李高峰

（唐山學(xué)院唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北唐山 063000）

非線性電容RLC串聯(lián)電路的主共振研究

李高峰

（唐山學(xué)院唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北唐山 063000）

研究非線性電容RLC串聯(lián)電路，應(yīng)用多尺度法，得到非線性振動(dòng)系統(tǒng)主共振的一次近似解并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分析電阻、電感、電容和電動(dòng)勢(shì)對(duì)主共振幅頻響應(yīng)的影響.結(jié)果表明：RLC串聯(lián)電路的主共振響應(yīng)有跳躍和滯后現(xiàn)象；隨著電動(dòng)勢(shì)的增加，主共振的振幅和共振區(qū)增大；隨著電阻的增大，主共振的振幅和共振區(qū)減小.

RLC電路；非線性電容；多尺度法；主共振；非線性振動(dòng)

0 引言

非線性電抗，如變?nèi)荻O管，在許多領(lǐng)域的電氣工程使用范圍廣泛.在設(shè)計(jì)參數(shù)放大器、上頻器、混音器、低功率微波振蕩器、電子調(diào)諧裝置等電路時(shí)，非線性電容可作為其中的一部分.含有非線性元件的電路是非線性電路.元件性質(zhì)（R的伏安特性、L的韋安特性、C的庫(kù)伏特性）不再是線性關(guān)系，即參數(shù)不再是常量的元件成為非線性元件.非線性元件電路是指由非線性元件構(gòu)成的電路，如線圈、電容等夠成的LR，CR，LC，LCR電路等，這些可構(gòu)成微分電路或積分電路，這就是非線性電路.非線性電路有電氣設(shè)備中的變壓器線圈、電子管振蕩器、電子控制技術(shù)中的整流、解調(diào)、鐵磁諧振電路等.電工中常利用某些元器件的非線性.例如避雷器的非線性特性表現(xiàn)在高電壓下電阻值變小，這種性質(zhì)被用來保護(hù)雷電環(huán)境下的電工設(shè)備；鐵心線圈的非線性由磁場(chǎng)的磁飽和引起，這種性質(zhì)被用來制造電流互感器.音頻信號(hào)發(fā)生器的自激振蕩電路中因有放大器這一非線性元件而成為非線性電路.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)RLC（resistance inductance capacitance）電路的非線性特性進(jìn)行了研究.詹士昌［1］用普通鎢絲燈泡、變壓器線圈和電容組成的非線性RLC串聯(lián)鐵磁諧振電路，可以演示非線性系統(tǒng)常見的單穩(wěn)態(tài)、雙穩(wěn)態(tài)、狀態(tài)的自動(dòng)跳變（閃滅）等現(xiàn)象.這類現(xiàn)象的發(fā)生是由于兩種非線性元件（鐵芯線圈、燈絲）與線性電容器聯(lián)合作用的結(jié)果.王小艷［2］用數(shù)值方法對(duì)非線性RLC串并聯(lián)電路的暫態(tài)過程進(jìn)行了研究，得到了非線性RLC電路的一些普遍特征.楊志安等［3－6］研究了電阻和電感非線性RLC電路耦合系統(tǒng)和RLC串聯(lián)電路與微梁耦合系統(tǒng)的非線性振動(dòng)，應(yīng)用拉格朗日－麥克斯韋方程建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)非線性振動(dòng)的多尺度法，得到系統(tǒng)滿足共振條件的一次近似解以及對(duì)應(yīng)的定常解.崔一輝等［7］應(yīng)用拉格朗日－麥克斯韋方程建立起一個(gè)受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)的RLC電路彈簧耦合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，分別用龍格庫(kù)塔法和級(jí)數(shù)法計(jì)算了在無外激勵(lì)的情況下，有阻尼和無阻尼時(shí)系統(tǒng)分別對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng).鄒海勇［8］利用MATLAB設(shè)計(jì)了基于Simulink的RLC電路分析與仿真方法，展示了動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果.常秀芳等［9］從分析實(shí)際問題入手，依據(jù)閉合電路定律，從中建立RLC振蕩電路的數(shù)學(xué)模型.Blankenstein［10］利用混合勢(shì)函數(shù)描述考慮不受約束的控制電壓或電流源非線性RLC電路動(dòng)力學(xué)問題.Chakravarthy［11］研究電路是否產(chǎn)生共振與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān).Oksasoglu等［12］研究在弱非線性激勵(lì)下，適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)能使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.Homsup等［13］利用Newton-Raphson分析，在無約束條件下，Brayton-Morses's混合電動(dòng)勢(shì)存在非線性方程解法.

