譚建+王先甲

收稿日期：2012-09-06

基金項目：國家自然科學基金項目（71231007；71071119）

作者簡介：譚 建（1982-），男，湖北武漢人，博士、副教授，研究方向為博弈論、供應鏈管理；王先甲（1957-），男，湖北武漢人，博士生導師、教授，研究方向為機制設計、拍賣。

摘要：通過微分方程建立廣告媒介下具有替代關系的產品擴散動態(tài)模型，并運用向量場與相軌線圖，分析了具有不同競爭力的企業(yè)所生產的產品在具有替代性時它們之間競爭情形下的市場穩(wěn)定狀態(tài)，研究結果表明：具有替代性的兩類產品，在廣告的作用下要么共存于市場，要么只有其中一類產品存在于市場，而這取決于雙方的廣告競爭力。同時也解釋了在替代性產品市場競爭中，企業(yè)在進入市場初期往往采用模仿策略，在占據一定的市場份額后則采取差異最大化策略的原因。

關鍵詞：廣告；替代性產品；擴散；動態(tài)

中圖分類號：F713.36 文獻標識碼：A 文章編號：1001-8409（2014）03-0110-04

Research on Alternative Products Diffusion

Dynamic Model with Advertising

TAN Jian1， WANG Xian-jia2

（1.School of Management Science and Project Management， Guizhou University of Finance and Economics， Guizhou 550003；

2. School of Economics and Management， Wuhan University， Wuhan 430072）

Abstract： This paper established dynamics diffusion models of alternative products under advertising media， analyzed the market steady state of different competitive enterprises with alternative products. The results show that： For two kinds of alternative products， by the role of advertising， or co-exist in the market， or only one kind of product exists in the market， which depends on the advertising competitiveness of the enterprises. Also the results explained the reason why enterprises are often used to imitation strategy at the initial stage after entering the market， after occupying part of the market， the enterprises transform to the difference-maximizing strategy.

Key words： advertising； alternative； diffusion； dynamic

引言

產品擴散理論主要描述新產品服務在經濟系統(tǒng)中的擴散過程，用于產品的市場預測，確定產品的生命周期，幫助管理者做決策等。最早的產品擴散模型是Bass在1969年提出的[1]，該模型被應用于耐用品、信息技術的擴散研究中[2～6]，且許多學者在此模型的基礎之上，進行了各種模型推廣[7～9]。Mahajan等在假設傳播渠道中只有人際交流，分析了新品牌加入市場競爭對總體市場規(guī)模和老品牌銷售的影響，構建了MSB模型[10～11]；艾興政和唐小我主要運用logistic模型研究了競爭情形下兩種品牌競爭與擴散模型[12～13]；丁士海等在考慮競爭與重復購買因素時耐用品品牌擴散機理，提出了耐用品兩個品牌的競爭與重復購買擴散模型[14]。當產品的價格與質量一定，無市場營銷時，產品的市場擴散就遵循固有的市場規(guī)律，即在產品價格與質量既定的情況下，產品有其固定的市場自然增長律。在有產品廣告的作用下，由廣告所引起的產品的市場擴散也有一定的增長規(guī)律，而該增長規(guī)律與產品固定的自然增長率是完全不同的。在此觀點下對替代性產品在廣告媒介作用下的擴散規(guī)律進行研究是本文與上述文獻的重要區(qū)別。

本文在以上文獻基礎上，假定產品價格與質量既定的情況下，產品市場在其固有的市場增長率的前提下，建立廣告媒介下的具有替代關系的產品擴散模型，分析具有不同競爭力的企業(yè)所生產具有替代性的產品擴散問題，主要目的是研究具有替代關系的產品是如何進行市場擴張及其擴張的最終結果。

1 問題分析

記企業(yè)i（i=1，2）在t時刻的消費者數(shù)量為di（t），ri是在市場規(guī)律下，在產品價格與質量既定下其自身的固有增長律，例如可以看作是消費者之間信息的傳播導致的市場增長。Ni表示企業(yè)i無廣告投入時產品i的最大市場消費者容量，mi表示投入的廣告費用。由于廣告投入，使得更多的消費者知道該產品，從而有可能導致廣告投入時消費者數(shù)量超過Ni。

