高飛

數學課程標準無論是實驗稿，還是修訂稿，都把動手實踐作為學生數學學習的一種重要方式列舉出來。美國數學家哈爾莫斯指出，學習數學唯一方法是“做”數學。由此可見，動手實踐對于小學生數學學習的重要意義。兒童的智慧在指尖上。教育心理學研究指出，兒童的數學學習往往是從“動作”開始的，經歷“動作思維—表象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。而通過物化操作活動，將感知與動作聯(lián)系起來，能促進思考，從而提高感知的效果。鑒于以上原因，動手操作這種學習方式被教師廣泛地選用于課堂教學，成為數學“概念”“規(guī)則”等知識技能教學的首選方式。但縱觀課堂上操作活動，是否都能達到理想的教學目標，實現(xiàn)最初選擇的教學愿景呢？答案當然是否定的。動手操作作為一種促進學習的有效手段，是外因，而外因只有通過內因才能起作用。因此，能否誘發(fā)學生的內在需求是衡量操作活動是否有效的重要條件。那些沒有誘發(fā)學生需求的操作活動，因為他們不知道“為什么操作”、“操作有什么用”，所以導致思維不能積極參與其中。當然，沒有思維深度參與的任何學習活動，都是高耗低效的，甚至是無效的活動。鑒于“反例”有助于吸取教訓，所以筆者把親身經歷的一次失敗的“操作活動”過程及其重構方法記錄下來，以供大家批評。

“點到直線的距離”是學生后續(xù)學習平面圖形的高的直接基礎。教學時，我預設了如下操作活動：一是要求學生過直線外點A，畫出已知直線的垂直線段AO（如圖1）；二是要求學生在原有直線上，再任意找出B、C、D、E四點分別與A點連接起來（如圖2）；三是要求學生測量線段AO、AB、AC、AD、AE的長度（要求用毫米作單位），并問：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”筆者希望通過以上層層遞進的操作活動，讓學生在充分感知“點到直線的‘垂直線段”的基礎上，在測量與比較中發(fā)現(xiàn)“從直線外的一點到這條直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結論，從而幫助學生理解“點到直線的距離”的概念內涵。

圖1 圖2

圖3

但無情的課堂現(xiàn)實徹底擊碎了我的教學愿景。“活動一”整體上完成不錯。但到了“活動二”問題就花樣百出，有的學生因為沒有聽懂老師的要求，無從下手；有的學生分別過B、C、D、E四點，又畫出四條垂直于已知直線的線段（如圖3）；還有的學生“按圖索驥”，雖然畫了、測了，但因為不知道為什么這樣做，所以“發(fā)現(xiàn)”也成了泡影。如此下來，一場“熱熱鬧鬧”的操作活動，有意識參與并真正獲得感知與體驗的學生不足30%。無疑，這樣的教學是失敗的。當時，我簡單地歸因于學生“太不認真”，憤憤地拂袖而去……

課下，待我“氣”消“云”散之后，仔細回味課上“三次”活動，驀然發(fā)現(xiàn)：每次操作活動都體現(xiàn)了教師的“意志”，哪一個是學生自覺自愿開展的？！因為沒有參與操作活動的心理需求，所以學生被動參與，注意力分散，甚至消極怠工。最關鍵的是不能調動學生思維的積極性，操作活動“失敗”在所難免！通過反思，找到了問題的癥結，據此進行改進。以下是在另一個班級“同環(huán)節(jié)”重構的教學過程：

第一步，過A點畫出已知直線的垂直線段AO。（如圖1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他學生獨立完成之后，突出教學垂直線段的兩個端點A、O。

通過強調垂直線段的兩個端點A、O，讓學生把過A點畫已知直線的垂直“線段”和以往的“直線”區(qū)別開來。

第二步，在圖1的基礎上，教師任意取出B、C、D、E四點，并分別與點A連接起來（如圖2），提出：比一比，線段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

學生借助圖形，通過觀察與比較，得出：線段AO垂直于已知直線；線段AO最短。此時，教師抓住學生生成的結論“線段AO最短”指出：垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們用肉眼觀察到的結果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——“驗證！”學生異口同聲。

由原來的教師“命令”、學生“執(zhí)行”改為教師示范，既不影響學生后續(xù)探究的效果，又可以避免發(fā)生理解上的歧義現(xiàn)象。更重要的是，能夠直觀地引導學生在觀察的基礎上作出合理的猜想，從而為下一步操作驗證做好心理準備。

