上田振子系統(tǒng)的混沌及其混沌控制

王小斌,張宇功,范學良

(蘭州交通大學 數(shù)理與軟件工程學院，甘肅 蘭州 730070)

混沌是非線性系統(tǒng)所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式,它作為動力學的一個分支，廣泛地存在于多個科學領域.近年來，隨著計算機技術等的迅速發(fā)展，關于非線性系統(tǒng)混沌學的研究引起了大量學者的關注[1-13].當前混沌理論研究主要從以下幾個方面展開：產(chǎn)生混沌的機理和途徑；混沌的判據(jù)和統(tǒng)計特性；奇怪吸引子和吸引域的幾何結構；各類系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象的深入研究；混沌的控制和工程應用.

在非線性科學中，混沌現(xiàn)象指的是一種確定的但不可預測的運動狀態(tài)，它是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象.常見的典型混沌系統(tǒng)有：Lorenz系統(tǒng)，Rossler系統(tǒng)[4]，Chua電路[6]，Duffing振子[11]，Logistic系統(tǒng)，Henon映射[10]等等.本文以上田振子系統(tǒng)為模型，通過對其進行理論和非線性動力學行為等的分析，運用數(shù)值仿真驗證了混沌的特性,并用反饋線性化方法控制了該系統(tǒng)的混沌，將其控制到穩(wěn)定的周期軌道，利用數(shù)值模擬驗證了它的有效性.

1 上田振子系統(tǒng)的動力學分析

1.1 上田振子系統(tǒng)模型及其混沌吸引子

考慮如下形式的上田振子系統(tǒng)：

選取一組參數(shù)：m=1,k=1,ω=1,c=0.05,當F0=7.5時，取系統(tǒng)初值為(10，10)，利用Matlab求得該系統(tǒng)的2個Lyapunov指數(shù)為：λ1=0.13,λ2=-0.14.說明系統(tǒng)在該組參數(shù)下進入了混沌狀態(tài).這組參數(shù)下的混沌吸引子相圖如圖1.

從圖1可以明顯地看到，混沌吸引子具有極其復雜的圖像，其運動也是極不穩(wěn)定的，且具有復雜的折疊和拉伸軌線，吸引性很強.

由于該系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)，故而我們接下來考慮它的散度：

1.2 Poincare截面圖及其時間響應圖

顯然，從圖2可以看到，截面上所呈現(xiàn)的是一些成片的具有分形結構的密集點，因此，毫無疑問，此時系統(tǒng)的運動就是混沌. 系統(tǒng)混沌運動的時間響應具有非周期性，解的流對初始條件非常敏感，這是混沌運動的典型特征. 在該組參數(shù)下系統(tǒng)的時間響應圖如圖3所示.

1.3 分岔圖及其Lyapunov指數(shù)圖

Lyapunov指數(shù)反映的是初值狀態(tài)的敏感性，它所表示的數(shù)學特征為相空間中鄰近軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率. 若系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生改變，則系統(tǒng)平衡點處的穩(wěn)定性必定發(fā)生改變，從而導致系統(tǒng)的運動狀態(tài)的變化，利用系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖可以直觀明了地觀察系統(tǒng)參數(shù)變化時系統(tǒng)的運動狀態(tài)的變化情況. 因此，分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖是研究系統(tǒng)動力學的一種最有力且必不可少的工具. 圖4為在該組參數(shù)下時間趨于無窮時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖，圖5為其時域波形圖，它反映了隨時間的變化系統(tǒng)相應運動的變化.圖6給出了系統(tǒng)隨參數(shù)F變化時的分岔圖，圖7為隨參數(shù)F變化的Lyapunov指數(shù)圖.圖8、9分別為系統(tǒng)在參數(shù)c變化時的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖。從這些圖我們可以看到：當Lyapunov指數(shù)大于0時，必將產(chǎn)生混沌區(qū)域.當Lyapunov指數(shù)從正值到0再到負值時，系統(tǒng)發(fā)生切分岔現(xiàn)象.當Lyapunov指數(shù)由負值到0再到負值時，則發(fā)生倍周期分岔. 當其從負值到0再到正值時，此時系統(tǒng)恰好從周期運動過度到混沌運動. 由圖4～9可知該系統(tǒng)的動力學行為特點.

2 控制上田振子系統(tǒng)中的混沌

下面將這一理論運用于上田振子系統(tǒng)

式中m,c和k分別為系統(tǒng)的參數(shù)，F(xiàn)0和ω分別為外加周期激勵信號的振幅和頻率，x為系統(tǒng)t時刻的狀態(tài). 并且當m=1,k=1,ω=1,c=0.05時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

下面對系統(tǒng)施加控制，輸入控制信號u，相應系統(tǒng)變形為：

其對應的矢量場f和g(其中f，g為定義域D?Rn上的光滑向量場)分別為：

z1=x1；

由于該系統(tǒng)是2階的，由文獻[4]可得相應輸入變換：

通過以上變換，可得

3 仿真分析

為了驗證上述反饋線性化控制方法的可行性，以不穩(wěn)定平衡點x=(0,0)為例，假設外部輸入v=-6z1-8z2，取初值為(-1,0.5)，對系統(tǒng)的混沌進行控制，圖10和11為上田振子系統(tǒng)控制前后的相圖，由仿真結果可知，通過反饋線性化方法將上田振子混沌系統(tǒng)控制到了不穩(wěn)定平衡點(0,0).

當參數(shù)m=1,k=1,ω=1,c=0.05,F0=7.5時，上田振子系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，接著選擇反饋控制器q1=0,q2=px1. 分別加到上田振子系統(tǒng)的2個方程上，得到受控系統(tǒng)為：

圖12、13是受控系統(tǒng)的反饋增益系數(shù)p關于x的分岔圖及其對應的Lyapunov指數(shù)圖.

由圖12、13可知，當取反饋增益p=1.0時，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷诮? 與圖1相比，受控系統(tǒng)的相平面如圖14所示.

仿真結果表明設計的控制器可以將這一混沌系統(tǒng)控制到穩(wěn)定的周期軌道.

4 結語

通過Poincare截面圖、時間響應圖、隨系統(tǒng)單個參數(shù)變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖對上田振子系統(tǒng)的動力學特性進行了分析，得到了該系統(tǒng)參數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的運動狀態(tài)，最后通過非線性系統(tǒng)的反饋線性化方法，將混動系統(tǒng)化為線性系統(tǒng)，成功地控制了該混沌系統(tǒng)，并將其控制到一個不穩(wěn)定平衡點(0,0). 接著又通過設計線性反饋控制器，進一步將混沌控制到穩(wěn)定的周期軌道，仿真結果驗證了它們的有效性.

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