因此，根據BASS擴散模型[7]，對于該企業(yè)的消費者有：

di（t）·=（ridi+γimi）（1-di/Ni）（1）

其中γi表示廣告的效率，因子（1-di/Ni）反映的是由于市場上有限的消費者的占有而導致的對它本身增長的阻滯作用。

若兩個生產具有替代性產品的企業(yè)在同一市場，企業(yè)2的廣告對企業(yè)1的消費者增長會起到一定的阻滯作用，其原因表現(xiàn)在兩個方面：第一，企業(yè)2的消費者越多，在市場一定的情況下，企業(yè)1的消費者增長速度也就越慢。第二，企業(yè)2所做的廣告會說服企業(yè)1的消費者購買其產品，因此，企業(yè)2的廣告投入對企業(yè)1的消費市場的增長也起到一定的阻滯作用。同理，企業(yè)1的廣告對企業(yè)2也從這兩個方面起到一定的阻滯作用。綜合這兩個因素，設δi為阻滯因子，若0<δi<1，則表示在屬于企業(yè)i的產品市場競爭中企業(yè)j的競爭能力沒有企業(yè)i的競爭能力強；若δi>1則表示在屬于企業(yè)i的產品市場競爭中企業(yè)j的競爭能力強于企業(yè)i的競爭能力。企業(yè)j投入的廣告量越大，δi就越大。根據式（1），在其中添加由于企業(yè)2的進入而導致阻滯因子改變的一項-δ1d2/N2。另外，由于企業(yè)的廣告投入，也使得消費者數(shù)量的增長率提高。

2 模型建立

根據以上對問題的分析，得到企業(yè)1、企業(yè)2的消費者增長方程為：

d1（t）·=f（d1，d2）=（r1d1+γ1m1）（1-d1/N1-δ1d2/N2） （2）

d2（t）·=g（d1，d2）=（r2d2+γ2m2）（1-d2/N2-δ2d1/N1） （3）

其中，γi為企業(yè)i的廣告效率。δi為單位j產品吸引i產品顧客的能力，即企業(yè)j對企業(yè)i的阻滯系數(shù)。對于兩家企業(yè)之間的競爭，阻滯系數(shù)δi是非常關鍵的指標。

由于是研究兩家企業(yè)廣告與產品本身的競爭的結果，即當t→∞時d1（t）、d2（t）的趨向，因此本文只對其平衡點進行穩(wěn)定性分析。根據微分方程式（2）、式（3），并求解方程組，得到4個平衡點：

P1（-γ1m1r1，-γ2m2r2），P2（N1+γ2N1δ1m2N2r2，

-γ2m2r2），P3（N11-δ11-δ1δ2，N21-δ21-δ1δ2），P4（-γ1m1r1，N2+γ1N2δ2m1N1r1）

其對應的系數(shù)矩陣為：A=fd1fd2

gd1gd2=-r1d1+m1γ1N1+r1（1-d1N1-d2δ1N2）-（r1d1+m1γ1）δ1N2

-（r2d2+m2γ2）δ2N1-r2d2+m2γ2N2+r2（1-d2N2-d1δ2N1）

判定條件為：p=-（fd1+gd2）|pi，i=1，2，3，4，q=detA|pi，i=1，2，3，4。

結合相平面圖，δ1、δ2的取值范圍不同，直線f（d1，d2）=0和直線g（d1，d2）=0在相平面上的位置也有所不同。

3 模型分析

命題1：平衡點P1（-γ1m1/r1，-γ2m2/r2）為不穩(wěn)定點。

證明：由于p=

-N1r1[m2γ2（r1δ1+r2）+N2r2（r1+r2）]+m1N2γ1r2（r1+r2δ2）N1N2r1r2<0，因此P1點為不穩(wěn)定點。

命題1說明，對于純廣告競爭，最后生產替代性產品的兩家企業(yè)都不可能倒閉。

命題2：當δ2>1，δ1<1，δ1δ2>1時，式（2）、式（3）存在穩(wěn)定點P2（N1+γ2N1δ1m2/（N2r2），-γ2m2/r2）。

證明：對于平衡點P2（N1+γ2N1δ1m2/（N2r2），-γ2m2/r2），由于：

p=m1N2γ1r2+N1{N2r2[r1+r2（δ2-1）]+m2γ2[r1δ1+r2（δ1δ2-1）]}N1N2r1

q=m1N2γ1r2+N1r1（N2r2+m2γ2δ1）[N2r2（δ2-1）+m2γ2（δ1δ2-1）]N1N22r1

要使得P2為穩(wěn)定點，則必須滿足：δ2>1，δ1δ2>1。此情況下分為以下兩種情況：

①δ2>1，δ1<1，δ1δ2>1

如圖1a所示，f=0所表示的兩條直線為實線，g=0所表示的兩條直線為虛線（圖1b，圖2相同），其中兩條直線將第一象限分為3個區(qū)域s1，s2和s3。

對于區(qū)域s1中的點，有d1·>0，d2·>0：此時軌線從s1出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向右上方運動，從而進入s2，最終到達點P2。對于區(qū)域s2中的點，有d1·>0，d2·<0：此時軌線從s2出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向右下方運動，最終到達點P2。對于區(qū)域s3中的點，有d1·<0，d2·<0：此時軌線從s3出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向左下方運動，從而進入s2，最終到達點P2。因此P2為穩(wěn)定點。 由于點P2在第四象限，因此最終的競爭結果為，企業(yè)1的消費者數(shù)量處于點B與點A之間，即在（N1/δ2，N1）之間，而此時企業(yè)2已經倒閉。而且還可以看到，由于δ2>1意味著在企業(yè)2的產品市場競爭中企業(yè)1強于企業(yè)2，當δ2→1時，企業(yè)1在最后所獲得的消費者數(shù)量可能就越大。