第三步，每位學生在練習紙上，利用原有的圖形“照樣子”畫出線段AB、AC、AD、AE。并放手讓學生通過操作驗證“猜想”。

案例中，在教師一句“垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們肉眼觀察到的結果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——”的啟示下，剛剛產生的“猜想”隨機轉化成了每個學生頭腦中一個個大“？”，從而使“驗證”的愿望油然而生，“欲罷不能”！因為有了操作驗證的心理需求，所以在已有的圖形上畫出線段，并通過各種操作活動驗證“猜想”，就是學生自覺自愿的事情。

據察，此環(huán)節(jié)學生摩拳擦掌、行動迅速、思維活躍。每個學生都全身心地投入到驗證“猜想”的活動中來。課堂生成精彩紛呈，創(chuàng)新火花不斷閃現(xiàn)。除了選擇常規(guī)方法“測量”驗證以外，還有學生創(chuàng)造性地使用“繩子比”的方法：把繩子一端固定在點A上，（借助圖2）以線段AO為標準，依次“比較”每條線段的長度。在最后一條線段比較結束的同時，每個學生的頭腦中也形成了清晰的、動態(tài)的比較表象，進而順利抽象并得出“從直線外一點到已知直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結論。至此，“點到直線的距離”的概念建構“呼之欲出”，水到渠成。

【責任編輯：陳國慶】

數學課程標準無論是實驗稿，還是修訂稿，都把動手實踐作為學生數學學習的一種重要方式列舉出來。美國數學家哈爾莫斯指出，學習數學唯一方法是“做”數學。由此可見，動手實踐對于小學生數學學習的重要意義。兒童的智慧在指尖上。教育心理學研究指出，兒童的數學學習往往是從“動作”開始的，經歷“動作思維—表象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。而通過物化操作活動，將感知與動作聯(lián)系起來，能促進思考，從而提高感知的效果。鑒于以上原因，動手操作這種學習方式被教師廣泛地選用于課堂教學，成為數學“概念”“規(guī)則”等知識技能教學的首選方式。但縱觀課堂上操作活動，是否都能達到理想的教學目標，實現(xiàn)最初選擇的教學愿景呢？答案當然是否定的。動手操作作為一種促進學習的有效手段，是外因，而外因只有通過內因才能起作用。因此，能否誘發(fā)學生的內在需求是衡量操作活動是否有效的重要條件。那些沒有誘發(fā)學生需求的操作活動，因為他們不知道“為什么操作”、“操作有什么用”，所以導致思維不能積極參與其中。當然，沒有思維深度參與的任何學習活動，都是高耗低效的，甚至是無效的活動。鑒于“反例”有助于吸取教訓，所以筆者把親身經歷的一次失敗的“操作活動”過程及其重構方法記錄下來，以供大家批評。

“點到直線的距離”是學生后續(xù)學習平面圖形的高的直接基礎。教學時，我預設了如下操作活動：一是要求學生過直線外點A，畫出已知直線的垂直線段AO（如圖1）；二是要求學生在原有直線上，再任意找出B、C、D、E四點分別與A點連接起來（如圖2）；三是要求學生測量線段AO、AB、AC、AD、AE的長度（要求用毫米作單位），并問：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”筆者希望通過以上層層遞進的操作活動，讓學生在充分感知“點到直線的‘垂直線段”的基礎上，在測量與比較中發(fā)現(xiàn)“從直線外的一點到這條直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結論，從而幫助學生理解“點到直線的距離”的概念內涵。

圖1 圖2

圖3

但無情的課堂現(xiàn)實徹底擊碎了我的教學愿景?！盎顒右弧闭w上完成不錯。但到了“活動二”問題就花樣百出，有的學生因為沒有聽懂老師的要求，無從下手；有的學生分別過B、C、D、E四點，又畫出四條垂直于已知直線的線段（如圖3）；還有的學生“按圖索驥”，雖然畫了、測了，但因為不知道為什么這樣做，所以“發(fā)現(xiàn)”也成了泡影。如此下來，一場“熱熱鬧鬧”的操作活動，有意識參與并真正獲得感知與體驗的學生不足30%。無疑，這樣的教學是失敗的。當時，我簡單地歸因于學生“太不認真”，憤憤地拂袖而去……