國(guó)內(nèi)的學(xué)者在非線性RLC串聯(lián)鐵磁諧振電路、電阻和電感非線性RLC電路、RLC串聯(lián)電路與微梁耦合系統(tǒng)、Matlab軟件仿真RLC電路等方面有研究.國(guó)外的學(xué)者在RLC電路的穩(wěn)態(tài)模擬、電源非線性、混沌現(xiàn)象等方面有研究.根據(jù)文獻(xiàn)分析國(guó)內(nèi)外關(guān)于RLC串聯(lián)電路的研究均未涉及非線性電容的動(dòng)力學(xué)特性.根據(jù)電荷與電壓的函數(shù)關(guān)系，有電壓控制型（電荷是電壓的單值函數(shù)，簡(jiǎn)稱壓控制）、電荷控制型（電壓是電荷的單值函數(shù)，簡(jiǎn)稱荷控制）.本文的非線性電容是電荷控制型，以非線性電容RLC串聯(lián)電路振動(dòng)方程為基礎(chǔ)，應(yīng)用多尺度法研究電路的主共振［14］問題.

1 RLC串聯(lián)電路的振動(dòng)方程

圖1給出RLC串聯(lián)電路，電阻R、電感L、電容C和電源Em串接，具有阻尼力和電場(chǎng)力作用．電路中的電容是非線性電容，庫(kù)伏特性為：u＝q／C0＋k2q2＋k3q3＋k4q4＋…．其中，C0為線性電容，k2、k3為非線性電容的電荷系數(shù).由此可知，RLC串聯(lián)電路是非線性系統(tǒng).

拉格朗日方法是用廣義坐標(biāo)，從能量的觀點(diǎn)研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題.圖1電路取電荷q為廣義坐標(biāo)，則電流i＝，系統(tǒng)的磁能為Wm＝／2．庫(kù)伏特性僅取3次方，由此可得電容器的電能We＝C0u2／2，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)La＝Wm－We．

耗散函數(shù)為Fe＝／2，非保守的廣義力為E＝Emcos（ωt）．

進(jìn)一步得

對(duì)式（1）進(jìn)行處理，可得著名的Duffing方程為

2 主共振理論分析［15］

2.1 主共振的平均方程

所謂主共振是指外激振頻率ω接近派生系統(tǒng)固有頻率ω0的共振，如果系統(tǒng)是線性小阻尼系統(tǒng)，很小的激振幅值就發(fā)出強(qiáng)烈的共振．這時(shí)的阻尼力、外激勵(lì)、非線性力與慣性力和線性力相比是小量，所以在它們前面冠以小參數(shù)ε，同時(shí)引入主共振調(diào)諧參數(shù)σ由ω＝ω0＋εσ，σ＝0（1）確定．由式（2）得

首先引入時(shí)間尺度T0＝t，T1＝εt，ε是小參數(shù)，則有微分算子

其中Dn＝?／?Tn，n＝0，1，…．

設(shè)主共振的一次近似解為

將式（4）代入式（3）并利用導(dǎo)算子，比較ε的同次冪的系數(shù)，得到一組線性偏微分方程

問她為什么這么拼命，她說：“保障百姓的用藥安全，是中藥中心每一個(gè)工作人員的職責(zé)所在，要用行動(dòng)詮釋全心全意為人民服務(wù)的宗旨?！?/p>

