劉廣東， 張開(kāi)銀， 范士民

（阜陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，阜陽(yáng) 236037）

一種處理Cole-Cole色散媒質(zhì)的FDTD改進(jìn)方案

劉廣東， 張開(kāi)銀， 范士民

（阜陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，阜陽(yáng) 236037）

對(duì)柯?tīng)枺聽(tīng)枺–ole-Cole）色散媒質(zhì)的時(shí)域有限差分（FDTD）方案嘗試給出改進(jìn)：（1）保留了Cole-Cole經(jīng)驗(yàn)公式中的靜態(tài)電導(dǎo)率項(xiàng)；（2）擴(kuò)展到三維情形；（3）人體乳房組織的模型參數(shù)源于實(shí)驗(yàn)測(cè)量.數(shù)值算例結(jié)果初步證實(shí)改進(jìn)方案的可行性和有效性.改進(jìn)方案適用于模擬更一般柯?tīng)枺聽(tīng)柹⒚劫|(zhì)中的電波傳播.

時(shí)域有限差分方法；色散媒質(zhì)；柯?tīng)枺聽(tīng)柲Ｐ?/p>

0 引言

時(shí)域有限差分（finite-difference time-domain，F(xiàn)DTD）方法首次由Yee于1966年提出［1－2］，近年來(lái)已發(fā)展成為模擬電波傳播的常用工具之一［3－4］.研究表明：生物肌體組織、土壤、巖石、水、等離子體和雷達(dá)吸波材料等諸多媒質(zhì)是頻率相關(guān)的，一般稱(chēng)為色散媒質(zhì)［5－6］.自然地，應(yīng)用FDTD方法處理色散媒質(zhì)的電磁問(wèn)題近幾年來(lái)引起了較多的關(guān)注［7－12］.對(duì)于色散媒質(zhì)，德拜（Debye）、洛倫茲（Lorentz）、德魯（Drude）和柯?tīng)枺聽(tīng)枺–ole-Cole）等著名的模型被廣泛應(yīng)用于描述其電參數(shù)隨頻率的變化關(guān)系［7－8］.為了處理前三種色散媒質(zhì)的電磁問(wèn)題，魏兵等人已提出一種通用的FDTD方案［7］.生物電磁頻譜特性是生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域的基本問(wèn)題.實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果顯示：相比Debye、Lorentz等色散關(guān)系，Cole-Cole經(jīng)驗(yàn)公式最適合建模生物組織的電磁特性［5］.

然而，不同于前三種媒質(zhì)，差分分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是FDTD法模擬Cole-Cole媒質(zhì)電波傳播所面臨的主要困難［9］.對(duì)此，已有兩類(lèi)處理方法：①是Debye近似法，它們需要求解非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，不僅耗時(shí)，而且容易陷入局部最優(yōu)［13］；②是Rekanos等人提出的帕德（Padé）近似法，由分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出一組整數(shù)階輔助微分方程（auxiliary differential equations，ADEs），便于直接實(shí)現(xiàn)FDTD方案［9］.近年來(lái)，Rekanos等人忽略建模Cole-Cole色散媒質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)公式中的靜態(tài)電導(dǎo)率項(xiàng)，在此基礎(chǔ)上，提出了一種FDTD實(shí)現(xiàn)方案，并利用假設(shè)的模型參數(shù)進(jìn)行了一維（one-dimensional，1－D）數(shù)值試驗(yàn)，仿真結(jié)果顯示該方案理論上是可行性的，還指出有望成為建模生物組織電波傳播的一種實(shí)用工具［9］.不過(guò)，筆者認(rèn)為，該方案在推廣應(yīng)用之前，還有不少問(wèn)題值得探討，如：①根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)擬合Cole-Cole模型參數(shù)中，一般含有靜態(tài)電導(dǎo)率項(xiàng)［5］，如何利用這些參數(shù)；②針對(duì)真實(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)的仿真性能；③高維情形.