課下，待我“氣”消“云”散之后，仔細回味課上“三次”活動，驀然發(fā)現(xiàn)：每次操作活動都體現(xiàn)了教師的“意志”，哪一個是學生自覺自愿開展的？！因為沒有參與操作活動的心理需求，所以學生被動參與，注意力分散，甚至消極怠工。最關鍵的是不能調動學生思維的積極性，操作活動“失敗”在所難免！通過反思，找到了問題的癥結，據此進行改進。以下是在另一個班級“同環(huán)節(jié)”重構的教學過程：

第一步，過A點畫出已知直線的垂直線段AO。（如圖1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他學生獨立完成之后，突出教學垂直線段的兩個端點A、O。

通過強調垂直線段的兩個端點A、O，讓學生把過A點畫已知直線的垂直“線段”和以往的“直線”區(qū)別開來。

第二步，在圖1的基礎上，教師任意取出B、C、D、E四點，并分別與點A連接起來（如圖2），提出：比一比，線段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

學生借助圖形，通過觀察與比較，得出：線段AO垂直于已知直線；線段AO最短。此時，教師抓住學生生成的結論“線段AO最短”指出：垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們用肉眼觀察到的結果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——“驗證！”學生異口同聲。

由原來的教師“命令”、學生“執(zhí)行”改為教師示范，既不影響學生后續(xù)探究的效果，又可以避免發(fā)生理解上的歧義現(xiàn)象。更重要的是，能夠直觀地引導學生在觀察的基礎上作出合理的猜想，從而為下一步操作驗證做好心理準備。

第三步，每位學生在練習紙上，利用原有的圖形“照樣子”畫出線段AB、AC、AD、AE。并放手讓學生通過操作驗證“猜想”。

案例中，在教師一句“垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們肉眼觀察到的結果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——”的啟示下，剛剛產生的“猜想”隨機轉化成了每個學生頭腦中一個個大“？”，從而使“驗證”的愿望油然而生，“欲罷不能”！因為有了操作驗證的心理需求，所以在已有的圖形上畫出線段，并通過各種操作活動驗證“猜想”，就是學生自覺自愿的事情。

據察，此環(huán)節(jié)學生摩拳擦掌、行動迅速、思維活躍。每個學生都全身心地投入到驗證“猜想”的活動中來。課堂生成精彩紛呈，創(chuàng)新火花不斷閃現(xiàn)。除了選擇常規(guī)方法“測量”驗證以外，還有學生創(chuàng)造性地使用“繩子比”的方法：把繩子一端固定在點A上，（借助圖2）以線段AO為標準，依次“比較”每條線段的長度。在最后一條線段比較結束的同時，每個學生的頭腦中也形成了清晰的、動態(tài)的比較表象，進而順利抽象并得出“從直線外一點到已知直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結論。至此，“點到直線的距離”的概念建構“呼之欲出”，水到渠成。

【責任編輯：陳國慶】

數學課程標準無論是實驗稿，還是修訂稿，都把動手實踐作為學生數學學習的一種重要方式列舉出來。美國數學家哈爾莫斯指出，學習數學唯一方法是“做”數學。由此可見，動手實踐對于小學生數學學習的重要意義。兒童的智慧在指尖上。教育心理學研究指出，兒童的數學學習往往是從“動作”開始的，經歷“動作思維—表象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。而通過物化操作活動，將感知與動作聯(lián)系起來，能促進思考，從而提高感知的效果。鑒于以上原因，動手操作這種學習方式被教師廣泛地選用于課堂教學，成為數學“概念”“規(guī)則”等知識技能教學的首選方式。但縱觀課堂上操作活動，是否都能達到理想的教學目標，實現(xiàn)最初選擇的教學愿景呢？答案當然是否定的。動手操作作為一種促進學習的有效手段，是外因，而外因只有通過內因才能起作用。因此，能否誘發(fā)學生的內在需求是衡量操作活動是否有效的重要條件。那些沒有誘發(fā)學生需求的操作活動，因為他們不知道“為什么操作”、“操作有什么用”，所以導致思維不能積極參與其中。當然，沒有思維深度參與的任何學習活動，都是高耗低效的，甚至是無效的活動。鑒于“反例”有助于吸取教訓，所以筆者把親身經歷的一次失敗的“操作活動”過程及其重構方法記錄下來，以供大家批評。

