劉鴻，劉建華，唐民

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410004；2.慈溪市供電局，慈溪 315300）

電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行一直以來(lái)都是電力工程技術(shù)人員和學(xué)者研究的問(wèn)題。電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性是以安全性為前提的。文獻(xiàn)[1～2]介紹了考慮直流潮流和線路容量約束條件的經(jīng)濟(jì)調(diào)度ED（economic dispatch）模型，稱該模型為經(jīng)濟(jì)安全調(diào)度ESD（economic safe dispatch）模型。傳統(tǒng)的ESD基本目標(biāo)是在滿足有功功率平衡情況下發(fā)電費(fèi)用最小，機(jī)組出力及線路安全約束也應(yīng)得到滿足。這是一個(gè)非線性問(wèn)題，求解這類問(wèn)題的方法很多，諸如非線性規(guī)劃法[3～4]，二次規(guī)劃法[5]，逐次線性法[6]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7～8]等等。以上方法都是基于ESD模型中的參數(shù)是確定的。而電力系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中各參量并不是嚴(yán)格意義上具有確定性的，是具有一定的不確定性（如線路參數(shù)、電網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等），傳統(tǒng)的ESD問(wèn)題把不確定性因素當(dāng)作確定性因素來(lái)處理，得出的最優(yōu)解并非真正切合實(shí)際的最優(yōu)解。在ESD問(wèn)題中，發(fā)電機(jī)的費(fèi)用函數(shù)曲線是通過(guò)“熱運(yùn)行”實(shí)驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制而成[9]，通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成二次函數(shù)，本身存在一定的誤差?；痣姍C(jī)組出力是通過(guò)由燃煤和各種化石燃料等給鍋爐中的水加熱，產(chǎn)生蒸汽，由蒸汽推動(dòng)汽輪機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)一步帶動(dòng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生電能，是由熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，再轉(zhuǎn)化為電能的過(guò)程。這中間的能量轉(zhuǎn)化并非理想狀態(tài)下的轉(zhuǎn)化，而是存在諸多不確定性。而環(huán)境溫度以及海水和湖泊水等作為用來(lái)作為冷卻蒸汽的溫度也存在不確定性，所以不能在任何時(shí)刻都用確定性的發(fā)電成本二次函數(shù)來(lái)進(jìn)行描述，而是應(yīng)該計(jì)及這些不確定性因素對(duì)機(jī)組煤耗產(chǎn)生的附加成本。故本文旨在修正這些不確定性因素所帶來(lái)的附加成本對(duì)模型本身所帶來(lái)的誤差，以期更接近實(shí)際最優(yōu)運(yùn)行值。

目前，許多優(yōu)化方法都運(yùn)用到了ESD問(wèn)題中，但是大多數(shù)的方法都是通過(guò)建立ESD潮流模型，如何有效的去求解，已有的這些方法并不能處理模型中的不確定性因素。近年來(lái)，各國(guó)研究者對(duì)已有的研究并不滿足，迫切需要尋找一種方法來(lái)處理那些不確定性因素引起的誤差，希望得到更貼切實(shí)際的優(yōu)化值。而魯棒優(yōu)化方法[10]的提出正是解決這類問(wèn)題的較好的方法，它能考慮最壞（worstcase）情況下的狀態(tài)，本文利用魯棒優(yōu)化方法對(duì)電力系統(tǒng)煤耗參數(shù)的不確定性進(jìn)行描述，模擬仿真表明該方法的有效性和在實(shí)踐中具有重要的理論指導(dǎo)意義。

1 “不確定損耗成本”的描述

目前，電力是通過(guò)各種能源（如燃燒煤和各種化石燃料，核能裂變，風(fēng)能等）所轉(zhuǎn)化的，本文考慮利用煤和各種化石燃料生產(chǎn)電能，它的基本生產(chǎn)過(guò)程是：燃料在鍋爐中燃燒加熱水變成蒸汽，經(jīng)過(guò)加熱器進(jìn)一步加熱后變成過(guò)熱的蒸汽，再通過(guò)主蒸汽管道進(jìn)入汽輪機(jī)。由于蒸汽不斷膨脹，高速流動(dòng)的蒸汽推動(dòng)汽輪機(jī)的葉片轉(zhuǎn)動(dòng)從而帶動(dòng)發(fā)電機(jī)從而產(chǎn)生電能。最后將做過(guò)功的蒸汽排入凝汽器并被冷卻凝結(jié)成水，經(jīng)過(guò)低壓和高壓加熱后將熱水打入鍋爐，通常都是用海水和湖泊水作為凝汽器冷卻。通過(guò)不斷循環(huán)產(chǎn)生源源不斷的電能。這個(gè)汽水系統(tǒng)總是受環(huán)境因素的影響，如空氣、海水溫度等。

