黃樂華

(韶關(guān)學(xué)院韶州師范分院數(shù)學(xué)系，廣東韶關(guān) 512026)

當(dāng)前我國(guó)高等數(shù)學(xué)教育存在的問題，確實(shí)給學(xué)生主體活力帶來(lái)障礙，對(duì)學(xué)生潛力發(fā)揮形成束縛.“如何釋放學(xué)生的活力、開發(fā)學(xué)生的潛力”已成為深化數(shù)學(xué)教育改革的重點(diǎn)、難點(diǎn).在我國(guó)，自1994年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽舉辦以來(lái)，競(jìng)賽的規(guī)模以年均增長(zhǎng)25%以上的速度蓬勃發(fā)展:從1994年196個(gè)學(xué)校的867支參賽隊(duì)，到2013年1326個(gè)學(xué)校的23193支參賽隊(duì)，參賽隊(duì)壯大了近27倍.光明日?qǐng)?bào)在《數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽實(shí)現(xiàn)了什么》[1]一文從“提高學(xué)生綜合素質(zhì)”、“推動(dòng)高校教育改革”、“數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的國(guó)際效應(yīng)”等方面介紹了數(shù)學(xué)建模.

作為一項(xiàng)改革實(shí)踐，數(shù)學(xué)建模出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，根本目的是提高學(xué)生的綜合素質(zhì).作為一種成功的教學(xué)實(shí)踐，數(shù)學(xué)建模以重點(diǎn)突破、整體推進(jìn)的方式推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教育改革，它究竟在提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量方面有何作為，又是如何起到“一子落而滿盤活”的效應(yīng)的?下面筆者從以下三個(gè)方面對(duì)此進(jìn)行闡述.

1 數(shù)學(xué)建模以數(shù)學(xué)文化為支撐，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的內(nèi)生動(dòng)力和長(zhǎng)遠(yuǎn)后勁，讓學(xué)生發(fā)展的空間更廣

數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育.目前教育中存在一種比較普遍的傾向，就是人為地將知識(shí)、能力和素質(zhì)分離、隔裂甚至對(duì)立起來(lái)，而不是將它們看成緊密聯(lián)系的整體，以至于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)生動(dòng)力不足，也缺乏長(zhǎng)遠(yuǎn)后勁.數(shù)學(xué)在多大程度上落實(shí)素質(zhì)教育的要求，取決于學(xué)習(xí)知識(shí)、培養(yǎng)能力和提高素質(zhì)這三者之間的平衡，把握好它們之間的度著力點(diǎn)在于數(shù)學(xué)文化.

大家知道，數(shù)學(xué)歷來(lái)是人類文化的一個(gè)重要組成部分，一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量.那么數(shù)學(xué)究竟是通過什么途徑形成文化力的呢?搞清楚這個(gè)問題才能以正確的方式將數(shù)學(xué)文化的核心價(jià)值觀轉(zhuǎn)化為學(xué)生的自覺追求，也是把握學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定力的關(guān)鍵所在.

數(shù)學(xué)文化的核心價(jià)值觀是公理演繹體系.公理演繹體系的發(fā)明者是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德，他在《幾何原本》中將概念、公理和定理用邏輯關(guān)系整合在一起，成為一種層層推進(jìn)、步步關(guān)聯(lián)的理論體系.后來(lái)，牛頓用自己發(fā)明的微積分方法詳盡描述了物體的運(yùn)動(dòng)，并把由此獲得的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與若干基本物理與力學(xué)概念結(jié)合在一起，構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理化系統(tǒng)，幾乎把當(dāng)時(shí)已知的自然知識(shí)全部囊括其中.伴隨著經(jīng)典物理學(xué)的成功，公理演繹體系成為科學(xué)理論的“標(biāo)準(zhǔn)模型”，成為強(qiáng)有力的理論分析工具，也成為一種幾乎無(wú)堅(jiān)不摧的科學(xué)方法.