方程（5）的解為

式中cc為共軛項(xiàng)，j是單位復(fù)數(shù).且

將式（8）代入式（6）得

由此得到消除永年項(xiàng)的條件為

將式（8）代入式（10），分離實(shí)虛部，令（σT1－β）＝φ，可得

令D1a＝0，aD1φ＝0，兩式平方相加得到系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程

相應(yīng)的一次近似解為

將原參數(shù)代入系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程可得關(guān)于ω的實(shí)系數(shù)二次代數(shù)方程，對(duì)于0＜a≤f／（2ω0μ），可解出一對(duì)實(shí)根

主共振的峰值大小總是

與非線性因素?zé)o關(guān)，但出現(xiàn)峰值的激勵(lì)頻率則與非線性因素有關(guān)

2.2 定常解的穩(wěn)定性

主共振定常解的穩(wěn)定性是自治系統(tǒng)在定常解在（a，φ）（即奇點(diǎn)）處的穩(wěn)定性.因此采用Routh-Hurwitz判據(jù)來分析主共振的穩(wěn)定性.

將方程（11）在（a，φ）處線性化，形成關(guān)于擾動(dòng)量Δa，Δφ的自治微分方程，消去φ，得到

其特征方程為

由于μ＞0，由條件Routh-Hurwitz判據(jù)可得定常解穩(wěn)定的條件為

3 主共振數(shù)值分析

利用式（12）可以計(jì)算系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)曲線，根據(jù)式（19）Routh-Hurwitz判據(jù)判定幅頻響應(yīng)穩(wěn)定性，并將穩(wěn)定和不穩(wěn)定幅值分別用實(shí)線和虛線表示.在下面的數(shù)值計(jì)算中取以下參數(shù)：R＝0.05 Ω，Em＝0.000 1 V，L＝0.016 H，C0＝0.000 1 F.

圖2（a）為三種不同電動(dòng)勢(shì)Em影響下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，由圖2（a）可知隨著電動(dòng)勢(shì)Em的增加，系統(tǒng)的非線性跳躍越明顯，且系統(tǒng)的共振區(qū)間及共振幅值均增大，由于式amax＝f／（2ω0μ）和f＝Em／L可知最大幅值與電動(dòng)勢(shì)是成正比的關(guān)系.圖2（b）三種不同電阻R影響下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，由圖2（b）知隨著電阻R的增加，系統(tǒng)的非線性跳躍減弱，系統(tǒng)的共振幅值減小.圖2（c）三種不同電感L影響下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，由圖2（c）可知隨著電感L增加，系統(tǒng)的共振區(qū)間向左偏移，并明顯的減小.圖2（d）三種不同電容C0影響下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，由圖2（d）可知隨著電容C0增加，系統(tǒng)的共振區(qū)間向左偏移.由此可知，作為供能的電動(dòng)勢(shì)和耗能的電阻對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)幅值及共振區(qū)間影響比較大；而電容、電感作為儲(chǔ)能原件，其數(shù)值的變化對(duì)系統(tǒng)共振區(qū)間移動(dòng)有影響，但對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)幅值影響不大.由圖2可知幅頻響應(yīng)曲線具有的跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象，是典型的非線性曲線.圖3為在不同調(diào)諧值σ作用下，系統(tǒng)隨電動(dòng)勢(shì)Em改變的振動(dòng)響應(yīng)曲線.在系統(tǒng)電動(dòng)勢(shì)Em小于4×10－4V時(shí)，調(diào)諧參數(shù)越大，系統(tǒng)振幅波動(dòng)越強(qiáng)，當(dāng)電動(dòng)勢(shì)超過4×10－4V之后，系統(tǒng)振動(dòng)幅值趨于穩(wěn)定增加.圖4為不同調(diào)諧值σ作用下，系統(tǒng)隨電感L改變的振動(dòng)響應(yīng)曲線.當(dāng)調(diào)諧值增加，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值滯后越明顯，當(dāng)電感值超過0.28 H時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)幅值影響減小，并趨于穩(wěn)定.圖5為不同調(diào)諧值σ作用下，系統(tǒng)隨電荷系數(shù)k3改變的振動(dòng)響應(yīng)曲線.隨著調(diào)諧值的增大，在電荷系數(shù)影響下系統(tǒng)的振幅滯后現(xiàn)象越推遲，但隨著電荷系數(shù)的增加系統(tǒng)振動(dòng)幅值也逐漸減弱.圖6為不同調(diào)諧值σ作用下，隨系統(tǒng)電容C的改變下振動(dòng)響應(yīng)曲線.調(diào)諧值越大在電容值小于2.5×10－4F時(shí)，跳躍性越強(qiáng)，當(dāng)電容值超過2.5×10－4F系統(tǒng)振動(dòng)幅值趨于穩(wěn)定，且調(diào)諧參數(shù)越大系統(tǒng)振動(dòng)幅值越低.圖7為在不同調(diào)諧值σ作用下，系統(tǒng)隨電阻R改變的振動(dòng)響應(yīng)曲線，當(dāng)R＜0.1 Ω，調(diào)諧值越大系統(tǒng)的振動(dòng)幅值存在條約和滯后現(xiàn)象越明顯；當(dāng)R＞0.1 Ω，當(dāng)電阻增大時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)幅值減弱.