為了進(jìn)一步提高其熱效率，一般都從汽輪機(jī)的某些中間級(jí)后抽出做過(guò)功的部分蒸汽，用以加熱給水。這個(gè)過(guò)程也受散熱等環(huán)境溫度的影響。在超高壓機(jī)組中還采用再熱循環(huán)，即把做過(guò)一段功的蒸汽從汽輪機(jī)的高壓缸的出口將做過(guò)功的蒸汽全部抽出，送到鍋爐的再熱汽中加熱后再引入氣輪機(jī)的中壓缸繼續(xù)膨脹做功，從中壓缸送出的蒸汽，再送入低壓缸繼續(xù)做功。流入和流出的蒸汽在每個(gè)階段都必須保持一種平衡，此外，由于設(shè)備之間的耦合不可能做到完全密封，在鍋爐循環(huán)做功期間，總會(huì)有一些水丟失，為了保持平衡，還需不斷的補(bǔ)水。在補(bǔ)水的過(guò)程中也會(huì)受到補(bǔ)給水的溫度和量的多少等不確定性因素影響。

綜上所述，燃料對(duì)鍋爐加熱，是熱能不斷轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，再轉(zhuǎn)化為電能的過(guò)程。而熱能由于環(huán)境、海水和湖泊水的溫度，補(bǔ)給水的溫度以及蒸汽的循環(huán)等不確定性因素的影響，將會(huì)對(duì)煤耗成本產(chǎn)生影響。若系統(tǒng)較鍋爐理想循環(huán)狀態(tài)下丟失熱能較多的話，從而將增加燃料成本，這個(gè)增加的燃料成本稱為“不確定損耗成本”。這個(gè)“不確定損耗成本”將會(huì)對(duì)經(jīng)典經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

本文的目標(biāo)是為了降低單位發(fā)電成本，即減少燃料成本占發(fā)電總量的比例。由于電力供需平衡的約束，所以發(fā)電總量是恒定的。因此，對(duì)于每臺(tái)發(fā)電機(jī)的“不確定損耗成本”而言，將其表示成與發(fā)電機(jī)出力有關(guān)的線性函數(shù)，即

式中：PGi為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的出力；ΔF（PGi）為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的“不確定損耗成本”；ξi、λi為不確定參量，ξi∈U，λi∈V，其集合U和V在后面描述。

2 線性魯棒優(yōu)化理論

2.1 線性魯棒優(yōu)化模型

20世紀(jì)70年代Soyster提出線性規(guī)劃魯棒優(yōu)化模型[11]，魯棒優(yōu)化是解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部環(huán)境不確定情況下的優(yōu)化方法。魯棒優(yōu)化解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)變動(dòng)問(wèn)題時(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題而言，一種是約束條件參數(shù)的不確定性，一種是目標(biāo)函數(shù)參數(shù)的不確定性[12]，本文的問(wèn)題是目標(biāo)函數(shù)參數(shù)的不確定性。

魯棒優(yōu)化已經(jīng)從Soyster的線性優(yōu)化魯棒方法，發(fā)展到目前魯棒優(yōu)化理論的經(jīng)典體系。有些學(xué)者在建立魯棒優(yōu)化理論方面進(jìn)行了重要工作，他們研究的是具有不同形式的數(shù)據(jù)不確定性的線性規(guī)劃問(wèn)題、二次規(guī)劃問(wèn)題和半定規(guī)劃問(wèn)題等。本文涉及到線性魯棒優(yōu)化問(wèn)題[10～12]。

一般魯棒優(yōu)化定義為

線性規(guī)劃定義為

記A={a1，a2，…，an}，b={b1，b2，…，bn}其中ai為約束矩陣A的第i行，則式（4）可寫(xiě)為

假設(shè)a1∈U，a2∈U，an∈U，其中Ui（i=1，…，m）為不確定集合，目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)C的不確定性可以歸納為約束矩陣的不確定性。則式（5）魯棒對(duì)應(yīng)：

易知aix≤bi，?ai∈Ui，i=1，…，m，等價(jià)于求解問(wèn)題。

式（7）問(wèn)題的復(fù)雜性決定魯棒優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性。

2.2 集合U的確定與計(jì)算原則

魯棒優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵是不確定集合U的確定以及在某給定U下復(fù)雜min-max模型的化簡(jiǎn)，實(shí)際計(jì)算的可操作性，本文考慮“盒式”不確定集合，即設(shè)參數(shù)U的形式為