公理化演繹突出地表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的思考方式.在人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過程中，數(shù)學(xué)作為一種精確的語(yǔ)言和一個(gè)有力的工具，一直發(fā)揮其關(guān)鍵性、甚至決定性的作用.數(shù)學(xué)之所以起著極其重要的作用，非常關(guān)鍵的一點(diǎn)就是，“數(shù)學(xué)在科學(xué)中的一個(gè)關(guān)鍵作用就是創(chuàng)建能容許人們對(duì)事實(shí)上是遠(yuǎn)為混亂的東西形成概念的理想化”[2]，運(yùn)用數(shù)學(xué)特有的符號(hào)語(yǔ)言去把實(shí)在抽象為理想化的東西，也就是說(shuō)用凝練、準(zhǔn)確的語(yǔ)言把所要研究的問題描述成數(shù)學(xué)問題.更為重要的是，“數(shù)學(xué)的思考方式有著根本的重要性.簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識(shí)提供方法.一旦數(shù)學(xué)用于技術(shù)，它就能產(chǎn)生系統(tǒng)的、可再現(xiàn)的并能傳授的知識(shí).分析、設(shè)計(jì)、建模、模擬和應(yīng)用便會(huì)變成可能的高效的富有結(jié)構(gòu)的活動(dòng)”[3]，同時(shí)使得“數(shù)學(xué)除了鍛煉敏銳的理解力、發(fā)現(xiàn)真理以外，它還有另一個(gè)訓(xùn)練全面考察科學(xué)系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能”[4].因此，數(shù)學(xué)的核心價(jià)值觀表現(xiàn)在極其重要的數(shù)學(xué)思考方式，并通過這種方式實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的強(qiáng)大文化力.

數(shù)學(xué)模型以數(shù)學(xué)文化為支撐，本質(zhì)要求理論與實(shí)際相互印證.通過數(shù)學(xué)建模，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科、數(shù)學(xué)和文化的高度融合，并通過數(shù)學(xué)模型使得數(shù)學(xué)成為改造、理解、描繪、創(chuàng)造現(xiàn)實(shí)世界的一種力量.學(xué)生學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)模型有利于打通數(shù)學(xué)通向文化的通道，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)將起到固本培元的作用.在數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生接觸的是生動(dòng)的、充滿活力的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)歷的是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，感悟的是數(shù)學(xué)的理性精神，收獲的是知識(shí)、能力及素質(zhì)的迅速成長(zhǎng)，看到的是數(shù)學(xué)的廣闊空間，影響的是發(fā)展空間更廣.

2 數(shù)學(xué)建模以數(shù)學(xué)實(shí)踐為著力點(diǎn)，推動(dòng)學(xué)生養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)習(xí)作風(fēng)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力更強(qiáng)

從辯證唯物觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)作為對(duì)客觀世界的一種認(rèn)識(shí)，遵循著實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐的認(rèn)識(shí)過程，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)發(fā)展的根本動(dòng)力或源泉是實(shí)踐.數(shù)學(xué)家馮·諾意曼認(rèn)為，“數(shù)學(xué)思想來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)，我想這一點(diǎn)是比較接近真理的，真理實(shí)在太復(fù)雜了，對(duì)之只能說(shuō)接近，別的都不能說(shuō)，……換句話說(shuō)，在距離經(jīng)驗(yàn)本源很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方，或者在多次‘抽象的’近親繁殖之后，一門數(shù)學(xué)學(xué)科就有退化的危險(xiǎn).……總之，每當(dāng)?shù)搅诉@種地步時(shí)，在我看來(lái)，唯一的藥方就是為重獲青春而返本求源:重新注入多少直接來(lái)自經(jīng)驗(yàn)的思想.我相信，這是使題材保持清新與活力的必要條件，即使將來(lái)，這也是同樣正確的.”[5]數(shù)學(xué)教育應(yīng)返璞歸真，真實(shí)反映數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的原本過程，讓數(shù)學(xué)回歸經(jīng)驗(yàn)、回到具體的情形，在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用科學(xué)之間建立有機(jī)的結(jié)合，在抽象的共性和豐富多彩的個(gè)性之間建立牢固的平衡，這是數(shù)學(xué)獲得源源不斷的發(fā)展動(dòng)力的所在.

從教育角度看，數(shù)學(xué)教學(xué)正處于嚴(yán)重的“脫離實(shí)際”的危險(xiǎn)之中，直接對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力構(gòu)成嚴(yán)重的威脅.李大潛院士[6]表示，“數(shù)學(xué)原來(lái)的教學(xué)是有缺陷的.過去數(shù)學(xué)教學(xué)有天衣無(wú)縫的數(shù)學(xué)體系，看起來(lái)很美，但忽略了來(lái)龍去脈，成為一個(gè)封閉的體系”.“美的缺陷”只看到數(shù)學(xué)抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问教卣鳎瑓s割裂了數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，使得學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是定義、規(guī)則和演繹法的游戲，以至于學(xué)生不會(huì)把具體問題數(shù)學(xué)化，即便要求他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決哪怕十分簡(jiǎn)單的實(shí)際問題也會(huì)手足無(wú)措、一籌莫展，既沒有動(dòng)力也沒有目標(biāo).教學(xué)應(yīng)徹底改變這種僵化狀態(tài)，可靠的、甚至唯一的路徑就是順勢(shì)而為，著力反映生動(dòng)的數(shù)學(xué)實(shí)踐.在此基礎(chǔ)上，因勢(shì)而謀，把數(shù)學(xué)建模貫穿于數(shù)學(xué)的各門學(xué)科作為謀劃學(xué)生發(fā)展的重要舉措.因?yàn)?，“只有在以達(dá)到有機(jī)整體為目標(biāo)的前提下，以及在內(nèi)在需要的引導(dǎo)下，自由的思維才能作出有科學(xué)價(jià)值的成果來(lái)”[7].

