兩冪等變換值域與核相等問(wèn)題研究

袁 力

(鄖陽(yáng)師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北 十堰 442000)

由于冪等變換所具有的特殊性質(zhì)，使得其值域與核在矩陣的對(duì)角化問(wèn)題及空間的直和分解中都有重要的應(yīng)用，現(xiàn)已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)并取得了一些有價(jià)值的結(jié)論。2012年朱一心討論了有限維線性空間上線性變換方冪的像與核的直和問(wèn)題，并將結(jié)論推廣到了無(wú)限維線性空間[1]；楊欣芳給出了線性變換的像與核對(duì)空間直和分解的一個(gè)充分條件[2]；吳校良對(duì)線性變換的像與核之間的維數(shù)關(guān)系式做了較為詳細(xì)的描述[3]；汪杏枝系統(tǒng)總結(jié)了線性空間上兩個(gè)線性變換的象與象，核與核，象與核的關(guān)系[4][5]。

在對(duì)已有成果進(jìn)行認(rèn)真總結(jié)和分析的基礎(chǔ)上，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于定義在同一線性空間上兩個(gè)不同的冪等變換，它們的值域與核之間也有著非常密切的聯(lián)系。本文將在此條件下對(duì)冪等變換值域與核的相等問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步討論，結(jié)合近年來(lái)的教研成果，給出一些有益的結(jié)論。

2 定義與主要結(jié)論

定義1 設(shè)σ是線性空V間的一個(gè)線性變換,滿足σ2=σ,則稱為冪等變換。

定義2 設(shè)σ是線性空間V的一個(gè)線性變換,σ的全體像組成的集合σ(V)稱為σ的值域,用Imσ表示；所有被σ變成零向量的向量組成的集合σ-1(0)稱為σ的核,用kerσ表示[6]。

定義3 設(shè)線性空間V上的一個(gè)線性變換σ滿足rankσ2=rankσ,則稱σ是一個(gè)冪等秩的線性變換[7]。

首先給出一個(gè)同一線性空間上兩個(gè)不同冪等變換的值域與核分別相等的充分必要條件。

定理1 設(shè)σ,τ是定義在數(shù)域P上n維線性空間V上的兩個(gè)冪等變換，則

(1)σ與τ有相同值域的充分必要條件是στ=τ，τσ=σ；

(2)σ與τ有相同的核的充分必要條件是στ=σ，τσ=τ[1]。

證 (1)必要性設(shè)σ(V)=τ(V),則對(duì)于任意α∈V,

因σ(α)∈σ(V)=τ(V), 所以存在δ∈V, 使得σ(α)=τ(δ)。

即有τσ(α)=τ2(δ)=τ(δ)=σ(α), 由α的任意性可知τσ=σ。

同理可證στ=τ。

充分性設(shè)στ=τ，τσ=σ,則對(duì)于任意σ(α)∈σ(V),有σ(α)=τ(σ(α))∈τ(V), 此即

σ(V)?τ(V)。

同理可證τ(V)∈?σ(V)，所以σ(V)=τ(V)。

(2)必要性若σ-1(0)=τ-1(0)，對(duì)任意β∈V，作向量β-σ(β)

因σ(β-σ(β))=σ(β)-σ2(β)=σ(β)-σ(β)=0，所以β-σ(β)∈σ-1(0)=τ-1(0)

又因τ(β-σ(β))=τ(β)-τσ(β)=0，所以τ(β)=τσ(β)

由β的任意性，故有τσ=τ。

作向量β-τ(β)，則τ(β-τ(β))=τ(β)-τ2(β)=τ(β)-τ(β)=0，

所以β-τ(β)∈τ-1(0)=σ-1(0)，

又σ(β-τ(β))=0，所以σ(β)=στ(β)

由β的任意性，故有στ=σ。

充分性若στ=σ，τσ=τ，任取α∈σ-1(0)，

由τ(α)=τσ(α)=τ(σ(α))=τ(0)=0，所以α∈τ-1(0)，從而σ-1(0)?τ-1(0)

任取β∈τ-1(0)

由σ(β)=στ(β)=σ(τ(β))=σ(0)=0，所以β∈σ-1(0)，從而τ-1(0)?σ-1(0)

綜合可得σ-1(0)=τ-1(0)。

其實(shí)對(duì)定理1的條件與結(jié)論深入分析，還可以得到如下推廣的結(jié)論：

定理2 設(shè)σ，τ是定義在數(shù)域P上n維線性空間V上的兩個(gè)線性變換，且σ是k次冪等，τ是l次冪等,則

(1)σ與τ有相同值域的充要條件是：σk-1τ=τ，τl-1σ=σ

(2)σ與τ有相同的核的充要條件是：στl-1=σ，τσk-1=τ

證 (1)必要性因σ(V)=τ(V),對(duì)于任意β∈V，則τ(β)∈τ(V)=σ(V)，

即存在α∈V， 使得τ(β)=σ(α)，

又因σk=σ，所以有(σk-1τ)β=σk-1(τ(β))=σk-1(σ(α))=σk(α)=σ(α)=τ(β)

由β的任意性可知σk-1τ=τ。

同理可證τl-1σ=σ。

充分性因σk-1τ=τ，則τ(V)=(σk-1τ)V=σ(σk-2τ)V?σ(V)

