□ 卜 昆 □ 邱 飛 □ 周麗敏 □ 張定華

1.西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710072 2.中國航空工業(yè)第一集團(tuán)公司 沈陽發(fā)動機(jī)設(shè)計(jì)研究所 沈陽 110015

1 概述

空心渦輪葉片是航空發(fā)動機(jī)的重要零部件，具有復(fù)雜的曲面結(jié)構(gòu)，其表面的光順性和氣動性直接影響發(fā)動機(jī)的整體性能，而葉片的成型模具是影響其制造質(zhì)量的關(guān)鍵因素。空心渦輪葉片的模具設(shè)計(jì)是一項(xiàng)復(fù)雜的工作，而空心渦輪葉片內(nèi)、外形狀的模具型腔優(yōu)化設(shè)計(jì)更是其中的重點(diǎn)。模具型腔設(shè)計(jì)的基本原則是為模具型腔賦予適量反變形量，以抵消鑄件在凝固和冷卻過程中的結(jié)構(gòu)變形和收縮變形。文獻(xiàn)［1］采用了一種網(wǎng)格位移場反向疊加法，可以有效地使葉片的變形得到補(bǔ)償。但是鑄件的實(shí)際收縮是非線性的，經(jīng)過反向疊加后，模具型面呈現(xiàn)了極不規(guī)則且表面不光順現(xiàn)象，這種方法最終得到的網(wǎng)格離散模型在復(fù)原模具型腔時(shí)，還需要進(jìn)行復(fù)雜的曲面拼接和曲面光順。曲面拼接和光順計(jì)算不僅費(fèi)時(shí)，而且精度難以保證，很難滿足使用要求。所以如何提高反變形網(wǎng)格模型的曲面重構(gòu)質(zhì)量，是模具設(shè)計(jì)過程中一個(gè)亟待解決的問題。

對網(wǎng)格模型的曲面重構(gòu)，目前多采用數(shù)據(jù)分割技術(shù)將數(shù)據(jù)點(diǎn)分割為多個(gè)四邊界區(qū)域，通過擬合這些四邊界區(qū)域，再對相鄰曲面實(shí)施連續(xù)性拼接。國內(nèi)外研究學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)研究，Ma［2］通過向基曲面投影的方法實(shí)現(xiàn)了散亂點(diǎn)的參數(shù)化。 Eck［3］和 Floater［4］通過建立一個(gè)三維三角網(wǎng)格向二維平面三角網(wǎng)格的映射，在二維平面上給出數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)值，再將其映射回三維三角網(wǎng)格中，解決了空間三角網(wǎng)格的參數(shù)化問題。賀強(qiáng)提出了一種局部曲面逼近的網(wǎng)格光順方法［5］，該方法能有效地去除模型中的噪聲點(diǎn)，光順的結(jié)果能很好地逼近原始模型，但是算法效率較低，而且還需要進(jìn)行大量的后續(xù)處理工作。本文提出了基于葉片設(shè)計(jì)理念的型腔曲面重構(gòu)方法，通過對中弧線的提取和中弧面的光順建模，最終獲得了高質(zhì)量的葉片模具型腔，對渦輪葉片的模具優(yōu)化設(shè)計(jì)和“精確控形”有重大意義。

2 中弧線的提取

葉片的中弧線是葉片設(shè)計(jì)的重要基準(zhǔn)之一，它是葉片由一系列葉身截面內(nèi)切圓圓心定義的一條連續(xù)曲線，合理的葉片中弧線應(yīng)是高次、二階連續(xù)的光滑曲線，中弧線的質(zhì)量直接影響了葉片的造型精度和造型質(zhì)量［6］。

目前常用的中弧線求解方法有解析法、等距線法、等半徑法和等角度法。虞跨海提出了一種求中弧線的解析方法［7］，在這種方法中，用五次多項(xiàng)式表示葉盆曲線和葉背曲線，然后根據(jù)中弧線上數(shù)據(jù)點(diǎn)，為兩條切線的交點(diǎn)建立一個(gè)高次方程組，以葉盆（或葉背）曲線上的一個(gè)已知切點(diǎn)作為起點(diǎn)，利用迭代的方法求解這個(gè)方程組，從而得到葉背（或葉盆）曲線上的對應(yīng)切點(diǎn)和內(nèi)切圓圓心，即中弧線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)。這種方法要求先分離出葉盆曲線和葉背曲線，并且已知其方程為五次多項(xiàng)式曲線，而且該方法涉及到大量高次方程的迭代求解，計(jì)算量較大，因此適用面較窄。張力寧提出一種基于等距線的中弧線求法［8］，這種方法的主要步驟是：首先建立光順的截面線模型，然后在不同的偏置距離上求截面線的精確等距線，構(gòu)成等距線族，對于其中的每一條等距線求自交點(diǎn)，最后對于所有的自交點(diǎn)進(jìn)行排序、插值，形成光順的中弧線。這種方法對截面線的光順性要求比較高，而且自交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和偏置距離密切相關(guān)，自交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不容易控制。因此，本文采用等半徑法進(jìn)行求解。

