三維非均勻不可壓縮Navier-Stokes方程弱解的存在性

朱道宇

(貴州民族大學 理學院，貴州 貴陽 550025)

考慮如下的非均勻不可壓縮Navier-Stokes方程

(1)

ρ|t=0=ρ0，

(2)

u|t=0=u0.

(3)

當密度ρ為常數(shù)時，方程(1)簡化為均勻不可壓縮Navier-Stokes方程，也稱Navier-Stokes方程．如果設ρ=1，則Navier-Stokes方程為

(4)

在文獻[2-3]中，Scheffer為研究恰當弱解而給出了Navier-Stokes方程的部分正則性理論，Caffarelli等[4]對Scheffer的結果進行了改進，由此證明了對任一恰當弱解，奇異集具有一維Hausdorff零測度．恰當弱解與一般弱解的差別在于，它必須滿足分布意義下的局部能量不等式：

(5)

事實上，局部能量不等式(5)可以看成是如下被Leray-Hopf弱解所滿足的能量不等式的局部形式：

下面給出關于非均勻不可壓縮Navier-Stokes方程的滿足局部能量不等式的弱解的存在性定理.

亦即不等式

對空間中任一具有緊支集的C∞函數(shù)φ≥0成立．這里的

第1步 求解近似方程，構造方程(1)～(3)的近似解(ρn,un,Fn)．

由文獻[1]中定理2.6知，下面的方程

(6)

具有滿足初值條件

(7)

(8)

un=unωn

(9)

(10)

第2步 (ρn,un)的一致估計和收斂性，方程(1)的弱解的存在性．

由方程(6)的能量定律得

(11)

其中C與n無關．又由(10)式知ρn有一致的正下界，所以

(12)

利用Sobolev嵌入和(11)式，得

(13)

在(12)和(13)式之間作插值，得

(14)

再利用Holder不等式，可以從(9)～(11)和(14)式推出

(15)

利用文獻[1]中定理2.5，存在某個函數(shù)ρ使得對任意的T>0和R>0，當n→∞時有

ρn→ρ∈C([0,T];Lp(BR))，p∈[1,+∞),

其中u滿足對任意的R>0，當n→∞時有

(16)

從上面的收斂結果可知，對任意的T>0和R>0，當n→∞時有

(17)

(18)

其中的un如(9)式所定義．類似于文獻[1]中關于存在性的證明，可得(ρ,u)滿足(1)～(3)，因而是(1)～(3)的弱解．

第3步Fn的一致估計和收斂性．

為了得到局部能量不等式，需要對近似壓力作一致估計．通常，對于不均勻Navier-Stokes方程，對任意的T>0和R>0都有

其中的C與T和n無關．

運用Sobolev嵌入，得到近似壓力的一致估計為

因此Fn必存在一個弱收斂的子列，不妨仍記為Fn，即當n→∞時有

(19)

第4步 局部能量不等式．

用un分別乘以(6)式的前2個方程并相加，得到在R3×(0,T)中成立的等式：

(20)

根據(jù)收斂結果(16)～(19)式，可以推出

在(20)式中令n→∞并結合上面4式，得到如下的不等式

參考文獻:

[1] LIONS P L.Mathematical topics in fluid mechanics[M]. New York:Oxford University Press, 1996.

[2] SCHEFFER V. Partial regularity of solutions to the Navier-Stokes equations[J]. Pacific J Math, 1976, 66(2): 535-552.

[3] SCHEFFER V. Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations[J]. Communications in Mathematical Physics, 1977, 55(2): 97-112.

[4] CAFFARELLI L, KOHN R, NIRENBERG L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations[J]. Communications on pure and applied mathematics, 1982, 35(6): 771-831.

[5] SOLONNIKOV V A. A priori estimates for solutions of second-order equations of parabolic type[J]. Trudy Matematicheskogo Instituta im VA Steklova, 1964, 70: 133-212.

[6] SIMON J. Nonhomogeneous viscous incompressible fluids: existence of velocity, density, and pressure[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1990, 21(5): 1093-1117.

[7] GIGA Y, SOHR H. AbstractLpestimates for the Cauchy problem with applications to the Navier-Stokes equations in exterior domains[J]. Journal of Functional Analysis, 1991, 102(1): 72-94.