徐乃楠，孔凡哲，史寧中

(1.吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000；2.東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林長春 130051)

俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書研究及啟示

徐乃楠1，孔凡哲2，史寧中2

(1.吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000；2.東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林長春 130051)

俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書的編寫特征對我國當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課程改革和教科書編寫具有重要的借鑒意義。通過對俄羅斯高中《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》和《幾何》教科書的比較分析，能夠梳理出俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書的主要特點，為我國高中數(shù)學(xué)課程改革和教科書編寫帶來一些啟示。

俄羅斯；高中數(shù)學(xué)；教科書

俄羅斯對中國教育的影響是全面而深刻的。從20世紀50年代初開始，蘇聯(lián)時期的教育模式包括教育理論、教育管理、課程結(jié)構(gòu)、教科書等全盤移植到我國并得到進一步的發(fā)展。俄羅斯也有一大批數(shù)學(xué)教科書成為經(jīng)典。因此，俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書的編寫特點和發(fā)展趨勢值得我們研究、學(xué)習(xí)和借鑒。

1 俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書介紹

蘇聯(lián)解體之后，俄羅斯的數(shù)學(xué)教育開始從行政命令和強權(quán)思想中解放出來[1]。教科書打破了以往全國通用統(tǒng)一的局面，實現(xiàn)了教科書的多版本化。由數(shù)學(xué)家和大學(xué)教師主編的數(shù)學(xué)教科書種類豐富，但也都是遵照高中數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)和示范性大綱編寫的[2]。

1.1 俄羅斯高中《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》教科書介紹

(1)柯爾莫戈洛夫主編的《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》。該書在由俄羅斯聯(lián)邦教育部組織開展的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書競賽活動中曾獲二等獎(注：當(dāng)時沒有獲一等獎的《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》)[3]。全書共六章，主要涉及三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)。與我國各版高中教科書不同的是，該書從三角函數(shù)入手引入函數(shù)概念[4]。

(2)巴什瑪科夫主編的《代數(shù)與分析初步》。該書在教科書比賽中曾獲第一名[5]，全書共六章，主要包括函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)、積分等內(nèi)容。他主編的基礎(chǔ)水平(баэовый уровень)分冊教科書，容量上比合訂本大得多，增加了“復(fù)數(shù)、組合數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計和多項式”等內(nèi)容[6]。

(3)科里亞金主編的《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》。該書可供具有基礎(chǔ)和專業(yè)水平(базовый и профильный уровни)的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，內(nèi)容上與柯爾莫戈洛夫和巴什馬科夫的教科書一樣[7]。他主編的專業(yè)水平(профильный уровни)教科書知識容量更大，其中帶有星號的“二階導(dǎo)數(shù)，簡單的微分方程，復(fù)數(shù)的模和幅角的性質(zhì)”等內(nèi)容是“選修的、作為補充的更難內(nèi)容”[8]。

(4)莫爾特戈維奇主編的《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》。該書可供具有基礎(chǔ)水平的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，分兩部分，第一部分(Часть 1)是教科書，包含具體的數(shù)學(xué)知識，第二部分(Часть 2)是每一章課業(yè)習(xí)題的詳細解法，單獨成冊[9]。他主編的專業(yè)水平分冊教科書容量和難度大過合訂本[10]。

(5)阿利莫夫主編的《代數(shù)與分析初步》。該書主要包括“實數(shù)理論、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角公式、三角方程、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)、積分”等內(nèi)容。其中帶有星號的“無理不等式，反三角函數(shù)，函數(shù)的凸性和拐點”等內(nèi)容是選修的[11]。再版后書名改成了《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》，增加了“組合數(shù)學(xué)、概率論基本原理、統(tǒng)計學(xué)”三章[12]。

(6)普拉圖謝維奇主編的《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》。該書可供具有專業(yè)水平的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，主要涉及“簡單邏輯、集合論等基礎(chǔ)知識，整除問題，多項式，函數(shù)，冪和對數(shù)，三角函數(shù)，數(shù)列極限，函數(shù)極限和連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，不定積分定積分，復(fù)數(shù)，概率論”等內(nèi)容。其中“多項式、凸函數(shù)、波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、全概率公式”等，都是我們大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課程的內(nèi)容[13]。

(7)尼科利斯基編寫的《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》。該書可供具有基礎(chǔ)和專業(yè)水平的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，主要包括“根式、冪、對數(shù)，三角公式、三角函數(shù)，概率論初步，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，積分，方程和不等式、方程組和不等式組，復(fù)數(shù)”。帶有星號的“需要深入研究的、更高難度的問題”也很多[14]。