2.1 截面線的光順處理

反變形的三角網(wǎng)格模型存在著局部的奇異點(diǎn)，使得表面出現(xiàn)畸變，欲獲得高質(zhì)量的中弧線模型，需要預(yù)先得到高質(zhì)量高精度的截面線數(shù)據(jù)，所以前期需要對散亂的型腔網(wǎng)格數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，預(yù)處理分以下兩個(gè)步驟。

2.1.1 剔除壞點(diǎn)

首先對網(wǎng)格模型進(jìn)行切片處理，獲得截面線數(shù)據(jù)點(diǎn)。由于葉片截面線的曲率變化應(yīng)該是比較平緩的，如果某一點(diǎn)的曲率變化比較大，認(rèn)為該點(diǎn)是奇異點(diǎn)，則剔除。本文采用文獻(xiàn)［9］中提到的圓率法來求取數(shù)據(jù)點(diǎn)的離散曲率。在一條封閉的輪廓線上，存在著一系列的輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)，用Pi表示，在數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi處的曲率用Ki表示，Ki是用圓率法來計(jì)算的，計(jì)算公式為:

▲圖1 圓曲率法示意圖

圓率估算法計(jì)算簡單，從離散點(diǎn)分布的幾何位置出發(fā)，直接計(jì)算各點(diǎn)的離散曲率，進(jìn)而判斷離散點(diǎn)列的光順性，挑選出壞點(diǎn)，這是它的優(yōu)點(diǎn)所在。

2.1.2 最小二乘法擬合B樣條曲線B樣條曲線方程定義為：

式中：k 是樣條曲線次數(shù)；di為控制頂點(diǎn)；Ni，k（u）為 k 次B 樣條基函數(shù)，是由節(jié)點(diǎn)矢量 U=（u0，u1，u2，…，un+k+1）決定的k次分段多項(xiàng)式。

▲圖2 擬合前曲率

▲圖3 擬合后曲率

▲圖4 CAD截面線曲率

對比結(jié)果表明，采用本文方法獲得的截面線與葉片設(shè)計(jì)模型的截面線具有相似的曲率分布，可以達(dá)到光順截面線的目的。

2.2 中弧線提取

對于得到的光順截面線，按照曲率分布將葉片的截面線分成4部分，即葉盆、葉背、前緣和后緣，然后利用等半徑法［11］進(jìn)行中弧線的提取，提取的中弧線如圖5、6 所示。

▲圖5 提取中弧線數(shù)據(jù)點(diǎn)

▲圖6 中弧線曲率分析

由圖中可以看出，采用等半徑法獲得的中弧線數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻，中弧線曲率變化比較平緩，說明具有較好的光順性。

3 中弧面建模和型腔復(fù)原

參照葉片設(shè)計(jì)理念，筆者采用以下步驟和方法進(jìn)行型腔的重構(gòu)，如圖7所示。

▲圖7 中弧面型腔重構(gòu)流程

截面線的光順處理保證了所提取中弧線的準(zhǔn)確性和光順性，但是多條光順的中弧線并不能保證所獲模具型腔的光順性。本文采用中弧面的光順建模來解決此問題，以便獲得優(yōu)化的中弧線數(shù)據(jù)，為型腔的光順重構(gòu)奠定基礎(chǔ)。

3.1 中弧面的光順建模

為了解決中弧面的曲面光順性問題，本文采用兩次擬合的方式來實(shí)現(xiàn)中弧面的光順重構(gòu)。對于得到的中弧線數(shù)據(jù)，首先采用插值曲線和曲面放樣進(jìn)行中弧面的初次擬合，擬合的曲面完全經(jīng)過數(shù)據(jù)點(diǎn)，之后對曲面進(jìn)行參數(shù)化離散，得到有序點(diǎn)云數(shù)據(jù)，并對點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行再次擬合。再次擬合采用邊界和點(diǎn)云擬合相結(jié)合的方法。由于非均勻有理B樣條（NURBS）曲面具有很好的兼容性，所以本文采用NURBS進(jìn)行中弧面的擬合。NURBS曲面數(shù)學(xué)模型可以表示為：

式中：Bi，k（u）和 Bj，l（w）是 k 次和 l次 B 樣條基函數(shù)；Wi，j是控制點(diǎn)權(quán)因子；Vi，j控制點(diǎn)列。