②δ2>1，δ1>1，δ1δ2>1

如圖1b所示，f=0，g=0共4條直線，其中兩條直線將第一象限分為4個區(qū)域s1，s2，s3和s4。對于區(qū)域s1中的點，有d1·>0，d2·>0：此時軌線從s1出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向右上方運動，從而進入s2，或者s3。對于區(qū)域s2中的點，有d1·>0，d2·<0：此時軌線從s2出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向右下方運動。對于區(qū)域s3中的點，有d1·<0，d2·>0：此時軌線從s3出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向左上方運動。對于區(qū)域s4中的點，有d1·<0，d2·<0：此時軌線從s4出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向左下方運動，從而進入s2，或者s3。如圖1b所示。故此時不存在穩(wěn)定點。

由于δ1<1表示在屬于企業(yè)1的產品市場競爭中企業(yè)2的競爭能力沒有企業(yè)1的競爭能力強。δ2>1則表示在屬于企業(yè)2的產品市場競爭中企業(yè)1的競爭能力強于企業(yè)2，即企業(yè)1所投入的廣告量也越大。因此命題2說明當δ1<1，δ2>1時企業(yè)2沒有競爭力爭奪企業(yè)1的市場的同時，又不能保住自己本來的市場，最終導致企業(yè)2的倒閉，企業(yè)1獲得其原本市場N1以及從企業(yè)2爭奪過來的市場γ2N1δ1m2/（N2r2），其中該市場與企業(yè)2的廣告費用投入呈正相關。

命題3：當δ1<1，δ2<1時，式（2）、式（3）存在穩(wěn)定點P3[N1（1-δ1）/（1-δ1δ2），N2（1-δ2）/（1-δ1δ2）]。

證明：對于平衡點P3，根據穩(wěn)定性判定條件有：

p=m1N2γ1（δ1δ2-1）+N1{N2[r1（δ1-1）+r2（δ2-1）]+m2γ2（δ1δ2-1）}N1N2（δ1δ2-1）

q=-[N1r1（δ1-1）+m1γ1（δ1δ2-1）][N2r2（δ2-1）+m2γ2（δ1δ2-1）]N1N2（δ1δ2-1）

因此，要使得P3為穩(wěn)定點，則必須滿足：δ1<1，δ2<1。

如圖2所示，f=0，g=0共4條直線，其中兩條直線將第一象限分為4個區(qū)域s1，s2，s3和s4。對于區(qū)域s1中的點，有d1·>0，d2·>0：此時軌線從s1出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向右上方運動，從而進入s2，或者s3。對于區(qū)域s2中的點，有d1·<0，d2·>0：此時軌線從s2出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向左上方運動，到達點P3。對于區(qū)域s3中的點，有d1·>0，d2·<0：此時軌線從s3出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向右下方運動，到達點P3。對于區(qū)域s4中的點，有d1·<0，d2·<0：此時軌線從s4出發(fā)，則隨著時間t的增加軌線向左下方運動，從而進入s2，或者s3，最終到達P3。故此時P3為穩(wěn)定點。

命題3說明當δ1<1，δ2<1時，兩企業(yè)在市場中勢均力敵，從而達到一個均衡狀態(tài)P3。由于各自市場的大小既取決于自己的競爭力，又取決于對方的競爭力，此時兩類具有替代性的產品都做廣告，無論誰是早期市場占領者，由于產品1打入產品2市場困難，產品2打入產品1市場也不容易，最后雙方共同瓜分市場，形成穩(wěn)定共存局面。由于當前的市場競爭手段在產品質量與廣告營銷方面信息幾乎對稱，所以此種情況在市場較為多見。

命題4：當δ1>1，δ2<1時，式（2）、式（3）存在穩(wěn)定點P4（-γ1m1/r1，N2+γ1N2δ2m1/（N1r1））。

證明：對于平衡點P4，根據穩(wěn)定性判定條件： p=N1r1{m2γ2+N2[r2+r1（δ1-1）]}+m1N2γ1[r2δ2+r1（-1+δ1δ2]N1N2r1

q=[N1r1（m2γ2+N2r2）+m1N2r2γ1δ2][N1r1（δ1-1）+m1γ1（-1+δ1δ2）]N21N2r1

因此要使得P4為穩(wěn)定點，則必須滿足：δ1>1，δ2<1。

由于δ2<1表示在屬于企業(yè)2的產品市場競爭中企業(yè)1的競爭能力沒有企業(yè)2的競爭能力強。δ1>1則表示在屬于企業(yè)1的產品市場競爭中企業(yè)2的競爭能力強于企業(yè)1，即企業(yè)2所投入的廣告量也越大。因此命題4說明當δ1>1，δ2<1時企業(yè)1沒有競爭力爭奪企業(yè)2的市場的同時，又不能保住自己本來的市場，最終導致企業(yè)1的倒閉，企業(yè)2獲得其原本市場N2以及從企業(yè)1爭奪過來的市場γ1N2δ2m1/（N1r1），其中該市場與企業(yè)1的廣告費用投入呈正相關。