1.2 俄羅斯高中《幾何》教科書介紹

(1)阿塔納相主編的《幾何》。該書可供具有基礎(chǔ)和專業(yè)水平的學(xué)生學(xué)習(xí)使用。主要包括“直線與平面平行，直線與平面垂直，多面體，空間向量，空間坐標(biāo)法和變換，圓柱、圓錐和球，物體體積，平面幾何學(xué)的一些知識”等內(nèi)容。其中帶有星號的知識點“三面角、多面角、歐拉定理”等內(nèi)容，以及“平面幾何學(xué)的知識”不是具有基礎(chǔ)水平的學(xué)生必須學(xué)習(xí)的[15]。

(2)巴卡列洛夫主編的《幾何》。該書可供具有基礎(chǔ)和專業(yè)水平的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，主要包括“立體幾何公理及其簡單推論，線、面平行，線、面垂直，空間笛卡兒坐標(biāo)系和向量，多面體，旋轉(zhuǎn)體，多面體體積，旋轉(zhuǎn)體體積和表面積，平面幾何問題選編”。其中帶有星號的知識點“三面角、多面角、歐拉定理、相似變換、圓柱體的內(nèi)切球、圓柱體表面的截面”等內(nèi)容，以及“平面幾何學(xué)”不是具有基礎(chǔ)水平的學(xué)生必須學(xué)習(xí)的[16]。

(3)卡利寧、捷列圣主編的《幾何》。該書可供具有專業(yè)水平的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，主要包括“立體幾何學(xué)引論、多面體理論基礎(chǔ)、空間點的幾何軌跡、空間變換、問題解決、旋轉(zhuǎn)體、空間向量(后續(xù)部分)、最大值和最小值問題、物體的體積和表面積”等內(nèi)容。另選編了“平面幾何學(xué)的理論和方法”，包括“賽瓦定理和梅涅勞斯定理”等內(nèi)容。其中帶有星號的知識點“歐拉定理、空間相似定理”等內(nèi)容，以及“問題解決”是“高于正常難度的內(nèi)容”[17]。

(4)斯米爾諾娃、斯米爾諾夫主編的《幾何》。該書可供具有基礎(chǔ)和專業(yè)水平的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，包括“立體幾何學(xué)初步、空間的平行、空間的垂直、多面體、圓形體、體積和表面積、坐標(biāo)和向量、平面幾何”等內(nèi)容。其中帶有星號的“歐拉定理，星狀多面體，麥比烏斯帶”等內(nèi)容，以及“平面幾何”是“高于正常難度的補充資料”[18]。斯米爾諾娃主編的《幾何》是提供給具有人文傾向的學(xué)生學(xué)習(xí)使用的，知識容量和難度較小，并且介紹了大量的數(shù)學(xué)史料[19]。

2 俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書的特點及啟示

2.1 教科書內(nèi)容選取遵循教育標(biāo)準(zhǔn)、示范大綱，知識容量和內(nèi)容廣度較大

俄羅斯高中幾套《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》最基本的內(nèi)容主要包括：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分、方程和不等式以及“整數(shù)整除性和多項式、組合數(shù)學(xué)、概率論基礎(chǔ)、統(tǒng)計學(xué)、復(fù)數(shù)、數(shù)列極限”等內(nèi)容?！稁缀巍分饕ǎ毫Ⅲw幾何基本理論、平行問題、垂直問題、多面體、旋轉(zhuǎn)體、空間向量、平面解析幾何。平面解析幾何一般是具有基礎(chǔ)水平的學(xué)生選學(xué)的內(nèi)容，或作為附錄知識選編出現(xiàn)。

我國高中數(shù)學(xué)教科書內(nèi)容都沒有突破課程標(biāo)準(zhǔn)，與俄羅斯相比基本內(nèi)容仍然較少。受高考指揮棒的影響，很多高中都利用兩年時間學(xué)完全部數(shù)學(xué)課程，剩下的一年時間專門用于重復(fù)性的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練，學(xué)生功利性的升學(xué)導(dǎo)向?qū)е聦?shù)學(xué)的興趣索然，機械性的訓(xùn)練使學(xué)生喪失了學(xué)習(xí)和追求數(shù)學(xué)精神的興趣和積極性[20]。高中和大學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接問題也值得認真思考，大學(xué)課程重講一遍微積分，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和效率。