Soyster針對(duì)一般線性規(guī)劃模型的約束矩陣列的不確定性，設(shè)計(jì)了一套魯棒優(yōu)化方法。首先，對(duì)于任意一個(gè)不確的數(shù)據(jù)元素，設(shè)計(jì)基于數(shù)據(jù)元素的標(biāo)稱值的一個(gè)可能的有界對(duì)稱區(qū)間，通過(guò)引入隨機(jī)變量消除標(biāo)稱值，使得數(shù)據(jù)元素變成完全不確定的，然后，在原來(lái)的線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上，對(duì)每個(gè)不確定數(shù)據(jù)元素引入決策變量，在標(biāo)準(zhǔn)形式的約束方程的左端添加不確定性數(shù)據(jù)的最大值與引入變量的乘積。這樣，原問(wèn)題的魯棒對(duì)應(yīng)仍然是線性規(guī)劃問(wèn)題，但消除了數(shù)據(jù)元素的不確定性[3]。這樣，就可以用一般的方法來(lái)解決本文的問(wèn)題。

3 模型的建立

基于以上描述，假定電網(wǎng)中有NG臺(tái)發(fā)電機(jī)為PGi，i=1，2，…，NG是發(fā)電機(jī)的節(jié)點(diǎn)，在本文的優(yōu)化問(wèn)題當(dāng)中PGi為決定變量，對(duì)于每臺(tái)發(fā)電機(jī)而言，發(fā)電機(jī)的燃料成本是二次函數(shù)，故結(jié)合所描述的“不確定損耗成本”建立以降低發(fā)電成本為目標(biāo)的函數(shù)，即

式中：ξi（i=1，2，…，NG）為不確定的變量，表示成向量為ξ=[ξ1，ξ2，…，ξNG]T；PGi為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)出力。

在電力系統(tǒng)中還有一些約束，如發(fā)電機(jī)運(yùn)行約束、功率平衡約束、線路容量約束等，其限制約束方程∏為

以上的限制都是線性與非線性的集合，因此目標(biāo)函數(shù)是不確定性的最小優(yōu)化問(wèn)題，即

結(jié)合式（8）、式（11）又可以進(jìn)一步等效為

式中，向量PG=[PG1，PG2，…，PGNG]T。

先關(guān)注里層優(yōu)化：

求導(dǎo)后得

又

根據(jù)強(qiáng)對(duì)偶定理有

本文主要探討不確定性因素對(duì)發(fā)電機(jī)出力的影響，在式（13），eTλ顯然與單元機(jī)組對(duì)整個(gè)成本的優(yōu)化無(wú)影響，故令其為0，綜合式（12）、式（13）、式（16）及式（17）可把目標(biāo)函數(shù)式（11）整理成

結(jié)合式（4）可得式（12）的約束方程

綜上所述，原目標(biāo)函數(shù)式（11）中含有一個(gè)不確定變量ξ，通過(guò)對(duì)不確定變量ξ設(shè)置一個(gè)如式（8）的“盒式”集合，再依文獻(xiàn)[3]的計(jì)算原則，通過(guò)數(shù)學(xué)變換，使得原問(wèn)題變成了一個(gè)普通的單層優(yōu)化問(wèn)題，可以用常規(guī)的非線性方法進(jìn)行解答。

4 數(shù)值仿真

1）仿真系統(tǒng)

為驗(yàn)證本文所建模型和算法的有效性，本節(jié)對(duì)修改后的IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值測(cè)試，網(wǎng)絡(luò)的負(fù)荷、發(fā)電機(jī)的數(shù)據(jù)、二次成本函數(shù)等見(jiàn)文獻(xiàn)[4]，單位為￡/h。為了方便起見(jiàn)，有關(guān)發(fā)電機(jī)的數(shù)據(jù)重新列在表1中。

表1 發(fā)電機(jī)參數(shù)Tab.1 Generator parameters

2）最優(yōu)解PG的擾動(dòng)情況

由于環(huán)境等不確定性影響相對(duì)整個(gè)鍋爐系統(tǒng)的熱能交換來(lái)說(shuō)，不確定性的變化量不大，本文以系數(shù)波動(dòng)在1%的范圍內(nèi)來(lái)考慮，文中參數(shù)ξ取bi值的1%，即

圖1～圖6顯示出各機(jī)組出力隨著n的變化而波動(dòng)，其中，縱坐標(biāo)表示各機(jī)組輸出的實(shí)際發(fā)電量，橫坐標(biāo)表示在不同的n值下，發(fā)電機(jī)波動(dòng)的百分?jǐn)?shù)（圖中n=1代表波動(dòng)為0.05%bi）。

