吳波, 袁守成, 楊吉英

(普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，普洱 665000)

1 引 言

雙參數(shù)指數(shù)分布是可靠性統(tǒng)計(jì)分析中的一項(xiàng)重要壽命分布，具有廣泛的應(yīng)用.它常被用于刻畫伺服機(jī)構(gòu)、車輛、泵等產(chǎn)品的壽命，其概率密度函數(shù)為

其中σ>0是尺度參數(shù)，-<μ<是位置參數(shù)，有時(shí)也被稱為門限參數(shù)或保證時(shí)間參數(shù).

設(shè)某產(chǎn)品服從雙參數(shù)指數(shù)分布，則它的可靠壽命為

tR=μ-σlnR

其中R為產(chǎn)品的可靠度.由于可靠壽命是工程上感興趣的可靠性測度，對于雙參數(shù)指數(shù)分布的定數(shù)截尾數(shù)據(jù)，我們想建立tR的置信下限.關(guān)于產(chǎn)品可靠壽命tR的置信限問題在一些文獻(xiàn)中已經(jīng)有過討論.如Guenther[1]、Dunsmore[2]分別討論了在完全樣本的情況下，tR的精確置信下限和近似上下限，Engelhart-Bain[3]給出了當(dāng)tX(1)時(shí)tR的近似下限，但是沒有對其給出的置信下限的覆蓋率進(jìn)行討論.周源泉等[4]給出了tR的精確置信下限的計(jì)算公式，但此公式在可靠度R較小時(shí)需要解非線性方程，不利于應(yīng)用.董巖等[5]利用廣義樞軸量的方法給出了廣義置信下限，雖然結(jié)果在形式上與周源泉給出的置信下限一致，但當(dāng)n>lnγ/lnR(γ為顯著性水平)時(shí)卻沒有明確的表達(dá)式，這給計(jì)算帶來了不便.

本文將利用一種新的參數(shù)Bootstrap方法建立雙參數(shù)指數(shù)分布可靠壽命tR的廣義置信下限.由這種方法確立的tR置信下限，具有常用置信限的結(jié)構(gòu)形式，而且計(jì)算簡單，易于掌握，可應(yīng)用到具體問題中.一些研究者已經(jīng)利用這種參數(shù)Bootstrap方法成功地解決了參數(shù)估計(jì)的若干問題，如：Krishnamoorthy[6]利用這種方法處理了不等方差情形下的方差估計(jì)問題，Sadooghi-Alvandi[7]使用該方法給出了多對數(shù)正態(tài)分布的聯(lián)合置信區(qū)間.但使用這種參數(shù)Bootstrap方法解決雙參數(shù)指數(shù)分布可靠壽命的研究幾乎沒有，因此本文使用參數(shù)Bootstrap方法對雙參數(shù)指數(shù)分布可靠壽命的置信下限進(jìn)行了研究.

2 可靠壽命的廣義置信下限

2.1 統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造

設(shè)產(chǎn)品的使用壽命服從雙參數(shù)指數(shù)分布，從中隨機(jī)抽取n個(gè)產(chǎn)品在一定條件下進(jìn)行無替換定數(shù)截尾壽命實(shí)驗(yàn)，事先規(guī)定的失效數(shù)為r≤n，所得的定數(shù)截尾樣本記為X(1)≤X(2)≤…≤X(r),下面建立可靠壽命tR=μ-σlnR的廣義置信下限.

首先，試驗(yàn)總時(shí)間為

從而可得到可靠壽命tR的無偏估計(jì)量為

(1)

且U和V相互獨(dú)立.其中χ2(m)表示自由度為m的卡方分布.

(2)

我們知道利用參數(shù)Bootstrap方法，T分布是可以計(jì)算出來的.如果用qα表示T分布的1-α的分位數(shù)，則可以得到可靠壽命tR在置信水平1-α下的廣義置信下限

下面考察統(tǒng)計(jì)量T的分布

將式(1)代入上式中，整理可得

(3)

由此可見，T分布是關(guān)于變量U和V的函數(shù)，由于U和V的分布已知，故可用參數(shù)Bootstrap方法對T分布給予估計(jì).