為了更準(zhǔn)確地表征Cole-Cole色散媒質(zhì)的電磁頻譜特性，本文改進(jìn)Rekanos等人的工作［8－9］，保留Cole-Cole經(jīng)驗(yàn)公式中的靜態(tài)電導(dǎo)率項(xiàng)，得到一種適用于三維（three-dimensional，3－D）單極或多極、無(wú)耗或有耗Cole-Cole色散媒質(zhì)的FDTD一般實(shí)現(xiàn)方案.數(shù)值算例中，利用文獻(xiàn)［3］中的來(lái)自實(shí)驗(yàn)測(cè)量的人體乳房組織Cole-Cole模型參數(shù)，檢驗(yàn)了改進(jìn)方案的性能.

1 輔助微分方程（ADEs）

描述多極Cole-Cole色散媒質(zhì)空間r點(diǎn)電參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式為［5］

這里，第w極的相對(duì)介電常數(shù)之差為Δεw＝εs，w－ε∞．

利用帕德近似，可以將（1）式轉(zhuǎn)換為［14］

其中，系數(shù)A、B的具體形式和計(jì)算方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］和［14］，M和N為Padé多形式的階數(shù).數(shù)值計(jì)算表明：①M(fèi)＝N是最佳選擇（下文統(tǒng)一記為N）；②階數(shù)越高，計(jì)算精度越高，復(fù)雜度也越高；③當(dāng)N＝4時(shí)，已經(jīng)可以獲得滿(mǎn)意的計(jì)算精度，本文也取這一結(jié)果.這樣，（4）式可以簡(jiǎn)化為

（3）式的第w極的電極化強(qiáng)度Pw相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為［14］

對(duì)（6）式應(yīng)用傅里葉（Fourier）逆變換，可以得到一組（W個(gè)）時(shí)域輔助微分方程為

其中，w＝1，2，…，W，Pw為第w極的時(shí)域電極化強(qiáng)度，E為時(shí)域電場(chǎng).這些輔助微分方程由于包含整數(shù)階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，便于通過(guò)有限差分實(shí)現(xiàn)離散化.

2 時(shí)域有限差分（FDTD）方案

設(shè)Cole-Cole色散媒質(zhì)的導(dǎo)磁系數(shù)與頻率無(wú)關(guān)，相對(duì)磁導(dǎo)率為μr.結(jié)合（2）式，可以得到該媒質(zhì)中的時(shí)域麥克斯韋（Maxwell）方程組為

其中，μ0為自由空間磁導(dǎo)率.

為了方便描述離散化時(shí)域矢量F，引入記號(hào)

其中，Δt為時(shí)間步長(zhǎng).這樣，F(xiàn)（適用于Pw和E）的n階偏導(dǎo)數(shù)的中心差分近似為［14］

其中，n＝0，1，2，3，4，ln＝「n／2」表示對(duì)n／2上取整，例如，當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n＝2時(shí)，l2＝1，此時(shí)m可能?。?、0、1三個(gè)值，相應(yīng)的三個(gè)中心差分參數(shù)（、、）分別取1.0、－2.0、1.0，類(lèi)似地，中心差分參數(shù)見(jiàn)表1所示.

假定已知iΔt時(shí)刻的Pw、E和（i＋1／2）Δt時(shí)刻的H，分別差分式（7）、（8），引入輔助變量，經(jīng)過(guò)一些計(jì)算、整理，Cole-Cole色散介質(zhì)中FDTD隨時(shí)間的推進(jìn)步驟可簡(jiǎn)述如下：

1）計(jì)算輔助矢量Φw其中［14］

這里，w＝1，2，…，W，ν＝max｛2｜m｜－1，0｝．

2）更新（i＋1）Δt時(shí)刻的電場(chǎng)E

3）更新（i＋1）Δt時(shí)刻的電極化強(qiáng)度Pw

4）更新（i＋3／2）Δt時(shí)刻的磁場(chǎng)H

總結(jié)起來(lái)，上述FDTD方案的時(shí)間步進(jìn)流程如圖1所示.

3 數(shù)值算例

由于Cole-Cole模型比Debye、Lorentz等模型更適合描述生物組織電參數(shù)的色散特性，對(duì)生物組織的FDTD方案可能應(yīng)用到乳腺癌早期檢測(cè)等微波醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域［8－10，13－14］.本文的數(shù)值算例選擇人體乳房組織來(lái)檢測(cè)上述FDTD改進(jìn)方案的性能.假設(shè)各組織的相對(duì)磁導(dǎo)率為μr＝1．0．乳房各組織的Cole-Cole模型的電參數(shù)取自文獻(xiàn)［5］，它們是通過(guò)擬合實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)獲得，極數(shù)取W＝4，各參數(shù)具體取值如表2所示.

