統(tǒng)的作用，一些染病者會自動清除病毒而痊愈，從而進(jìn)入到恢復(fù)者類。另外，在感染期若一些機(jī)體由于免疫失敗不能主動清除病毒則將導(dǎo)致疾病的進(jìn)一步發(fā)展，最終可能引起死亡。同時(shí)，在清除病毒后恢復(fù)者會有短期的抗體免疫，但經(jīng)過一段時(shí)間后免疫消失，恢復(fù)者又重新回到易感者類。為了控制疾病的傳播和流行筆者考慮兩類措施：① 利用自我防護(hù)、媒體宣傳和限制外出等手段以減少易感者被傳染的概率；② 除染病者的自愈外，加強(qiáng)對他們的主動治療，從而提高感染者的恢復(fù)比例。在這些假設(shè)的基礎(chǔ)上建立模型為：

3 穩(wěn)定性分析

首先分析無控制措施時(shí)模型的穩(wěn)定性態(tài)，即u1(t)=0,u2(t)=0。

1)無病平衡點(diǎn)E0=(S0,I0,R0)；

2)地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,R*)

式中:

其中：

定理1當(dāng)R0<1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)不存在；當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)存在且唯一。

證明為了方便，令:

k=μ+α+ξ

則:

I*=λ*/k

于是:

因?yàn)棣?非零，且:

由上式得：

(1)

令:

利用Hurwitz判據(jù)、Lyapunov函數(shù)及Lasalle不變集原理，筆者討論兩個(gè)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

定理2當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定。

證明模型(Ⅰ)在E0處的雅可比矩陣為：

于是當(dāng)t→∞時(shí)，有：

這里t0為初始時(shí)刻，因此當(dāng)R0<1時(shí)E0全局漸近穩(wěn)定。

定理3當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。

證明首先，令：

模型在E*處的特征方程為：

x3+a1x2+a2x+a3=0

其中：

a1=2μ+δ+βI*Φ(N*)>0

a2=μβI*Φ(N*)+(α+ξ)A+

(μ+ξ)(μ+βI*Φ(N*))-Cξ>0

a3=βI*Φ(N*)μ(μ+δ)+ξμA+

αA(μ+δ)-Cμξ>0

經(jīng)過計(jì)算，有：

a1a2-a3=

[(2μ+δ)2-μ(μ+δ)]βI*Φ(N*)-

Cξ[1+βI*Φ(N*)-μ] +

[(2μ+δ)(α+ξ)-ξμ-α(μ+δ)]A+

(2μ+δ)(βI*Φ(N*))2+

(α+ξ)AβI*Φ(N*)>0

由Hurwitz判據(jù)知，E0局部漸近穩(wěn)定。

令：

則T(N)(N-N*)≥0。選取Lyapunov函數(shù)，為：

沿模型(Ⅰ)的解對V(N,I,R)求導(dǎo),得：

同時(shí)，V′=0當(dāng)且僅當(dāng)N=N*，I=I*，R=R*，由Lasalle不變集原理知E*全局穩(wěn)定。

4 最優(yōu)控制分析

由于疾病的傳播和蔓延對人們的生活和健康造成的危害甚大，因此筆者將利用龐特里亞金極大值原理來考慮治療和控制疾病傳播的一些措施并給出理論分析和數(shù)值模擬[7-8]。當(dāng)模型(Ⅰ)中的控制函數(shù)u1(t)和u2(t)隨時(shí)間變化時(shí)，人們自然希望通過采取措施取得對疾病最優(yōu)控制效果，一定時(shí)間段內(nèi)人群中染病者人數(shù)能降到較低水平，同時(shí)從經(jīng)濟(jì)成本考慮，采取防治控制措施時(shí)所投入的費(fèi)用不能太高，從而筆者可以定義目標(biāo)函數(shù)為：

(2)

式中，t1表示控制開始的時(shí)間，t2表示控制結(jié)束的時(shí)間。

通常情況下，可以認(rèn)為采取措施時(shí)的經(jīng)濟(jì)投入與控制措施函數(shù)u1(t)及u2(t)之間有某種非線性關(guān)系，這里假設(shè)前者是后者的二次函數(shù)，B1和B2分別表示為降低疾病傳染概率和采取治療措施提高恢復(fù)率時(shí)所投入控制成本的權(quán)重系數(shù)。

其中:

Ω={(u1,u2)∈L1(t1,t2)|0≤ui≤1,i=1,2}

接下來對模型(Ⅰ)在時(shí)間區(qū)間[t1,t2]內(nèi)的控制最優(yōu)解ui(i=1,2)進(jìn)行分析。先定義目標(biāo)函數(shù)(2)的拉格朗日函數(shù)L(S,I,R)為：