擬合后，利用Imageware軟件對中弧面進(jìn)行質(zhì)量分析，Imageware對曲面質(zhì)量提供了全面的分析，包括視覺上的分析和定量分析。這些工具可作為一種手段來識別曲面曲率和高光效果，以發(fā)現(xiàn)曲面瑕疵、偏差和缺陷［12］。實(shí)踐表明，采用本文方法可以得到高質(zhì)量的中弧面模型，如圖8、9所示。

▲圖8 中弧面重構(gòu)偏差分析

▲圖9 中弧面重構(gòu)曲率分析

通過軟件分析可以看出，重構(gòu)中弧面的最大偏差為0.068，其中大部分點(diǎn)區(qū)域的偏差在0.04以下，并且中弧面的高斯曲率變化均勻，具有較好的光順性。

3.2 型腔重構(gòu)

截取中弧面上不同高度處的中弧線，并對中弧線進(jìn)行參數(shù)化離散，中弧線上的點(diǎn)要與厚度模型的數(shù)值一一對應(yīng)，才能得到精確的葉片型線數(shù)據(jù)。所以需要依照提取厚度模型的參數(shù)序列對優(yōu)化的中弧線進(jìn)行離散，以便得到對應(yīng)的優(yōu)化中弧線數(shù)據(jù)點(diǎn)。

葉片造型設(shè)計(jì)過程中，一般通過包絡(luò)線法獲得葉片型線數(shù)據(jù)，包絡(luò)線法的算法原理見文獻(xiàn)［13］，所有這些圓心在中弧線上的內(nèi)切圓的公切點(diǎn)形成的包絡(luò)線就是葉片型線。模型重構(gòu)先將不同截面數(shù)據(jù)擬合為B樣條曲線，然后再由這些曲線擬合成B樣條曲面來實(shí)現(xiàn)。針對獲得的型線數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用三次B樣條曲線進(jìn)行擬合，再用曲面放樣法獲得型腔曲面。

4 實(shí)例分析驗(yàn)證

4.1 葉片CAD（Computer-aided Design）模型的復(fù)原

▲圖10 曲率圖

▲圖11 偏差分析

▲圖12 偏差統(tǒng)計(jì)

▲圖13 曲率分析

▲圖14 偏差分析

▲圖15 偏差統(tǒng)計(jì)

▲圖16 曲率分析

▲圖17 偏差分析

▲圖18 偏差統(tǒng)計(jì)

通過Geomagic軟件分析，從圖10、11、12可以看出，葉片CAD模型的復(fù)原曲面具有很好的光順性，且平均偏差為+0.024/-0.023，標(biāo)準(zhǔn)差0.041，90%以上的點(diǎn)的偏差在0.084以內(nèi)。

4.2 反變形網(wǎng)格模型的型腔重構(gòu)

（1）采用傳統(tǒng)方法對網(wǎng)格模型進(jìn)行重構(gòu)得到的結(jié)果如圖 13、14、15 所示。

通過Geomagic軟件分析表明，傳統(tǒng)的由點(diǎn)到線再到面的方法進(jìn)行模具型腔的曲面重構(gòu)，平均偏差為+0.011/-0.013，標(biāo)準(zhǔn)差0.026，98%以上的點(diǎn)重構(gòu)偏差在0.1 mm以內(nèi)，雖然可以保證較小的重構(gòu)偏差，但是模具表面光順性極差，不能滿足工程應(yīng)用需求。

（2）采用本文提出的方法對模具型腔進(jìn)行重構(gòu)得到的結(jié)果如圖16、17、18所示。

從圖16、17、18可以看出，將該方法用于反變形網(wǎng)格模型的曲面重構(gòu)，可以達(dá)到很好的光順效果，并且有較小的重構(gòu)偏差，其中，通過Geomagic軟件分析可得到平均偏差為+0.034/-0.034，標(biāo)準(zhǔn)差0.047。

對以上2個(gè)實(shí)例分析可以看出，采用文中模型重構(gòu)方法，在保證重構(gòu)曲面光順性的同時(shí)，可以很好地逼近網(wǎng)格模型，97%以上的點(diǎn)重構(gòu)偏差在0.1mm以內(nèi)，重構(gòu)誤差在工程應(yīng)用允許的范圍內(nèi)，可以達(dá)到模具型腔高質(zhì)量重構(gòu)的目的。

5 結(jié)束語

采用本文提出的方法對反變形網(wǎng)格模型進(jìn)行重構(gòu)，可以很好地解決模具型腔光順問題，避免了復(fù)雜的曲面拼接過程及其帶來的不光順現(xiàn)象，所獲得的模具型腔能夠滿足渦輪葉片表面光順性和氣動性要求。不足之處是該方法的智能性不足，很多地方需要人工干涉。

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