本文仿真的激勵(lì)源選取超寬帶（ultra-wideband，UWB）調(diào)制高斯脈沖［15］其中， ＝100 ps，t0＝4 ，中心頻率fc＝3.2 GHz.激勵(lì)源的波形及頻譜如圖2所示.可見(jiàn)，該激勵(lì)源主要包含了10 MHz～10 GHz的頻譜范圍.在此范圍內(nèi)，各乳房組織的電參數(shù)隨頻率的變化關(guān)系如圖3所示.可見(jiàn)，乳房各組織是頻率相關(guān)的，色散效應(yīng)對(duì)FDTD建模的精度有重要影響，不同生物組織的色散特性不盡相同.

3.1 一維（1－D）算例

為了檢驗(yàn)上述FDTD方案仿真電磁波在一維（1－D）真實(shí)Cole-Cole媒質(zhì)中的傳播，假設(shè)有均勻脂類(lèi)乳房組織充滿(mǎn)z≥0的空間.

其中，f、f分別為頻率的上下限.在10 MHz～10 GHz的寬頻下，圖4分別給出、的實(shí)部和負(fù)虛部的對(duì)比

HL情況，其相對(duì)均方誤差e（）＝2.1%．可見(jiàn)，通過(guò)Padé近似來(lái)克服差分分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的困難是合理的.

研究發(fā)現(xiàn)：早期乳腺腫瘤尺寸一般在毫米（mm）數(shù)量級(jí)［15］，這里取FDTD網(wǎng)格尺寸Δz＝1 mm，時(shí)間步長(zhǎng)Δt＝Δz／（2c0），c0為自由空間光速.采用（16）式所示的調(diào)制高斯脈沖激勵(lì)沿z軸正方向傳播且沿x方向極化的平面波.仿真區(qū)域右側(cè)采用最簡(jiǎn)單的吸收邊界條件，即Ex（zmax，t＋Δt）＝Ex（zmax－Δz，t）．

仿真期間，分別記下Cole-Cole媒質(zhì)中任意相鄰兩個(gè)網(wǎng)格的時(shí)域電場(chǎng)Ex（z，t）和Ex（z＋Δz，t）．仿真結(jié)束后，接著處理這些時(shí)域電場(chǎng)：①通過(guò)傅里葉變換獲得相應(yīng)頻域電場(chǎng)（z，ω）和（z＋Δz，ω）；②分別按照文獻(xiàn)［9］的式（34）和（35）計(jì)算復(fù)波數(shù)γ（ω）的實(shí)部γRe和虛部γIm；③根據(jù)下式計(jì)算復(fù)相對(duì)介電常數(shù)的FDTD估計(jì)值

3.2 三維（3－D）算例

為了驗(yàn)證上述方案的高維性能，在三維（3－D）直角坐標(biāo)系下，取如圖6所示的簡(jiǎn)單癌變半球狀乳房模型［15］，其中乳房半球半徑50 mm，皮膚層厚2 mm，胸壁厚30 mm，兩個(gè)球狀腫瘤1和2的半徑均為3 mm，腫瘤1的中心坐標(biāo)分別為x1＝50 mm、y1＝50 mm和z1＝50 mm，腫瘤2的中心坐標(biāo)分別為x2＝70 mm、y2＝70 mm和z2＝50 mm.

發(fā)射陣列天線取最簡(jiǎn)單的情形，只有一根天線元，放置于乳房頂部正上方5 mm.接收天線陣列對(duì)稱(chēng)放置在乳房中部、平行于胸壁的圓周上，由前后左右4個(gè)天線元組成，各天線元距離乳房皮膚層5 mm.產(chǎn)生的后向散射信號(hào)被它們同時(shí)接收.本文中，忽略了對(duì)各天線元具體形狀的建模，即視為發(fā)射和接收點(diǎn).為了抑制皮膚層的反射，設(shè)乳房模型浸在電參數(shù)為εr＝9.0和σ＝0.0 S·m－1的非色散匹配液體中［15］.