同時(shí)，為了分析該控制問題，記H為哈密爾頓函數(shù)，其形式為：

這里fi和λi為時(shí)間t的函數(shù)，分別表示模型(Ⅰ)的右端表達(dá)式和系統(tǒng)的伴隨變量，同時(shí)伴隨變量與哈密爾頓函數(shù)滿足關(guān)系，為：

解得：

根據(jù)實(shí)際情況下對控制函數(shù)的限制，即:

0≤ui≤1i=1,2

(3)

(4)

為了進(jìn)一步了解控制函數(shù)對疾病流行和傳播的抑制效果，在圖1～3中筆者利用數(shù)值結(jié)果顯示了不同情況下控制措施的具體含義及實(shí)際執(zhí)行情況，并且按照這些最優(yōu)防治措施執(zhí)行控制方案時(shí)，能夠?qū)⑷巳褐腥静≌叩娜藬?shù)控制到最少，同時(shí)對降低疾病傳染率和通過治療提高恢復(fù)率所進(jìn)行的經(jīng)濟(jì)投入也最低，達(dá)到了通過采取防治措施對人群中疾病的傳播和流行進(jìn)行最優(yōu)管理和控制的目的，于是得到結(jié)論(定理4)。

當(dāng)不采取控制措施時(shí),由定理3可知在R0>1時(shí)疾病將持續(xù)流行，并且地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，即從初始流行狀態(tài)開始，疾病最終將會穩(wěn)定于地方病平衡點(diǎn)，從而形成地方病。當(dāng)采取治療和控制措施后，可以看到疾病會逐漸得到控制，直至最終絕滅，這說明降低傳染率及通過治療提高恢復(fù)率等聯(lián)合措施在控制疾病傳播過程中具有重要的作用和影響。

圖1 R0=1.4553>1且兩種措施同時(shí)實(shí)施時(shí)控制函數(shù)隨時(shí)間變化圖像及其對疾病流行的影響效果

圖2 R0=1.4553>1且只采取措施降低疾病傳染率時(shí)最優(yōu)控制圖像及其作用效果

圖3 R0=1.4553>1且只采取措施提高恢復(fù)率時(shí)最優(yōu)控制圖像及其對疾病流行的抑制效果

在圖1、圖2和圖3中，權(quán)重系數(shù)B1、B2的取值相同，表明兩種措施的成本一樣，當(dāng)改變權(quán)重系數(shù)時(shí)，進(jìn)一步模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩者的取值對最優(yōu)控制措施的實(shí)施方式影響不大。

5 結(jié) 語

當(dāng)前，對疾病的預(yù)防和控制是傳染病防治工作的重要內(nèi)容之一，而對控制管理的效果進(jìn)行分析和評價(jià)是公共衛(wèi)生部門制定相關(guān)控制策略的重要參考和依據(jù)，其研究重要性隨著一些新發(fā)傳染病的出現(xiàn)和流行而日益突出。利用數(shù)學(xué)模型對疾病的發(fā)生、發(fā)展、流行和控制等過程進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬是研究傳染病問題的一種重要手段和方法，有利于疾病發(fā)展趨勢的預(yù)測和最優(yōu)控制策略的研究，本研究利用倉室模型建模方法，通過建立一個(gè)SIRS模型來分析降低疾病傳染率和通過治療提高恢復(fù)率兩種控制措施對疾病流行所起的影響和作用，討論了最優(yōu)控制理論在流行病倉室數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用問題，并對疾病流行時(shí)對易感者和染病者進(jìn)行管理和控制的措施進(jìn)行了分析和討論，本研究的結(jié)果豐富了流行病動力學(xué)的研究工作，并為疾病控制工作提供了一定的理論指導(dǎo)和建議。

參考文獻(xiàn)：

[1] Bowong S. Optimal control of the transmission dynamics of tuberculosis[J]. Nonlinear Dynamics,2010,61(4): 729-748.

[2] Whang S, Choi S, Jung E. A dynamic model for tuberculosis transmission and optimal treatment strategies in South Korea[J]. Journal of Theoretical Biology,2011,279(1):120-131.

[3] Bowong S, Aziz Alaoui A M. Optimal intervention strategies for tuberculosis[J]. Commun Nonlinear Science Numer Simulat,2013,18(6):1441-1453.

[4] Okosun K O, Rachid O, Marcus N. Optimal control strategies and cost-effectiveness analysis of a malaria model[J]. Biosystems,2013,111(2):83-101.

[5] 馬知恩, 周義倉, 王穩(wěn)地, 等.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2004.

[6] Horst R T, Carlos C C. How may infection age-dependent infectivity affect the dynamics of HIV/AIDS?[J]. Siam Apply Math,1993,53(5):1447-1479.

[7] Pontryagin L S. The mathematical theory of optimal processed[M]. Taylor & Francis, 1987.

[8] 赫孝良, 葛照強(qiáng). 最優(yōu)化與最優(yōu)控制 [M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 2009.