4 模型仿真

由于本模型主要考慮廣告對產品擴散的影響，因此，為驗證上述模型，取兩企業(yè)的自然增長率與最大的潛在市場消費者容量相同，即r1=r2=1.5，N1=N2=10000。由于廣告投入量與廣告效率對擴散的作用是可以互補的，即要達到同樣的擴散效果，在廣告效率低時可以增加廣告投入，在效率高時可以減少廣告投入。故對于兩家企業(yè)，取其廣告投入量相同m1=m2=10000，但廣告效率分別為γ1=1.5，γ2=1.6。δ1與δ2取不同的值，得到仿真圖3至圖5，其中橫軸表示企業(yè)1的市場大小，縱軸表示企業(yè)2的市場大小。

取δ1=1/3，δ2=4時，此時δ1δ2=4/3>1，得到仿真結果如圖3所示。δ1=1/3，δ2=4表明在屬于企業(yè)1的產品市場競爭中企業(yè)2的競爭能力沒有企業(yè)1的競爭能力強，且在屬于企業(yè)2的產品市場競爭中企業(yè)1的競爭能力強于企業(yè)2，此時企業(yè)2不僅沒有競爭力爭奪企業(yè)1的市場的同時，而且又不能保住自己本來的市場，雖然企業(yè)2的廣告效率較企業(yè)1高，但這仍不能抵消企業(yè)1對企業(yè)2的阻滯作用，最終導致企業(yè)2的倒閉。由圖3可以看出，在廣告的作用下，經過長時間的動態(tài)競爭，企業(yè)2的市場最終為0。這正好驗證了命題2。

取δ1=1/3，δ2=1/4，得到仿真結果如圖4所示。由于δ1=1/3，δ2=1/4表明在企業(yè)1的市場中，企業(yè)1的競爭能力強于企業(yè)2，在企業(yè)2的市場中，企業(yè)2的競爭能力強于企業(yè)1，即各企業(yè)均能通過廣告及特色吸引各自的顧客，從而各企業(yè)共存于市場中。由圖4可以看出，在廣告的作用下，經過長時間的動態(tài)競爭，最終均衡為兩企業(yè)共存并瓜分市場。這與命題3相符合。

取δ1=4，δ2=1/3，得到仿真結果如圖5所示。由于δ1=4，δ2=1/3，表明在廣告媒介的作用下，企業(yè)2不僅在保持自己市場的實力強于企業(yè)1，而且有能力去獲得企業(yè)2的市場。而企業(yè)1不僅沒有競爭力爭奪企業(yè)2的市場，而且又不能保住自己本來的市場。由圖5可以看出，最終企業(yè)1的倒閉。這驗證了命題4。

以上仿真說明對于生產具有替代性產品的兩個企業(yè)，有兩種市場策略，一是模仿策略，二是差異最大化策略。對于追隨者而言，前期可采用模仿的策略，減少兩者產品的替代程度來獲得部分市場，實現(xiàn)與領先者共存（如圖4所示）。然后采用差異最大化的策略，增加產品間的替代性，從而最大限度地獲得消費者市場（如圖3、圖5所示），當然這也存在較大的風險，可能被對方擠出市場。這也解釋了為什么在具有競爭性的市場中，很多企業(yè)在進入的時候往往采用模仿策略，在占據一定的市場后采用差異最大化策略的原因。

5 結束語

本文討論了廣告媒介下具有替代關系的產品擴散動態(tài)模型，通過微分方程建立數(shù)學模型，運用向量場與相軌線圖，討論了具有不同競爭力的企業(yè)所生產的產品具有替代性時他們之間競爭的穩(wěn)定狀態(tài)，為模擬和預測動態(tài)市場結構演變及廣告決策提供了理論依據。研究結果表明：具有替代性的兩類產品，在廣告的作用下要么共存于市場，要么只有其中一類產品存在于市場，而這取決于雙方的廣告競爭力。然而，產品不僅具有替代關系，也存在互補關系，那么在互補關系下，不同競爭力的企業(yè)之間的穩(wěn)定狀態(tài)如何，是下一步要進行的研究。

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（責任編輯：張京輝）

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（責任編輯：張京輝）