從學(xué)生角度看，數(shù)學(xué)建模是學(xué)生走向數(shù)學(xué)應(yīng)用的必經(jīng)之路，是學(xué)生形成理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng)的重要途徑.數(shù)學(xué)固有的實(shí)踐性特征，決定了數(shù)學(xué)建模也是一種學(xué)習(xí)，其重要性不低于數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí).另外，學(xué)習(xí)的目的全在于應(yīng)用，根本目的在于增強(qiáng)解決實(shí)踐問題的本領(lǐng).“為學(xué)之實(shí)，固在踐履.茍徒知而不行，誠(chéng)與不學(xué)無(wú)異”，說(shuō)的就是學(xué)習(xí)的目的在于實(shí)踐.通常講數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主要是指數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)，并認(rèn)為只要掌握了數(shù)學(xué)理論，自然而然就能運(yùn)用數(shù)學(xué)，這種看法是非常錯(cuò)誤的.知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化，媒介就是實(shí)踐.數(shù)學(xué)建模既是數(shù)學(xué)應(yīng)用的切口，也是數(shù)學(xué)實(shí)踐的載體.這個(gè)小切口能夠解決大問題，在數(shù)學(xué)建模中學(xué)生能真正做到“做中學(xué)”，真正認(rèn)識(shí)到學(xué)以致用、用以促學(xué)、學(xué)用相長(zhǎng)的辯證關(guān)系，從而內(nèi)化于心、外化于形，并進(jìn)一步形成理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)習(xí)作風(fēng).

數(shù)學(xué)建模實(shí)用且充滿挑戰(zhàn)，如“血管的三維重建”、“公交車調(diào)度”、“奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)”、“長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)”等等.通過它，學(xué)生就能以一種踏石留印、抓鐵有痕的實(shí)踐方式，真正體會(huì)到“紙上得來(lái)終覺淺，絕知此事要躬行”這句話的含義，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)真正的理解與深入的獨(dú)立思考，推動(dòng)學(xué)生養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際、知行合一的行為習(xí)慣，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力更足、更強(qiáng).

3 數(shù)學(xué)建模以數(shù)學(xué)創(chuàng)造為突破口，激勵(lì)學(xué)生樹立問題意識(shí)、求新求變的實(shí)踐態(tài)度，讓學(xué)生創(chuàng)造的活力更大

數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問題的研究，其關(guān)鍵就在于能建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型.就其全過程來(lái)看，大體上可歸納為三個(gè)步驟.第一，對(duì)某個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行觀察、分析，把問題中的次要因素、次要關(guān)系、次要過程先撇在一邊，抽出主要因素、主要關(guān)系、主要過程，作出合理的簡(jiǎn)化、假設(shè);第二，確定模型建立中的變量和參數(shù)，找出所要研究問題與某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題;第三，解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問題，形成對(duì)問題的認(rèn)識(shí)、判斷和預(yù)測(cè).如果數(shù)學(xué)結(jié)果能解釋甚至預(yù)測(cè)實(shí)際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象，那么就可以付之試用;否則，就要重復(fù)建模過程.

由數(shù)學(xué)建模過程的分析可知，數(shù)學(xué)是科學(xué)探索的重要部分，數(shù)學(xué)建模抓住了數(shù)學(xué)依靠的兩樣?xùn)|西:邏輯與創(chuàng)造，啟動(dòng)了數(shù)學(xué)思維的總鑰匙.事實(shí)上，建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型，本身是一種科學(xué)探索的嘗試，是一種創(chuàng)新實(shí)踐，是一種智力的挑戰(zhàn).