2.2 教科書知識內(nèi)容的難度較大，重視數(shù)學(xué)英才教育內(nèi)容的設(shè)置

俄羅斯數(shù)學(xué)教科書的難度被世界公認[21]，高中數(shù)學(xué)教科書中很多代數(shù)內(nèi)容如“閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其若干定理、高階導(dǎo)數(shù)、泰勒級數(shù)、微分中值定理、微分方程、多元多項式和對稱多項式、換元積分和分部積分、大數(shù)定律、條件概率和全概率公式”等，幾何內(nèi)容如“向量的數(shù)量積、混合積及其幾何意義，梅捏勞斯定理和賽瓦定理，麥比烏斯帶，星狀多面體，變換群”等，都是我國大學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容。

我國高中數(shù)學(xué)課程對一些難度較高的數(shù)學(xué)知識不是沒有考慮，只是全都安排在選修課程當(dāng)中，內(nèi)容與必修課程的聯(lián)系不夠密切?，F(xiàn)實中很多學(xué)校并未開展這樣的專題講座，原因主要是高考不考這些內(nèi)容，很多教師對這些現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容不好把握。

2.3 教科書編排直線式和螺旋式相結(jié)合，幾何內(nèi)容組織呈公理化特征

俄羅斯《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》基本上遵循“函數(shù)-導(dǎo)數(shù)-積分”的脈絡(luò)組織內(nèi)容，另補充一些組和數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計內(nèi)容。在一些知識點的編排上則遵從螺旋的方式，大部分先講冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及其性質(zhì)，但在導(dǎo)數(shù)、積分應(yīng)用等教學(xué)中仍會詳細地討論這些函數(shù)性質(zhì)，并在后面繼續(xù)討論這些函數(shù)的方程和不等式求解問題。我國的課程教育也是呈螺旋式上升，代數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計混排，在一些知識內(nèi)容的螺旋銜接上還需要逐步完善。

俄羅斯高中《幾何》教科書的內(nèi)容組織建立在公理體系基礎(chǔ)上。理由是“它對數(shù)學(xué)思維的發(fā)展給予良好的影響，有利于理解數(shù)學(xué)理論的抽象性的本質(zhì)和意義，保證了有可能把理論應(yīng)用到種種具體情況中去?！盵22]雖受新數(shù)運動影響后的俄羅斯數(shù)學(xué)教育改革中公理化特點逐漸變?nèi)酰绕湓谥行W(xué)階段沙雷金的直觀幾何非常有名，但俄羅斯大部分幾何教科書還是公理化體系組織數(shù)學(xué)內(nèi)容，同時綜合向量幾何和坐標(biāo)幾何，而平面解析幾何基本上是選修。

2.4 教科書重視數(shù)學(xué)史的編排和設(shè)計，滲透和傳播數(shù)學(xué)文化觀念

俄羅斯高中新版教育標(biāo)中指出“數(shù)學(xué)與信息學(xué)”課程領(lǐng)域的學(xué)習(xí)要求應(yīng)保證學(xué)生“形成數(shù)學(xué)與信息學(xué)生成的相關(guān)社會、文化和歷史因素觀；形成數(shù)學(xué)是人類文化組成部分的觀念”[23]。一般教科書中都包含了相對較長的“獨立閱讀”單元，這部分材料專注于介紹數(shù)學(xué)史，主題甚至與所學(xué)的課程內(nèi)容關(guān)系不大。

教科書中數(shù)學(xué)史料的編排和設(shè)計也較為系統(tǒng)，巴什馬科夫的教科書對數(shù)學(xué)史的編排方式尤其值得我們借鑒，既有“章首導(dǎo)引”，又有正文滲透和旁注，還有“章末閱讀”[24]。我國教科書中也設(shè)置很多的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，但相對零散[25]。

2.5 教科書課后習(xí)題的容量較大，編排呈分層化、體系化的基本特征

俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書精心選擇的習(xí)題量非常之大?？聽柲曷宸蛑骶幍摹洞鷶?shù)與數(shù)學(xué)分析初步》有2026道習(xí)題，而科里亞金主編的《代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步》有2412道習(xí)題。這些習(xí)題不是一個個習(xí)題的簡單羅列，而是一個“習(xí)題體系”。