“點到直線的距離”是學生后續(xù)學習平面圖形的高的直接基礎。教學時，我預設了如下操作活動：一是要求學生過直線外點A，畫出已知直線的垂直線段AO（如圖1）；二是要求學生在原有直線上，再任意找出B、C、D、E四點分別與A點連接起來（如圖2）；三是要求學生測量線段AO、AB、AC、AD、AE的長度（要求用毫米作單位），并問：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”筆者希望通過以上層層遞進的操作活動，讓學生在充分感知“點到直線的‘垂直線段”的基礎上，在測量與比較中發(fā)現(xiàn)“從直線外的一點到這條直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結論，從而幫助學生理解“點到直線的距離”的概念內涵。

圖1 圖2

圖3

但無情的課堂現(xiàn)實徹底擊碎了我的教學愿景。“活動一”整體上完成不錯。但到了“活動二”問題就花樣百出，有的學生因為沒有聽懂老師的要求，無從下手；有的學生分別過B、C、D、E四點，又畫出四條垂直于已知直線的線段（如圖3）；還有的學生“按圖索驥”，雖然畫了、測了，但因為不知道為什么這樣做，所以“發(fā)現(xiàn)”也成了泡影。如此下來，一場“熱熱鬧鬧”的操作活動，有意識參與并真正獲得感知與體驗的學生不足30%。無疑，這樣的教學是失敗的。當時，我簡單地歸因于學生“太不認真”，憤憤地拂袖而去……

課下，待我“氣”消“云”散之后，仔細回味課上“三次”活動，驀然發(fā)現(xiàn)：每次操作活動都體現(xiàn)了教師的“意志”，哪一個是學生自覺自愿開展的？！因為沒有參與操作活動的心理需求，所以學生被動參與，注意力分散，甚至消極怠工。最關鍵的是不能調動學生思維的積極性，操作活動“失敗”在所難免！通過反思，找到了問題的癥結，據此進行改進。以下是在另一個班級“同環(huán)節(jié)”重構的教學過程：

第一步，過A點畫出已知直線的垂直線段AO。（如圖1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他學生獨立完成之后，突出教學垂直線段的兩個端點A、O。

通過強調垂直線段的兩個端點A、O，讓學生把過A點畫已知直線的垂直“線段”和以往的“直線”區(qū)別開來。

第二步，在圖1的基礎上，教師任意取出B、C、D、E四點，并分別與點A連接起來（如圖2），提出：比一比，線段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

學生借助圖形，通過觀察與比較，得出：線段AO垂直于已知直線；線段AO最短。此時，教師抓住學生生成的結論“線段AO最短”指出：垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們用肉眼觀察到的結果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——“驗證！”學生異口同聲。

由原來的教師“命令”、學生“執(zhí)行”改為教師示范，既不影響學生后續(xù)探究的效果，又可以避免發(fā)生理解上的歧義現(xiàn)象。更重要的是，能夠直觀地引導學生在觀察的基礎上作出合理的猜想，從而為下一步操作驗證做好心理準備。

第三步，每位學生在練習紙上，利用原有的圖形“照樣子”畫出線段AB、AC、AD、AE。并放手讓學生通過操作驗證“猜想”。

案例中，在教師一句“垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們肉眼觀察到的結果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——”的啟示下，剛剛產生的“猜想”隨機轉化成了每個學生頭腦中一個個大“？”，從而使“驗證”的愿望油然而生，“欲罷不能”！因為有了操作驗證的心理需求，所以在已有的圖形上畫出線段，并通過各種操作活動驗證“猜想”，就是學生自覺自愿的事情。

據察，此環(huán)節(jié)學生摩拳擦掌、行動迅速、思維活躍。每個學生都全身心地投入到驗證“猜想”的活動中來。課堂生成精彩紛呈，創(chuàng)新火花不斷閃現(xiàn)。除了選擇常規(guī)方法“測量”驗證以外，還有學生創(chuàng)造性地使用“繩子比”的方法：把繩子一端固定在點A上，（借助圖2）以線段AO為標準，依次“比較”每條線段的長度。在最后一條線段比較結束的同時，每個學生的頭腦中也形成了清晰的、動態(tài)的比較表象，進而順利抽象并得出“從直線外一點到已知直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結論。至此，“點到直線的距離”的概念建構“呼之欲出”，水到渠成。

【責任編輯：陳國慶】