首先，數(shù)學(xué)建模以強(qiáng)烈的問題意識(shí)為引領(lǐng).問題意識(shí)在思維和學(xué)習(xí)活動(dòng)中起著重要作用，具有激發(fā)、維持的功能.“疑是思之始，學(xué)之端”、“為學(xué)患無(wú)疑，疑則有進(jìn)，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”等等，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新源于問題，倡導(dǎo)學(xué)習(xí)個(gè)體的懷疑、批判精神，這比解答問題更為重要.數(shù)學(xué)建模的問題，無(wú)一不是生產(chǎn)或生活中需要解決的問題，它的豐富的實(shí)際應(yīng)用背景潛藏著學(xué)生的好奇心，為學(xué)生提出問題提供了可能.如有這樣一道題，“許多人都有過提著行李，在擁擠的登機(jī)隊(duì)伍中慢慢等待登機(jī)的經(jīng)歷.在日益緊張的生活節(jié)奏下，如何才能合理的組織乘客登機(jī)，以實(shí)現(xiàn)時(shí)間和效率的最優(yōu)配置?”提高登機(jī)效率，按常理或者說(shuō)一般的方法應(yīng)是先坐后艙、再坐中艙、最后坐前艙.但是，如果沿著這一傳統(tǒng)思維去建模求解，而不對(duì)“常理”進(jìn)行批判，就不會(huì)有“先坐窗邊，再坐中間，最后坐過道”的方案，也意味著無(wú)法找出旅客登機(jī)時(shí)間和效率的最優(yōu)配置.

其次，數(shù)學(xué)建模以開放的數(shù)學(xué)思維為條件.問題開放促進(jìn)思維開放，思維開放激活了那種被忽視了創(chuàng)造發(fā)明的要素，即那種起推導(dǎo)和推導(dǎo)作用的直觀要素:直觀和構(gòu)作.數(shù)學(xué)建模的問題來(lái)自實(shí)際，往往具有一定的開放性，沒有預(yù)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)答案或答案不唯一，同一個(gè)問題從不同的角度去理解，會(huì)獲得不同的數(shù)學(xué)模型和求解方法.也就是說(shuō)，如何把握“主要與次要”關(guān)系到假設(shè)的合理性;如何確定模型中的變量和參數(shù)，關(guān)系到所要研究問題與某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此，解決問題光靠邏輯是不夠的，而要“面對(duì)復(fù)雜問題發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力、想象力、洞察力以及解決問題的邏輯推理和量化分析能力”[8].

最后，數(shù)學(xué)建模以扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)、過硬的數(shù)學(xué)能力為基礎(chǔ).要建立數(shù)學(xué)模型，沒有較全面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是不行的.對(duì)理工科大學(xué)生來(lái)說(shuō)，微積分、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)是最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，最優(yōu)化、組合數(shù)學(xué)、微分方程和差分方程、圖論、插值與擬合等知識(shí)也是必不可少的.比如洗衣機(jī)節(jié)水問題，怎樣洗衣才節(jié)水，若缺乏一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)將不知從何下手.另外，數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生能力的要求是全面的，具體地包括查閱文獻(xiàn)資料、分析綜合、抽象概括、語(yǔ)言翻譯以及熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和計(jì)算機(jī)的能力.

總的說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)的有效途徑.因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)建模是一種文化，以文化的力量讓學(xué)生學(xué)到深處——切身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的完美結(jié)合;數(shù)學(xué)建模是一種實(shí)踐，以實(shí)踐的力量讓學(xué)生用到實(shí)處——切身體驗(yàn)到學(xué)有所成、學(xué)有所用;數(shù)學(xué)建模是一種創(chuàng)造，以創(chuàng)造的力量讓學(xué)生悟到透處——切身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的基本要素，即邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個(gè)別性的強(qiáng)大合力.

[1]周遠(yuǎn)清，姜啟源.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽實(shí)現(xiàn)了什么[N].光明日?qǐng)?bào)，2006－01－11.

[2]Naney Kopell.We get rhythm:Dynamieal sterns of the nervous system[J].Notices of the AMS，2000(47).

[3]詹姆斯·格林姆主編，鄧越凡譯.數(shù)學(xué)科學(xué)·技術(shù)·經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力[M].天津:南開大學(xué)出版社，1992.

[4]葉其孝.把數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)中去[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003(8).

[5]中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所數(shù)學(xué)史組編.數(shù)學(xué)史譯文集[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981

[6]李大潛.中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽[M].4版.北京:高等教育出版社，2011.

[7][美]R·柯朗 H·羅賓著.什么是數(shù)學(xué)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2012.

[8]陳華友.重視數(shù)學(xué)建模提高學(xué)生綜合素質(zhì)的作用[N].中國(guó)教育報(bào)，2008－10－23.