FDTD網(wǎng)格尺寸取為Δ＝1 mm×1 mm×1 mm，時(shí)間采樣步長(zhǎng)為Δt＝Δ／（2·c0）．由于計(jì)算區(qū)域的最外側(cè)是常規(guī)的非色散媒質(zhì)，主FDTD區(qū)域周?chē)?層分裂場(chǎng)完美匹配層（perfectly matched layer，PML）吸收邊界截?cái)啵?－2］.微波輻照總時(shí)間設(shè)為3 ns，按照?qǐng)D1所示的計(jì)算流程，仿真并存儲(chǔ)接4個(gè)接收天線的電場(chǎng)分布.其中，各天線記錄的0.7 ns～1.7 ns時(shí)間段的電場(chǎng)分量Ez如圖7所示.

由圖7可見(jiàn)，來(lái)自皮膚層的散射場(chǎng)的幅度明顯強(qiáng)于腫瘤散射幅度，這嚴(yán)重抑制了腫瘤信息的獲取，為此，再次仿真了無(wú)腫瘤存在時(shí)的電場(chǎng)分布，通過(guò)作差法［16］提取腫瘤的0.7 ns～3.0 ns時(shí)間段和1.4 ns～1.5 ns時(shí)間段的電場(chǎng)分量分別如圖8和圖9所示.相比之下，較淺層的腫瘤1的散射場(chǎng)到達(dá)較早，且幅度較強(qiáng)，此外，還存在多重散射.

另外，與幾何模型相對(duì)應(yīng)，在第二個(gè)納秒瞬間，通過(guò)腫瘤1和2中心的x-y橫截面、通過(guò)腫瘤1中心的x-z橫截面和通過(guò)腫瘤2中心的y-z橫截面上歸一化的電場(chǎng)分量Ez幅度分布的快照分別如圖10～圖12所示.為了便于比較，圖中附加的黑色圓周示意真實(shí)腫瘤的輪廓.

綜合以上仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)：1）盡管乳房各組織是有耗媒質(zhì)，若能有效抑制皮膚層的強(qiáng)散射（例如使用匹配液體［15］），來(lái)自腫瘤的微弱散射信號(hào)仍然可被檢測(cè)；2）借助適當(dāng)?shù)乃惴ǎɡ绻步钩上瘢?6］），腫瘤的尺寸、位置等信息可以被提取；3）本文的FDTD改進(jìn)方案對(duì)模擬3－D乳房組織中的電波傳播是可行的.

4 結(jié)論

改進(jìn)了Rekanos等人的FDTD方案.改進(jìn)后的方案適用于模擬一般的Cole-Cole色散媒質(zhì)中的電波傳播，媒質(zhì)可以是一維或多維的，可以是單極或多極的，可以是無(wú)耗或有耗的.一維和三維的初步數(shù)值結(jié)果顯示：在UWB的頻譜范圍，該方案具有易實(shí)現(xiàn)和較高的數(shù)值精度.這為應(yīng)用到微波醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域奠定了基礎(chǔ).當(dāng)然，該方案的可行性和魯棒性還需經(jīng)歷高級(jí)模型、其它媒質(zhì)、噪聲影響等因素的檢驗(yàn)，此類(lèi)問(wèn)題將另文討論.

［1］Taflove A，Hagness S C.Computational electrodynamics：The finite-difference time-domain method［M］.3rd ed.Artech House Press，2005.

［2］Ge Debiao，Yan Yubo.Finite-difference time-domain method for electromagnetic waves［M］.3rd ed.Xi'an：Publishing House of Xi'an University of Electronic Science and Technology，2011.

［3］Zhao Pengcheng，Zhou Haijing，Tang Tao，Liao Cheng.FDTD combined with DFT for analysis of broadband high-power microwave propagation in air［J］.Chinese Journal of Computational Physics，2011，28（4）：561－568.

［4］Liu Lina，Zhu Feng，Xu Changwei，Niu Dapeng.Periodic symmetric R-FDTD method and reducing optimization［J］.Chinese Journal of Computational Physics，2012，29（6）：853－858.