圖1 隨n的變化機(jī)組1的出力變化Fig.1 Outputofbus1w ith the change n

圖2 隨n的變化機(jī)組2的出力變化Fig.2 Outputofbus2w ith the change n

圖3 隨n的變化機(jī)組5的出力變化Fig.3 Outputof bus5w ith the change n

圖4 隨n的變化機(jī)組8的出力變化Fig.4 Outputof bus8with the change n

圖5 隨n的變化機(jī)組11的出力變化Fig.5 Outputof bus11w ith the change n

圖6 隨n的變化機(jī)組13的出力變化Fig.6 Outputof bus13w ith the change n

圖7 隨n的變化發(fā)電成本的變化Fig.7 Generating cost with the change n

通過(guò)觀察和比較各仿真圖，易知發(fā)電成本函數(shù)的不確定性對(duì)調(diào)度機(jī)組的最優(yōu)出力將有一定的影響，并且隨著不確定性值的增大（即n增大），各機(jī)組最優(yōu)出力將需要重新進(jìn)行調(diào)整使得成本函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值。由圖1～圖7可以看出，不是所有的機(jī)組都隨n的增大而改變，有些機(jī)組隨n的增加先增大機(jī)組出力然后又減小，有些機(jī)組卻先不改變出力而后隨n的增加而增加機(jī)組出力，其中機(jī)組11和13在限制性的條件下保持最小機(jī)組出力而不改變，機(jī)組的出力隨n的改變并沒(méi)有確定性的規(guī)律，但是從圖7可以看出，隨著n增加到20的時(shí)候其發(fā)電成本卻一直在增長(zhǎng)，由此可以看出，通過(guò)有效抑制減少鍋爐系統(tǒng)相對(duì)理想狀態(tài)下不確定量的變化幅度將會(huì)節(jié)省成本，提高利潤(rùn)。這就促使發(fā)電廠商去對(duì)各電廠進(jìn)行技術(shù)改造以提高經(jīng)濟(jì)效益，可以從機(jī)組蒸汽溫度的冷凝，煤質(zhì)以及更新已經(jīng)老化的機(jī)組等去考慮。

表2給出了采用本文模型所得到的機(jī)組最優(yōu)分配值與最小成本。通過(guò)表2可以看出，獨(dú)立系統(tǒng)運(yùn)行員（ISO）可以根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行的實(shí)際情況（如環(huán)境影響、海水溫度影響等）合理確定系統(tǒng)擾動(dòng)指標(biāo)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)度，在不同的擾動(dòng)指標(biāo)下得出的經(jīng)濟(jì)調(diào)度值可以作為ESD問(wèn)題的最優(yōu)解與次優(yōu)解，這種調(diào)度方式顯示了本文模型優(yōu)于傳統(tǒng)ESD模型最優(yōu)解的唯一性。對(duì)在不考慮擾動(dòng)的情況下用本文的數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)化的調(diào)度計(jì)算，其最優(yōu)值與擾動(dòng)為0.05%所得出的經(jīng)濟(jì)調(diào)度最優(yōu)值非常接近，而擾動(dòng)值偏大的時(shí)候，就有偏差，這可從表1中不同擾動(dòng)的大小看出。此外，從表1中可看出，擾動(dòng)越大，發(fā)電成本將逐步增加，這就促使人們盡量抑制不確定因素對(duì)系統(tǒng)的影響，使擾動(dòng)值降低可減少成本。系統(tǒng)的不確定性肯定是存在的，這就促使當(dāng)值調(diào)度員選擇合理的擾動(dòng)指標(biāo)，使系統(tǒng)在最經(jīng)濟(jì)的情況下運(yùn)行。

表2 發(fā)電機(jī)組最優(yōu)分配值與最小成本Tab.2 Optimal allocation value and the minimum cost of generation

當(dāng)前各國(guó)大部分經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型都是使用大型線性規(guī)劃的有功（直流）最優(yōu)潮流模型，若能在經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型中考慮不確定性因素所帶來(lái)的“不確定損耗成本”的影響，這樣更能在調(diào)度的時(shí)候?qū)C(jī)組出力進(jìn)行合適的變化，可以提高經(jīng)濟(jì)效益。

5 結(jié)語(yǔ)

本文利用魯棒優(yōu)化的方法來(lái)解決機(jī)組在運(yùn)行過(guò)程中受到不確定性因素的影響而帶來(lái)的附加成本，在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)調(diào)度和促使發(fā)電廠進(jìn)行技術(shù)改造有理論和指導(dǎo)作用，本文模型較傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型有一定的優(yōu)勢(shì)，考慮了不確定性因素的影響，可以更好地指導(dǎo)調(diào)度員進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)度，從而保證更大的利潤(rùn)空間，有一定的應(yīng)用價(jià)值。另外，本文提出的方法還可以用來(lái)解決在最優(yōu)潮流或經(jīng)濟(jì)調(diào)度中在未知負(fù)荷分布的情況下利用已有的數(shù)據(jù)對(duì)負(fù)荷不確定性進(jìn)行計(jì)算。需要進(jìn)一步研究的是需要尋找一種更有效的方法來(lái)處理電力系統(tǒng)不確定性的影響，獲得更加精確的結(jié)果。本文的仿真計(jì)算表明該方法的可行性和有效性。

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