2.2 基于參數(shù)bootstrap方法可靠壽命的置信區(qū)間

設(shè)變量T的分布函數(shù)為FT(t)，若滿足

FT(qα)=P(T≤qα)=1-α

則qα為T的上α分位點(diǎn).

這里給出的T是一個(gè)廣義樞軸量，通常情況下，廣義置信上限不一定是頻率意義下的精確置信上限，即廣義置信上限的覆蓋率不一定等于要求的置信水平.但是下面的引理說明qα恰好是我們所需要的精確置信上限.

引理1 設(shè)FT(t)為隨機(jī)變量T的分布函數(shù)，qα為T的上α分位點(diǎn)， 則qα恰好是T分布頻率意義下精確置信上限，即

P(T>Tα)=α

證設(shè)(U*,V*)是(U,V)的一個(gè)復(fù)制，即

注意到FT(qα)=1-α，從而

從而，P(T>qα)=1-P(T≤qα)=1-(1-α)=α.證畢！

存在上α分位點(diǎn)qα，則tR具有頻率意義下的實(shí)際置信水平為1-α的置信下限

證

=P(T

利用Monter Carlo模擬方法，qα的值是可以被估計(jì)出來的，可按下列步驟進(jìn)行：

(ⅰ)首先從服從雙參數(shù)指數(shù)分布的n個(gè)樣品中產(chǎn)生r個(gè)定數(shù)截尾數(shù)據(jù)，并確定可靠度R；

(ⅱ)生成隨機(jī)數(shù)U～χ2(2)和V～χ2(2r-2)，U和V相互獨(dú)立，并且計(jì)算出T；

(ⅲ)設(shè)N是很大的一個(gè)數(shù)，重復(fù)步驟(ⅱ)N次，由此獲得T的經(jīng)驗(yàn)分布，便可近似得到T分布的上α分位點(diǎn)qα.

我們給出的方法比文獻(xiàn)[3]和[4]給出的方法更簡單，在計(jì)算機(jī)上更容易實(shí)現(xiàn).下面的數(shù)值分析表明，基于參數(shù)Bootstrap方法給出的廣義置信下限不僅易于計(jì)算，在精度方面也令人滿意.

3 數(shù)值模擬

總之，tL(R)計(jì)算簡單，計(jì)算速度較快，且具有令人滿意的覆蓋率性質(zhì)，在應(yīng)用中值得推薦.

表1 基于tL(R)和的置信區(qū)間的覆蓋率比較(n=k=10，1-α=0.95)

表2 基于tL(R)和的置信區(qū)間的覆蓋率比較(n=10，k=6,1-α=0.95)

4 實(shí)例分析

圖1 兩種方法的比較圖

[1] GUENTHER W C,PATIL S A,UPPULURI V R R.One-sided β-constant tolerance factors for the two-parameter exponential distribution[J].Technometrics,1976,18(3):333-340.

[2] DUNSMORE I R. Some approximation for tolerance factors for the two-parameter exponential distribution[J].Technometrics,1978,20(3):317-318.

[3] ENGELHARDT M,BAIN L J.Tolerance limits and confidence limits on reliability for the two parameter exponential distribution[J].Technometrics,1978,20(3):37-39.

[4] 周源泉，劉文生，田勝利.雙參數(shù)指數(shù)分布的可靠性評估(Ⅱ)[J].質(zhì)量與可靠性，2004 (2)：19-24.

[5] 董巖，徐興忠，楊雪姣.雙參數(shù)指數(shù)分布的可靠壽命的廣義置信下限[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2008，28(a):1109-1117.

[6] KRISHNAMOORTHY K,LU F,MATHEW T.A parametric bootstrap approach for ANOVA with unequal variances:fixed and random models[J].Computational Statistics and Data Analysis,2007,51:5731-5742.

[7]SADOOGHI-ALVANDI S M,MALEKZADEH A.Simultaneous confidence intervals for ratio of means of several lognormal distributions:A parametric bootstrap approach[J].Computational Statistics and Data Analysis，2014,69:133-140.

[8] EPSTEIN B,SOBEL M.Some theorems relevant to life testing from an exponential distribution[J].Ann.Math.Stat,1954,25:373-381.

[9] LAWLESS J F.Statistical Models and Methods for Lifetime Data[M].New York:John Wiley,1982.