由圖3至圖7分析可知，振幅與各個(gè)參數(shù)之間的響應(yīng)曲線，在滿足一定的條件即σ大于某值時(shí)，也具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象，這在非線性系統(tǒng)是很少見的.這說明RLC串聯(lián)電路具有很完備的非線性，電阻R、電感L、電容C和電源的電動(dòng)勢(shì)Em都可以是非線性的.如楊志安、崔一輝就對(duì)電感非線性RLC電路彈簧耦合系統(tǒng)、電阻電感非線性RLC電路彈簧耦合系統(tǒng)進(jìn)行研究的成果得到很好的驗(yàn)證.

4 結(jié)論

建立了RLC串聯(lián)電路振動(dòng)方程，利用多尺度法進(jìn)行定量分析得到系統(tǒng)定常解，分析電動(dòng)勢(shì)、電阻、電感、電容等參數(shù)的變化影響，得到幅頻響應(yīng)曲線.RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)主共振響應(yīng)曲線具有跳躍和滯后現(xiàn)象.電阻對(duì)主共振振幅有抑制作用.系統(tǒng)振幅和共振區(qū)間隨著電動(dòng)勢(shì)的增加均明顯增大.電感、電容作為儲(chǔ)能原件，其數(shù)值的變化可改變主共振系統(tǒng)的共振區(qū)間位置.振幅與各個(gè)參數(shù)之間的響應(yīng)曲線，在滿足一定的條件時(shí)，也具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象，說明RLC串聯(lián)電路中電阻R、電感L、電容C和電源Em都是可以是非線性的，這在已經(jīng)取得的研究成果中得到很好的驗(yàn)證.

［1］詹士昌，梁方束.RLC電路非線性現(xiàn)象產(chǎn)生機(jī)制的研究［J］.杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，1（1）：31－33，38.

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［8］鄒海勇.基于Simulink的RLC電路分析與仿真［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，25（12）：29－30.

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［15］Nayfeh A H，Mook D T.Nonlinear oscillation［M］.New York：Wiley-Interscience，1979.

Primary Resonance Analysis of RLC Series Circuit with Nonlinear Capacitance

LI Gaofeng
（Tangshan College and Tangshan Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering，Tangshan 063000，China）

For RLC series circuit with nonlinear capacitance，first approximate solution of primary resonance of nonlinear vibration system is obtained with method of multiple scales for nonlinear oscillations.Primary resonance responses of RLC series circuit show jump and hysteresis.With increasing of electromotive force primary resonance amplitude and resonant region increase.With increasing of resistance primary resonance amplitude and resonant region decrease.

RLC circuit；nonlinear capacitance；multiple scales；primary resonance；nonlinear resonance

date：2013－05－25；Revised date：2013－09－13

O321

A

1001-246X（2014）03-0351-06

2013－05－25；

2013－09－13

河北省自然基金（A2009000997）和2013唐山市科學(xué)技術(shù)計(jì)劃（1313021106）資助項(xiàng)目

李高峰（1977－），女，碩士，講師，主要從事非線性動(dòng)力學(xué)研究，E-mail：ligaofeng0315＠163.com