我國高中數(shù)學(xué)課程中的習(xí)題量沒有俄羅斯教科書的習(xí)題量大，這與我們一直強調(diào)素質(zhì)教育和減負等總體要求有關(guān)。實際上，學(xué)生有大量的練習(xí)冊等輔助習(xí)題資料，并未因教科書中的習(xí)題量少而減少負擔(dān)。教輔材料的質(zhì)量良莠不齊，質(zhì)量難以保障，編排也不系統(tǒng)、缺乏層次。

2.6 教科書欄目設(shè)計清晰、印刷精良、圖文并茂，裝幀設(shè)計精美

俄羅斯教科書的欄目設(shè)計豐富，專門設(shè)置了章末閱讀欄目，書后會給出這些習(xí)題的參考答案。最后附有全書的主題內(nèi)容索引。正文編排圖文并茂、紙張優(yōu)良、裝幀設(shè)計精美，一般為17cm×22.5cm開本，封皮硬紙殼裝訂，既美觀大方，又耐磨結(jié)實。我們高中各版本教科書都是大開本，不好裝置，裝幀設(shè)計和印刷質(zhì)量也不能很好地吸引學(xué)生。

[1] Р. С. Черкасов. История отечественного школьного математического образования[J]. Математика в школе, 1997:2,3,4.

[2]徐乃楠,孔凡哲,史寧中.俄羅斯高中數(shù)學(xué)示范性大綱最新進展研究[J].長春師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2014,33(3):117-124.

[3]朱文芳.俄羅斯數(shù)學(xué)教育的最新進展[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2011:135.

[4] А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2008.

[5] М. И. Башмаков. Алгебра и начала анализа[M]. 10-11 класс. Москва: Дрофа Издательство, 2005.

[6] М. И. Башмаков. Алгебра и начала анализа[M].10/11 класс (баэовый уровень). Москва: Дрофа Издательство, 2008.

[7] Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (базовый и профильный уровни). Москва: Дрофа Издательство, 2011.

[8] Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (профильный уровни). Москва: Мнемозина Издательство, 2009/2010.

[9]А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 класс(базовый уровни) Часть 1. Москва: Мнемозина Издательство, 2009.

[10] А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (профильный уровни) Часть 1. Москва: Мнемозина Издательство, 2009/2012.

[11]Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2007.

[12]Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2012.

[13]М.Я.Пратусевич,К.М.Столбов, А. Н. Головин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 классов(профильный уровни). Москва: Просвещение Издательство, 2009/2010.

[14]С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 классов(базовый и профильный уровни).Москва: Просвещение Издательство, 2009.

[15]Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов,С.Б.Кадомцев,Л.С.Киселева,Э.Г.Позняк. Геометрия[M]. 10-11 классов(базовый и профильный уровни). Москва: Просвещение Издательство, 2011.

[16] A. B. Погорелов. Геометрия[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2009.

[17] А. Ю. Калинин, Д. А. Терёшин. Геометрия[M]. 10-11 классов(профильный уровни). Москва: МЦНМО, 2011.

[18] И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия[M]. 10-11 классов(базовый и профильный уровни). Москва: Мнемозина Издательство, 2008.

[19] И. М. Смирнова. Геометрия[M]. 10-11 классов(гуманитарный профиль). Москва: Мнемозина Издательство, 2007.

[20]劉鵬飛,徐乃楠. 數(shù)學(xué)教育的人文化[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報:人文社科版,2013(6):126-129.

[21]史寧中,孔凡哲. 十二個國家普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的國際比較研究[M].長沙:湖南教育出版社,2013:92-94.

[22]斯托利亞爾. 數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].丁爾陛,等,譯.北京:人民教育出版社,1984:169.

[23]徐乃楠,孔凡哲.俄羅斯高中數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)最新進展及啟示[J]. 數(shù)學(xué)通報,2013,52(4):5-8.

[24]徐乃楠,孔凡哲,劉鵬飛.俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書中的數(shù)學(xué)史及其啟示[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,(4):152-156.

[25]徐乃楠.中俄高中數(shù)學(xué)教科書中的數(shù)學(xué)史研究[M].長春:東北師范大學(xué)出版社,2014.

2014-09-06

國家社科基金教育學(xué)2012年度國家重點課題(AHA120008)；吉林省教育廳“十二五”社會科學(xué)研究項目(吉教科文合字[2013]第156號)。

徐乃楠(1979- )，女，吉林長春人，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師，博士，從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、中俄數(shù)學(xué)教育比較研究。

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2095-7602(2014)06-0165-04