同理可知σ(V)?τ(V)，故σ(V)=τ(V)。

(2)必要性因τl=τ，即τl-τ=τ(τl-1-ε)=0，則對(duì)任意α∈V，有τ(τl-1-ε)=0，

即(τl-1-ε)α∈τ-1(0)

又因σ-1(0)=τ-1(0)，則(τl-1-ε)α∈σ-1(0)即(σ(τl-1-ε))α=(στl-1-σ)α=0，

由α的任意性可知στl-1=σ。

同理可證τσk-1=τ。

充分性因στl-1=σ,則對(duì)于任意α∈V,(στl-1-σ)α=(σ(τl-1-ε))α=σ((τl-1-ε)α)=0

即(τl-1-ε)α∈σ-1(0) ,

又因τ((τl-1-ε)α)=(τl-τ)α=0，即(τl-1-ε)α∈τ-1(0)

由α的任意性,可知σ-1(0)?τ-1(0)。

同理可證τ-1(0)?σ-1(0),故σ-1(0)=τ-1(0),證畢。

對(duì)于兩冪等變換值域與核之間對(duì)應(yīng)相等，我們有下面的結(jié)論：

定理3 設(shè)σ是定義在數(shù)域P上n維線性空間V上的冪等變換,ε為恒等變換,則τ=ε-σ為冪等變換,且kerσ=τ(V)，kerτ=σ(V)。

證 因τ2=(ε-σ)2=ε2-2σ+σ2=ε-2σ+σ=ε-σ=τ,故為冪等變換。

對(duì)于任意α∈τ(V),則存在β∈V,使得α=τ(β)=(ε-σ)β=β-σ(β)

等式兩邊同時(shí)用σ作用,可得σ(α)=σ(β-σ(β))=σ(β)-σ2(β)=σ(β)-σ(β)=0

所以α∈σ-1(0),即τ(V)?kerσ。

反之，對(duì)于任意β∈kerσ,則σ(β)=0,且有τ(β)=(ε-σ)β=β-σ(β)∈τ(V)，即kerσ?τ(V)。

綜上可知kerσ=τ(V)。

同理可證kerτ=σ(V)。

冪等變換是冪等秩線性變換的特殊情況，下面在更一般的條件下，即當(dāng)σ,τ為冪等秩線性變換時(shí)，其值域與核相等問(wèn)題還可有如下結(jié)論：

定理4 設(shè)σ,τ是定義在數(shù)域P上n維線性空間V的兩個(gè)冪等秩的線性變換

1) 若σ(V)=τ(V),則στ(V)=τ(V)=σ(V)=τσ(V)

2) 若kerσ=kerτ,則kerστ=kerσ=kerτ=kerτσ

證 1)因σ,τ均為冪等秩的線性變換，且有σ(V)=τ(V)

則(στ)V=σ(τ(V))=σ(σ(V))=σ2(V)=σ(V)=τ(V)=τ2(V)

=τ(τ(V))=τ(σ(V))=(τσ)V

2) 因kerσ=kerτ，設(shè)α是ker(τσ)中任一向量，則στ(α)=σ(τ(α))=0

則可知τ(α)∈ kerσ，故也有τ(α)∈kerτ，所以τ(τ(α))=τ2(α)=0

即α∈kerτ2=kerτ，所以α∈kerτ。由α的任意性可知：kerστ?kerτ，kerστ?kerσ。

同理可證kerτσ?kerσ，kerτσ?kerτ

而kerτ?kerστ，kerσ?kerτσ顯然成立，所以kerστ=kerσ=kerτ=kerτσ。

3 結(jié)語(yǔ)

文章對(duì)同一線性空間上兩個(gè)不同冪等變換的值域與核相等問(wèn)題展開(kāi)了討論，給出了兩者相等的一個(gè)充要條件，并把此充要條件推廣到了p次冪等變換的值域與核上來(lái)，同時(shí)得到了一個(gè)兩冪等變換核與值域之間分別對(duì)應(yīng)相等的充分條件。以此為基礎(chǔ)，在更一般的條件下，給出了兩冪等秩線性變換值域與核對(duì)應(yīng)相等的一個(gè)必要條件，為進(jìn)一步開(kāi)展線性變換的值域與核對(duì)空間直和分解問(wèn)題的研究做了一些基礎(chǔ)性的工作。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 朱一心,馬雪松, 范興亞,等.關(guān)于線性變換的像空間與核空間的直和[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012,42(18):267-272.

[2] 楊欣芳. 線性空間分解為線性變換的核與像的直和的一個(gè)充分條件[J].韶關(guān)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1996,17(4):9-12.

[3] 吳校良.線性變換的核空間與像空間的維數(shù)關(guān)系式[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2012,18(2):3-4.

[4] 汪杏枝.維線性空間上的兩個(gè)線性變換的像與核[J]湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001,21(4):20-23.

[5] 姜 琴,袁 力.關(guān)于兩冪等變換值域與核的一點(diǎn)注記[J].鄖陽(yáng)師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2013,33(6):21-23.

[6] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003:302-303.

[7] 汪杏枝.維線性空間上的冪等秩的線性變換[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001,21(2):18-22.