［5］Gabriel S，Lau R W，Gabriel C.The dielectric properties of biological tissues：III.Parametric models for the dielectric spectrum of tissues［J］.Phys Med Biol，1996，41（11）：2271－2293.

［6］Lazebnik M，Okoniewski M，Booske J H，Hagness S C.Highly accurate Debye models for normal and malignant breast tissue dielectric properties at microwave frequencies［J］.IEEE Microw Wireless Compon Lett，2007，17（12）：822－824.

［7］Wei Bing，Ge Debiao，Wang Fei.A general method for finite difference time domain modeling of wave propagation in frequency-dispersive media［J］.Acta Phys Sin，2008，57（10）：6290－6297.

［8］Liu Guangdong，Zhang Yerong.Time-domain inverse scattering problem for two-dimensional frequency-dispersive lossy media ［J］.Acta Phys Sin，2010，59（10）：6969－6979.

［9］Rekanos I T，Papadopoulos T G.An auxiliary differential equation method for FDTD modeling of wave propagation in Cole-Cole dispersive media［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2010，58（11）：3666－3674.

［10］Liu Guangdong，Zhang Yerong.An approach to the time-domain inverse scattering problem for the stratified frequencydispersive lossy media［J］.Acta Eletronica Sinica，2011，39（12）：2856－2862.

［11］Al-Jabr A A，Alsunaidi A M，Khee T，Ooi S B.A simple FDTD algorithm for simulating EM-wave propagation in general dispersive anisotropic material［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2013，61（3）：1321－1326.

［12］Ha S G，Cho J，Choi J，Kim H，Jung K Y.FDTD dispersive modeling of human tissues based on quadratic complex rational function［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2013，61（2）：996－999.

［13］Guo Bin，Li Jian，Zmuda H.A new FDTD formulation for wave propagation in biological medium with Cole-Cole model［J］. IEEE Microw Wireless Compon Lett，2006，16（12）：633－635.

［14］Rekanos I T，Papadopoulos T G.FDTD modeling of wave propagation in Cole-Cole media with multiple relaxation times［J］. IEEE Trans Antennas Wireless Propag Lett，2010，9：67－69.

［15］Liu Guangdong，Zhang Yerong.Three-dimensional microwave tomography imaging method in the time domain for detection of breast cancer［J］.Chinese Journal of Radio Science，2010，25（6）：1175－1181.

［16］Liu Guangdong，Zhang Yerong.Three-dimensional microwave-induced thermo-acoustic imaging for breast cancer detection ［J］.Acta Phys Sin，2011，60（7）：074303.

A Modified FDTD Scheme for Wave Propagation in General Cole-Cole Dispersive Media

LIU Guangdong，ZHANG Kaiyin，F(xiàn)AN Shimin
（College of Physical and Electronic Science，F(xiàn)uyang Teachers College，F(xiàn)uyang 236037，China）

For finite-difference time-domain（FDTD）scheme in simulation of electromagnetic wave propagation in Cole-Cole dispersive media.Several improvements are made：（1）preserving a term with static ionic conductivity in Cole-Cole model，which is fit for real Cole-Cole media；（2）extending to three-dimensional（3-D）case；（3）selecting parameters of human breast tissues from experiment.Feasibility and validity of the scheme is preliminarily demonstrated by numerical examples.The modified scheme is propitious to wave propagation in general Cole-Cole dispersive media.

finite-difference time-domain（FDTD）method；frequency-dependent media；Cole-Cole model

date： 2013－06－29；Revised date： 2013－10－11

O441.4

A

1001-246X（2014）03-0363-09

2013－06－29；

2013－10－11

國(guó)家自然科學(xué)基金（61071022，51271059）、安徽省自然科學(xué)基金（1308085MA13）、安徽省科技計(jì)劃項(xiàng)目（12010302080）和阜陽(yáng)師范學(xué)院重點(diǎn)基金（2011FSKJ01ZD）資助項(xiàng)目

劉廣東（1972－），男，江蘇灌云，博士，副教授，研究方向?yàn)殡姶派⑸浜湍嫔⑸洌珽-mail：liu_guang_dong＠126.com